矩阵运算及其应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 矩阵运算及其应用,2.1,矩阵的加减乘法,2.2,矩阵的逆,2.3,矩阵的分块,2.4,初等矩阵,2.5,应用实例,2.6,习题,2.1,矩阵的加减乘法,2.1.1,矩阵的加法,定义,2.1,设有两个同型的 矩阵,，,矩阵,A,与矩阵,B,的和,记作 ，,规定为：,若 ，把 记作 ，称为,A,的负矩阵。显然有：,由此可定义,矩阵的减法,为：,2.1.2,矩阵的数乘,定义,2.2,数 与矩阵 的乘积，简,称,数乘,，记作 或 ，规定为,矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算，,矩阵的线性运算满足下列运算规律（,A,、,B,、,C,是同型矩阵，、是数）,（,1,）加法交换律,（,2,）加法结合律,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,（,7,）,（,8,）数乘分配律,2.1.3,矩阵的乘法,定义,2.3,设,A,是矩阵，,B,是矩阵，那么,矩阵,A,和矩阵,B,的乘积,是一个矩阵,C,，其中,记作,C=AB,由定义知，只有当第一个矩阵的列数和第二,个矩阵的行数相等，即它们的内阶数相等,时，两个矩阵才能相乘。,乘积矩阵的第 元素等于前一个矩阵的第,行各元素与后一个矩阵的第 列相应元素乘,积之和，即：,定义,2.4,对于变量 ，若它们都能由,变量线性表示，即有：,（,2-1,）,则称此关系式为变量 到变量,的,线性变换,。,可以写成输出向量,Y,等于系数矩阵,A,左乘输入,向量,X,：,例,2.4,式（,2-2,）给出变量 到变量,的线性变换；式（,2-3,）给出变量 到变,量 的线性变换。请写出变量 到变,量 的线性变换。,（,2-2,）,（,2-3,）,解：,方法一,，代换法。,将式（,2-3,）代入式（,2-2,），得：,（,2-4,）,方法二,，矩阵运算法。,根据矩阵乘法的定义，可以把式（,2-2,）和式（,2-3,）分别写为式（,2-5,）和式（,2-6,）的矩阵等式：,（,2-5,）,（,2-6,）,把式（,2-6,）代入式（,2-5,）中，得：,（,2-7,）,式（,2-7,）和式（,2-4,）等价。,通过这个例子，可以看出矩阵乘法在线性变,换中的运用。,有了矩阵乘法的定义后，可以把一般的线性,方程组（,1-3,）写为矩阵形式：,（,2-8,）,若用,A,表示系数矩阵，,X,表示未知量构成的向,量，,b,表示常数项所构成的向量，,则式（,2-8,）可以化简为：,AX=b,例,2.5,已知 ，,求,AB,，,BA,解：,根据矩阵乘法定义，有：,由于矩阵有,2,列，矩阵有,3,行，所以,B,不能左,乘,A,。,由矩阵乘法定义和前面的例题可以看出：,（,1,）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况,下,（,2,）不能由 ，推出 或,（,3,）不能由 ，推出,在一般情况下有：,矩阵乘法满足下列运算规律：,（,1,）,（,2,）,（,3,），为数,（,4,）,（,5,），其中 为正,整数，必须为方阵。,2.1.4,矩阵的转置,定义,2.5,设是 一个 矩阵，将矩,阵 中的行换成同序数的列得到的一个,矩阵，称为矩阵 的,转置矩阵,，记作 ，,或 。,例如，则,矩阵转置满足以下运算规律,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,在此只证明（,4,）,证明：,设,记,，据矩阵乘法定义及矩阵转置定义知：,而 的第 行就是 的第 列，为：,，的第 列就是 的第 行，为：,，因而有,即得 ，亦即 。,定义,2.6,如果,n,阶方阵,满足 ，则称为,对称矩阵,如果,n,阶方阵 满足 ，则称,为,反对称矩阵,。,显然反对称阵的主对角线上元素都是零。,2.2,矩阵的逆,2.2.1,逆矩阵的定义,定义,2.7,设 为,n,阶方阵，若存在,n,阶方阵,，使得 ，其中 为,n,阶单位矩,阵，则称 为,可逆矩阵,或 是,可逆的,，并称,为 的逆矩阵。