数理统计课件-方差分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,版权所有,内蒙古财经学院统计学系,结束,休息,经济、管理类,基础课程,统计学,2-,*,当前日期是：,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 方差分析,第一节,方差分析的基本问题,第二节,单因素方差分析,第三节,双因素方差分析,如某种农作物的收获量受作物品种、,肥料种类及数量等的影响；选择不同,的品种、,肥料种类及数量进行试验，,日常生活中经常发现，影响一个事物的因素很多，希望找到影响最显著的因素,看哪一个影响大？并需要知道,起显著作用的因素在什么时候,起最好的影响作用。,方差分析就是解决这些问题的,一种有效方法。,ANOVA,由英国统计学家,R.A.Fisher,首创，为纪念,Fisher,，以,F,命名，故方差分析又称,F,检验（,F,test,）。用于推断,多个总体均数,有无差异,因素（因子）,可以控制的试验条件,因素的水平,因素所处的状态或等级,单（双）因素方差分析,讨论一个（两个）因素对试验结果有没有显著影响。,例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（,g/k,）,进行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影响。,序号,冲击强力,浓度,1 2 3 4 5 6,A1 16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0,A2 16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7,A3 19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7,方差分析就是把总的,试验数据的波动分成,1,、反映,因素水平,改变引起的波动。,2,、反映,随机因素,所引起的波动。,然后加以比较进行统,计判断，得出结论。,第一节 方差分析的基本问题,一、方差分析的内容,二、方差分析的基本思想,三、方差分析的原理,一、方差分析的内容,该饮料在五家超市的销售情况,超市,无色,粉色,橘黄色,绿色,1,2,3,4,5,26.5,28.7,25.1,29.1,27.2,31.2,28.3,30.8,27.9,29.6,27.9,25.1,285,24.2,26.5,30.8,29.6,32.4,31.7,32.8,（,一）例题,某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为,橘黄色,、,粉色,、,绿色,和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。,一、方差分析的内容,（二）几个基本概念,因素或因子,所要检验的对象称为因子,要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，,颜色,是要检验的因素或因子,水平,因素的具体表现称为水平,A,1,、,A,2,、,A,3,、,A,4四种颜色就是因素的水平,观察值,在每个因素水平下得到的样本值,每种颜色饮料的销售量就是观察值,一、方差分析的内容,试验,这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验,总体,因素的每一个水平可以看作是一个总体,比如,A,1,、,A,2,、,A,3,、,A,4,四种颜色可以看作是四个总体,样本数据,上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据,（一）比较两类误差，以检验均值是否相等,（二）比较的基础是方差比,（三）如果系统,(,处理,),误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的,（四）误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的,二、方差分析的基本思想,三、方差分析的原理,（一）两类误差,随机误差,在因素的同一水平,(,同一个总体,),下，样本的各观察值之间的差异,比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的,不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称为,随机误差,系统误差,在因素的不同水平,(,不同总体,),下，各观察值之间的差异,比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的,这种差异,可能,是由于抽样的随机性所造成的，,也可能,是由于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为,系统误差,三、方差分析的原理,（二）,两类方差,组内方差,因素的同一水平,(,同一个总体,),下样本数据的方差,比如，无色饮料,A,1,在,5,家超市销售数量的方差,组内方差只包含,随机误差,组间方差,因素的不同水平,(,不同总体,),下各样本之间的方差,比如，,A,1,、,A,2,、,A,3,、,A,4,四种颜色饮料销售量之间的方差,组间方差既包括,随机误差,，也包括,系统误差,三、方差分析的原理,（三）,方差的比较,如果不同颜色,(,水平,),对销售量,(,结果,),没有影响，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接近,1,。