,如果 的逆矩阵为 ，记 ，显然，则,的逆矩阵为 ，记 ，我们也称矩阵,和矩阵,互逆,。,例,2.7,设,分析矩阵 和矩阵 、矩阵,和矩阵 的关系。,解：,所以，矩阵 和矩阵 互为逆矩阵。,矩阵 和矩阵 也互为逆矩阵。,2.2.2,逆矩阵的性质,性质,1,如果矩阵 可逆，则 的逆矩阵唯一,性质,2,若 和 为同阶方阵，且满足,则 ，即矩阵 和矩阵 互逆。,性质,3,若 可逆，则 也可逆，且,性质,4,若 可逆，数 ，则 可逆，,且,性质,5,若 、均为 阶可逆方阵，则 也可,逆，且,性质,6,若 可逆，则 也可逆，且,例,2.8,设方阵 满足 ，试证,可逆，并求 。,解：,根据已知条件，可以得到：,则有：,所以矩阵 可逆，且 。,2.3,矩阵的分块,在矩阵运算中，特别是针对高阶矩阵，常常,采用矩阵分块的方法将其简化为较低阶的矩,阵运算。,用若干条纵线和横线将矩阵分为若干个小矩,阵，每一个小矩阵称为的,子块,，以子块为元,素的矩阵，称为,分块矩阵,。,比如将,43,矩阵 分为,它们可分别表示为：,分块矩阵的运算与普通矩阵类似，,1,加法运算,设 ，都是,矩阵，且将 ，按完全相同,的方法分块：,2,数乘运算,设,有：,3,乘法运算,设 为 矩阵，为 矩阵，将它们分别分,块成,其中 的列数分别等于,的行数 ，即 可以左乘,。,则有：,其中,4,转置运算,设 有：,注意分块矩阵的转置，不仅要把每个子块内,的元素位置转置，而且要要把子块本身的位,置转置。,5,分块对角矩阵,如果将方阵 分块后，有以下形式：,其中主对角线上的子块 均是方,阵，而其余子块全是零矩阵，则称 为,分块,对角矩阵,，记为 。,设有两个同型且分块方法相同的对角矩阵,则有,对于上面的分块矩阵 ，若对角线上的所有,子块 都可逆，则有例,2.9,利用分块矩阵的概念，把下列线性方程,组写成向量等式。,解：,线性方程组的矩阵表示为：,把系数矩阵按列分成,4,块：,与常数矩阵 分别用向量 和向量,来表示，则有：,进而得到向量等式：,2.4,初等矩阵,定义,2.8,单位矩阵 经过一次初等变换所得到,的矩阵称为,初等矩阵,或,初等方阵,。,前面介绍了三种初等变换，每一种初等变,换，都有一个相对应的初等矩阵,（,1,）交换单位矩阵 的,两行（或,两,列），得到的初等矩阵记为 ，即：,（,2-12,）,（,2,）用一个非零数 乘单位矩阵 的第 行,（或第 列），得到的初等矩阵记为 ，,即：,（,2-13,）,（,3,）将单位矩阵 第 行的 倍加到第 行上,（或将单位矩阵第 列的 倍加到第 列上）,得到的初等矩阵记为 ，即：,（,2-14,）,例,2.10,设,求：,E1*A,，,E2*A,，,E3*A,。,解：,定理,2.1,设 是一个 矩阵，对 施行一,次初等行变换，其结果等于在 的左边乘以,相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变,换，其结果等于在 的右边乘以相应的 阶初,等矩阵。,定理,2.2,设 为 阶方阵，那么下面各命题,等价：,（,1,）是可逆矩阵；,（,2,）线性方程组 只有零解；,（,3,）可以经过有限次初等行变换化为单位,矩阵 ；,（,4,）可以表示为有限个初等矩阵的乘积。,例,2.11,设,判断 、是否可逆，如果可逆，请求之。,解：,则矩阵 可逆，且其逆为：,显然矩阵 通过初等行变换不能化为单位矩,阵，则矩阵 不可逆。是降秩的。它通过初,等行变换，可以化出一个零行，则其秩为,2,。,故当,A,不可逆时，,(2-15),式应改为：,其中是 秩为,r,的,nn,方阵，,rM=0.1,0.3,0.15;0.3,0.4,0.25;0.1,0.2,0.15;,P=4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800,6200,6000,6000;,Q=M*P,Q=1870 2220 2070 1960,3450 4020 3810 3580,1670 1940 1830 1740,为了进一步计算矩阵,Q,的每一行和每一列的,和，可以继续键入：,Q*ones(4,1),ans,=8120,14860,7180,ones(1,3)*Q,ans,=6990 8180 7710 7280,并可以继续算出全年的总成本：,ans,*ones(4,1),ans,=30160,根据以上计算结果，可以完成每季度总成本,分类表，如表,2.8,所示。