,如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于,1,。,当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异。,三、方差分析的原理,（四）,基本假定,每个总体都应,服从正态分布,对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本,比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布,各个总体的,方差必须相同,对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的,比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同,观察值是,独立,的,比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立,三、方差分析的原理,在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等的问题,如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近,1、四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证据也就越充分,2、样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分,三、方差分析的原理,3、如果原假设成立，即,H,0,:,m,1,=,m,2,=,m,3,=,m,4,四种颜色饮料销售的均值都相等,没有系统误差,这意味着,每个样本都来自均值为,、差为,2,的同一正态总体,X,f(X),1,2,3,4,三、方差分析的原理,4、如果备择假设成立，即,H,1,:,m,i,(,i,=1,，,2,，,3,，,4),不全相等,至少有一个总体的均值是不同的,有系统误差,这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体,X,f(X),3,1,2,4,第二节 单因素方差分析,一、数据结构,二、单因素方差分析的步骤,三、单因素方差分析中的其它问题,X,f(X),1,2,3,4,一、数据结构,观察值,(,j,),因素,(,A,),i,水平,A,1,水平,A,2,水平,A,k,1,2,:,:,n,x,11,x,12,x,1k,x,21,x,22,x,2k,:,:,x,n1,x,n2,x,nk,二、单因素方差分析的步骤,（一）提出假设,（二）构造检验统计量,（三）统计决策,二、单因素方差分析的步骤,（一）提出假设,1、一般提法,H,0,:,m,1,=,m,2,=,=,m,k,(,因素有,k个水平）,H,1,:,m,1,，,m,2,，,，,m,k,不全相等,2、对前面的例子,H,0,:,m,1,=,m,2,=,m,3,=,m,4,颜色对销售量没有影响,H,0,:,m,1,，,m,2,，,m,3,，,m,4,不全相等,颜色对销售量有影响,二、单因素方差分析的步骤,（二）构造检验统计量,1、为检验,H,0,是否成立，需确定检验的统计量,2、构造统计量需要计算,水平的均值,全部观察值的总均值,离差平方和,均方,(,MS,),二、单因素方差分析的步骤,假定从第,i,个总体中抽取一个容量为,n,i,的简单随机样本，第,i,个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数,计算公式为,式中：,n,i,为第,i,个总体的样本观察值个数,x,ij,为第,i,个总体的第,j,个观察值,二、单因素方差分析的步骤,全部观察值的总和除以观察值的总个数,计算公式为,二、单因素方差分析的步骤,实例,四种颜色饮料的销售量及均值,超市,(,j,),水平,A,(,i,),无色,(,A,1,),粉色,(,A,2,),橘黄色,(,A,3,),绿色,(,A,4,),1,2,3,4,5,26.5,28.7,25.1,29.1,27.2,31.2,28.3,30.8,27.9,29.6,27.9,25.1,28.5,24.2,26.5,30.8,29.6,32.4,31.7,32.8,合计,136.6147.8,132.2,157.3,573.9,水平均值,观察值个数,x,1,=,27.32,n,1,=5,x,2,=,29.56,n,2,=5,x,3,=,26.44,n,3,=5,x,4,=,31.46,n,4,=5,总均值,x,=28.695,二、单因素方差分析的步骤,全部观察值 与总平均值 的离差平方和,反映全部观察值的离散状况,其计算公式为,前例的计算结果：,SST,=(26.5-28.695),2,+(28.7-28.695),2,+,+,(32.8-28.695),2,=115.9295,二、单因素方差分析的步骤,计算,SSE,每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和,反映每个样本各观察值的离散状况，又称,组内离差平方和,该平方和反映的是随机误差的大小,计算公式为,前例的计算结果：,SSE,=39.084,二、单因素方差分析的步骤,计算,SSA,各组平均值 与总平均值 的离差平方和,反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称,组间平方和,该平方和既包括随机误差，也包括系统误差,计算公式为,前例的计算结果：,SSA,=76.8455,二、单因素方差分析的步骤,三个平方和的关系,总离差平方和,(,SST,),、误差项离差平方和,(,SSE,),、水平项离差平方和,(,SSA,),之间的关系,SST,=,SSE,+,SSA,离差平方和的分解与显著检验,记：,将,Q,进行分解：,由于,故：,在假设,H0,成立的条件下，可以证明：,相互独立,理论证明,二、单因素方差分析的步骤,三个平方和的作用,SST,反映了全部数据总的误差程度；,SSE,反映了随机误差的大小；,SSA,反映了随机误差和系统误差的大小,如果原假设成立，即,H,1,H,2,H,k,为真，则表明没有系统误差，组间平方和,SSA,除以自由度后的,均方,与组内平方和,SSE,和除以自由度后的,均方,差异就不会太大；如果,组间均方,显著地大于,组内均方,，说明各水平,(,总体,),之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差,判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较,组间方差,与,组内方差,之间差异的大小,为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量,二、单因素方差分析的步骤,计算均方,MS,各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差,计算方法是用离差平方和除以相应的自由度,三个平方和的自由度分别是,SST,的自由度为,n,-1,，其中,n,为全部观察值的个数,SSA,的自由度为,k,-1,，其中,k,为因素水平,(,总体,),的个数,SSE,的自由度为,n,-,k,n-1=(k-1)+(n-k),二、单因素方差分析的步骤,SSA,的均方也称,组间方差,，记为,MSA,，计算公式为,SSE,的均方也,称,组内方差记为,MSE,，计算公式为,二、单因素方差分析的步骤,计算检验的统计量,F,将,MSA,和,MSE,进行对比，即得到所需要的检验统计量,F,当,H,0,为真时，二者的比值服从分子自由度为,k,-1,、分母自由度为,n,-,k,的,F,分布，即,二、单因素方差分析的步骤,如果均值相等，,F,=,MSA,/,MSE,1,a,F,分布,F,(,k,-1,n,-,k,),0,拒绝,H,0,不能拒绝,H,0,F,宇传华 制作,三、计算的简化,1,、对,SST,、,SSE,、,SSA,计算简化。（给出一个简化的计算公式和数据简化的方法）,令：,同样可推出：,2,、,数据的简化：,试验数据经过变换,数据简化后对,F,值的计算没有影响，不会影响检验的结果,方差分析表,方差来源 离差平方和 自由度,F,值,F0.05 F0.01,显著性,因素,A SSA k-1,试验误差,SSE,n-k,总误差,SST n-1,二、单因素方差分析的步骤,（三）,统计决策,将统计量的值,F,与给定的显著性水平,的临界值,F,进行比较，作出接受或拒绝原假设,H,0,的决策,1、根据给定的显著性水平,，在,F,分布表中查找与第一自由度,df,1,k,-1,、第二自由度,df,2,=,n,-,k,相应的临界值,F,若,F,F,，则拒绝原假设,H,0,，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素,(,A,),对观察值有显著影响,若,F,F,，则不能拒绝原假设,H,0,，表明所检验的因素,(,A,),对观察值没有显著影响,二、单因素方差分析的步骤,方差来源,平方和,SS,自由度,df,均方,MS,F,值,组间,(,因素影响,),组内,(,误差,),总和,SSA,SSE,SST,k,-1,n,-,k,n,-1,MSA,MSE,MSA,MSE,2、单因素方差分析表,二、单因素方差分析的步骤,二、单因素方差分析的步骤,3、,例题,为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的样本，其中零售业抽取,7,家，旅游业抽取了,6,家，航空公司抽取,5,家、家电制造业抽取了,5家，然后记录了一年中消费者对总共,23,家服务企业投诉的次数，结果如表,9.7,。