,表,2.8,每季度总成本分类表,成本（元）,夏,秋,冬,春,全年,原材料,1870,2220,2070,1960,8120,劳动,3450,4020,3810,3580,14860,企业管理费,1670,1940,1830,1740,7180,总成本（元）,6990,8180,7710,7280,30160,2.5.2,特殊矩阵的生成,例,2.13,在,Matlab,环境下生成矩阵,X,：,矩阵,X,有相同的,10,行，每一行都是公差为,1,的,等差数列。,解：,令,则 ，就实现了矩阵赋值。,键入,MATLAB,语句：,v1=-10:10;v2=ones(1,10),X=v2*v1,例,2.14,在,Matlab,环境下生成范德蒙矩阵。,解：,这里用了,Matlab,的符号运算功能。键,入：,syms,x1 x2 x3 x4 real,%,令,x1 x2 x3 x4,为实数符号变量,x=x1,x2,x3,x4;y=0:3;,A=x*ones(1,4),B=(ones(4,1)*y,V=A.B,%,两个方阵的元素群求幂,程序的运行结果为：,Matlab,内置的范德蒙矩阵生成函数,vander.m,是不能用符号表示的，只能产生数值矩阵。,2.5.3,逆矩阵的求解,例,2.15,设 试求其逆阵,解：,当矩阵的阶数较高时，利用,Matlab,辅助,计算就尤显重要。用,Matlab,来求矩阵的逆，,其方法很多。首先在,Matlab,环境下键入：,A=3,0,3,-6;5,-1,1,-5;-3,1,4,-9;1,-3,4,-4;,方法,1,A-1,方法,2,inv(A),方法,3,Aeye(4),方法,4,U=rref(A,eye(4);U(:,5:8),运行结果都为：,ans,=0.2323 -0.0101 -0.1313 -0.0404,0.5354 -0.3131 -0.0707 -0.2525,0.5859 -0.4747 -0.1717 0.1010,0.2424 -0.2424 -0.1515 0.0303,例,2.16,求矩阵 的逆。,解：,矩阵求逆命令,inv,也可以用符号变量。在,Matlab,环境下，键入：,syms,a b c d,A=,a,b;c,d,V=,inv(A,),结果为：,V =d/(a*,d-b,*c),-b/(a*,d-b,*c),-c/(a*d-b*c),a/(ad-b*c),2.5.4,图及其矩阵表述,例如，图,2.1,为,1,，,2,，,3,，,4,四个城市之间的空,运航线的有向图。,图,2.1,航线图,它可以用下列航路矩阵表示：,2.5.5,网络的矩阵分割和连接,在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为,局部电路，每一个电路都用一个网络“黑盒子”,来表示。“黑盒子”的输入为,u1,，,i1,，输出为,u2,，,i2,，其输入输出关系用矩阵,A,来表示（如,图,2.2,所示）：,图,2.2,单个子网络模型,以图,2.3,为例，把两个电阻组成的分压电路分,成两个串接的子网络。第一个子网络包含电,阻,R1,，第二个子网络包含电阻,R2,，列出第一,个子网络的电路方程为：,图,2.3,两个子网络串联模型,写成矩阵方程为：,同样可列出第二个子网络的电路方程，,写成矩阵方程为：,从上分别得到两个子网络的传输矩阵,整个电路的传输矩阵为两者的乘积,2.5.6,弹性梁的柔度矩阵,设简支梁如图,2.4,所示，在梁的三个位置分别,施加力,f1,，,f2,和,f3,后，在该处产生的综合变形,（通常称为挠度）为图示的,y1,，,y2,和,y3,。,图,2.4,简支梁在三个点的力和变形（挠度）,根据虎克定律，在材料未失去弹性的范围内，,三个力与它引起的三个变形都呈线性关系，可,以写成矩阵形式：,用向量和矩阵符号表示为：,y,Df,D,中的各元素为挠度元素，这些元素的值越大,表明这个梁愈柔软，所以矩阵,D,被称作柔度矩,阵。,柔度矩阵,D,的逆就是刚度矩阵,K,。,