试分析这四个行业的服务质量是否有显著差异？,(,0.05,),二、单因素方差分析的步骤,消费者对四个行业的投诉次数,观察值,(,j,),行业,(,A,),零售业,旅游业,航空公司,家电制造业,1,2,3,4,5,6,7,57,55,46,45,54,53,47,62,49,60,54,56,55,51,49,48,55,47,70,68,63,69,60,二、单因素方差分析的步骤,（计算结果）,解：设四个行业被投诉次数的均值分别为，,m,1,、,m,2,、,m,3,、,m,4,，则需要检验如下假设,H,0,:,m,1,=,m,2,=,m,3,=,m,4,(,四个行业的服务质量无显著差异,),H,1,:,m,1,，,m,2,，,m,3,，,m,4,不全相等,(,有显著差异,),Excel,输出的结果如下,结论：拒绝,H,0,。,四个行业的服务质量有显著差异,例：前例题,1,、对数据的简化,得下,表：,序号,冲击强力,浓度,1 2 3 4 5 6,A1 -8 -19 -12 -22 1 -20 -80 1454,A2 -2 5 1 -11 14 7 14 396,A3 20 31 19 12 35 27 144 3820,由表中,数据可算出,计算,计算出,F,值：,方差来源 离差平方和 自由度,F,值,F0.05 F0.01,显著性,因素,A 4217.3 2 28.38 3.68 6.38 *(,十分显著）,试验误差,1114.7 15,总误差,5332 17,列表：,说明：,说明酸液浓度对汗布冲击强力有十分显著的影响。,S,i,S,1,S,2,S,3,S,4,合计,值,5.99,4.15,3.78,4.71,6.65,H,0,：,即,4,个试验组总体均数相等,H,1,：,4,个试验组总体均数,不全相等,检验水准,一、,建立检验假设,二、,计算离均差平方、自由度、均方,三、计算,F,值,四、下结论,例题,某公司计划引进一条生产线,.,为了选择一条质量优良的生产线以减少日后的维修问题,他们对6,种型号的生产线作了初步调查,每种型号调查,4,条,结果列于表,8-1,。这些结果表示每个型号的生产线上个月维修的小时数。试问由此结果能否判定由于生产线型号不同而造成它们在维修时间方面有显著差异,?,表,4,1,对,6,种型号生产线维修时数的调查结果,序号,型号,1,2,3,4,A,型,9.5,8.8,11.4,7.8,B,型,4.3,7.8,3.2,6.5,C,型,6.5,8.3,8.6,8.2,D,型,6.1,7.3,4.2,4.1,E,型,10.0,4.8,5.4,9.6,F,型,9.3,8.7,7.2,10.1,表,4,5,计算列表,台号,型号,1,2,3,4,T,i,T,i,2,A,型,9.5,8.8,11.4,7.8,37.5,1406.25,358.49,B,型,4.3,7.8,3.2,6.5,21.8,475.24,131.82,C,型,6.5,8.3,8.6,8.2,31.6,998.56,252.34,D,型,6.1,7.3,4.2,4.1,21.7,470.89,124.95,E,型,10.0,4.8,5.4,9.6,29.8,888.04,244.36,F,型,9.3,8.7,7.2,10.1,35.3,1246.09,316.03,4.2.4,显著性检验,再将计算结果分别代入,S,A,与,S,E,两式中，得到,第一自由度,第二自由度,查,F,分布表得,由于 ，故拒绝,H,0,。,该结论说明，至少有一种生产线型号的效应不为零，这等价于至少有两种型号的生产线的平均维修时数是有显著差异的。,方差来源,平方和,自由度,均方,F,比,组间,S,A,55.55,5,11.11,组内,S,E,56.72,18,3.15,总和,S,T,112.27,23,-,方差分析表,二、双因素方差分析的假定条件,（一）每个总体都服从正态分布,对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布总体的简单随机样本,（二）各个总体的方差必须相同,对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的,（三）观察值是独立的,第三节 双因素方差分析,一、双因素方差分析的类型,二、双因素方差分析的假定条件,三、双因素方差分析的数据结构,四、双因素方差分析的例题,三、双因素方差分析的数据结构,因素,A,(,i,),因素,(,B,),j,平均值,B,1,B,2,B,r,A,1,A,2,:,:,A,k,x,11,x,12,x,1k,x,21,x,22,x,2k,:,:,x,r1,x,r2,x,rk,:,:,平均值,三、双因素方差分析的数据结构,是因素,A,的第,i,个水平下各观察值的平均值,是因素,B,的第,j,个水平下的各观察值的均值,是全部,kr,个样本数据的总平均值,三、双因素方差分析的数据结构,（一）提出假设,1、对因素,A,提出的假设为,H,0,:,m,1,=,m,2,=,=m,i,=,m,k,(,m,i,为第,i,个水平的均值,),H,1,:,m,i,(,i,=1,2,k,),不全相等,2、对因素,B,提出的假设为,H,0,:,m,1,=,m,2,=,m,j,=,m,r,(,m,j,为第,j,个水平的均值,),H,1,:,m,j,(,j,=1,2,r,),不全相等,三、双因素方差分析的数据结构,（二）构造检验的统计量,1、为检验,H,0,是否成立，需确定检验的统计量,2、构造统计量需要计算,总离差平方和,水平项平方和,误差项平方和,均方,三、双因素方差分析的数据结构,（三）计算总离差平方和,SST,全部观察值 与总平均值 的离差平方和,反映全部观察值的离散状况计算公式为,三、双因素方差分析的数据结构,（四）计算,SSA、SSB,和,SSE,1、因素,A,的离差平方和,SSA,2、因素,B,的离差平方和,SSB,3、误差项平方和,SSE,三、双因素方差分析的数据结构,（五）各平方和的关系,总离差平方和,(,SST,),、水平项离差平方和,(,SSA,和,SSB,),、误差项离差平方和,(,SSE,),之间的关系,SST,=,SSA,+,SSB,+,SSE,三、双因素方差分析的数据结构,（六）计算均方,MS,1、各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差,2、计算方法是用离差平方和除以相应的自由度,3、三个平方和的自由度分别是,总离差平方和,SST,的自由度为,kr,-1,因素,A,的离差平方和,SSA,的自由度为,k,-1,因素,B,的离差平方和,SSB,的自由度为,r,-1,随机误差平方和,SSE,的自由度为,(,k,-1)(,r,-1),三、双因素方差分析的数据结构,4、因素,A,的均方，记为,MSA,，计算公式为,5、因素,B,的均方，记为,MSB,，计算公式为,6、随机误差项的均方，记为,MSE,，计算公式为,三、双因素方差分析的数据结构,(七)计算检验的统计量,F,1、为检验因素,A,的影响是否显著，采用下面的统计量,2、为检验因素,B,的影响是否显著，采用下面的统计量,三、双因素方差分析的数据结构,(八)统计决策,将统计量的值,F,与给定的显著性水平,的临界值,F,进行比较，作出接受或拒绝原假设,H,0,的决策,1、根据给定的显著性水平,在,F,分布表中查找相应的临界值,F,2、若,F,A,F,，则拒绝原假设,H,0,，表明均值之间的差异是显著的，即所检验的因素,(,A,),对观察值有显著影响,3、若,F,B,F,，则拒绝原假设,H,0,，表明均值之间有显著差异，即所检验的因素,(,B,),对观察值有显著影响,双因素方差分析表,(,基本结构,),方差来源,平方和,SS,自由度,df,均方,MS,F,值,因素,A,因素,B,误差,总和,SSA,SSB,SSE,SST,k,-1,r,-1,(,k-,1),(r-1),kr,-1,MSA,MSB,MSE,F,A,F,B,四、双因素方差分析例题,不同品牌的彩电在各地区的销售量数据,品牌,(,因素,A,),销售地区,(,因素,B,),B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,A,1,A,2,A,3,A,4,365,345,358,288,350,368,323,280,343,363,353,298,340,330,343,260,323,333,308,298,【,例,】,有四个品牌的彩电在五个地区销售，为分析彩电的品牌,(,因素,A,),和销售地区,(,因素,B,),对销售量是否有影响，对每个品牌在各地区的销售量取得以下数据，见下表。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？,四、双因素方差分析例题,1、对因素,A,提出的假设为,H,0,:,m,1,=,m,2,=,m,3,=,m,4,(,品牌对销售量没有影响,),H,1,:,m,i,(,i,=1,2,4),不全相等,(,品牌对销售量有影响,),2、对因素,B,提出的假设为,H,0,:,m,1,=,m,2,=,m,3,=,m,4,=,m,5,(,地区对销售量没有影响,),H,1,:,m,j,(,j,=1,2,5),不全相等,(,地区对销售量有影响,),四、双因素方差分析例题,结论：,F,A,18.10777,F,3.4903,，拒绝原假设,H,0,，说明彩电的品牌对销售量有显著影响,F,B,2.100846,F,3.2592,，接受原假设,H,0,，说明销售地区对彩电的销售量没有显著影响,学以致用,课间休息,