高等代数第六节.ppt

主要内容,问题的提出,第六节行列式按一行（列）展开,余子式和代数余子式,行列式按行,(列),展开定理,3,级行列式的几何意义,行列式计算举例,一、问题的提出,在第四节中，我们把,n,级行列式的定义中的,n,!,项分成,n,组，每组提取公因式后得到如下结果：,i,=1,2,n,.,那么这些,A,ij,i,j,=1,2,n,究竟是什么呢？,这就,是本节我们将要讨论的问题,.,为了找到解决问题的,线索，还是从二级和三级行列式的定义入手,.,二级,和三级行列式的定义分别如下：,把三级行列式定义中的,6,项，按含有第一行的,3,个元素的规则进行分组，每组提取公因式，得,于是就有,也就是说，,A,11,，A,12,，,A,13,都是带符号的二级行列,式，那么这些二级行列式的构成有规律吗？,符号又是怎么确定的呢？,下面作进一步的研究,.,A,11,，,A,12,，,A,13,的元素在三级行列式中的位置,分别如下：,它们的,特点：,划掉了,a,11,所在的行和列,特点：,划掉了,a,12,所在的行和列,特点：,划掉了,a,13,所在的行和列,A,11,，,A,12,，,A,13,的符号由它们所对应的元素,a,11,a,12,a,13,在三级行列式中的位置确定，,A,ij,的符号为,(-1),i,+,j,.,三级行列式中的,A,ij,的构成规则可推广到,n,级,n,级,行列式中,A,ij,是一些带有正负号的,n,-1,级行列式,.,为了从理论上证明这一结论，我们,先引进余子式和代数余子式的概念,.,行列式，即,二、余子式和代数余子式,定义,7,在,n,级行列式中,把元素,a,ij,所在的,第,i,行和第,j,列划去后,剩下的元素按它们在原,行列式中的相对位置组成的,n,-1,级行列式称为元,素,a,ij,的,余子式,记作,M,ij,.,按这个定义，对于三级行列式，有,下面就来证明,A,ij,=(-1),i,+,j,M,ij,.,我们先由行列式的定义证明,n,级 与,n,-1,级行,列式的下面这个关系，,证明,左边,事实上，左边按行列式定义展开得,在上述展开式中，只有,j,n,=,n,的项才可能不为零，,而,a,nn,=1,所以上式可变形为,显然,j,1,j,2,j,n,-1,是,1,2,n,-1,的排列，且,所以,左边,右边,.,这就证明了,(1)式.,为了证明,A,ij,=(-1),i,+,j,M,ij,，,在,i,=1,2,n,.,中令,得,的结论，把,A,ij,的行,作如下,调换：,把,A,ij,的第,i,行依次与第,i,+1,行、第,i,+2,行、,、第,n,行对调，这样,a,ij,=1,就调到原来,a,nj,位置上，调换的次数为,n-i,，,于是就有,为了利用,再把,A,ij,的第,j,列依次与第,j,+1,列、第,j,+2,列、,、第,n,列对调，这样就使,a,ij,=1,调到第,n,行第,n,列的位置，调换的次数为,n-j,，,所以,证毕,定义,8,称,A,ij,=(-1),i,+,j,M,ij,为,元素,a,ij,的,代数,余子式,.,例 1,利用下列模型求任意一个四级行列式的,余子式和,代数余子式.,三、行列式按行,(列),展开定理,定理,4,设,A,ij,表示元素,a,ij,的代数余子式，则下列公式成立：,当,k,=,i,当,k,i,.,当,l,=,j,当,l,j,.,用连加号简写为,当,k,=,i,当,k,i,;,当,l,=,j,当,l,j,.,证明,当,k,=,i,当,k,i,.,由于行列式中行与列的地位是对称的,当,k,=,i,时已证，只需证,k,i,的情形,.,设行列,式的第,i,行的元素等于第,k,行的元素，即,a,ij,=,a,kj,j,=1,2,n,k,i,.,把行列式第,i,行展开，得,故只需证,由于,a,ij,=,a,kj,j,=1,2,n,k,i,，,把上式的,a,ij,换,成,a,kj,，,得,于是就有,第,i,行,第,k,行,上式右端的行列式中含有两个相同的行，故行列,式的值等于零,.,证毕,四、,3,级行列式的几何意义,设,3,级行列式,的行是向量,1,、,2,、,3,在直角坐标系下的坐标,即,那么,于是,由此可得,三个向量,1,、,2,、,3,共面的充要条件是：,的坐标构成的,3,级行列式,d,=0；,若,d,0，,则,|,d,|,表,示以这三条向量为邻边的平行六面体的体积,.,例如,它们,设,因为,所以它们共面,.,图 2 1,如图 2 1 所示,.,设,其体积,V,为,以,1,、,2,、,3,为邻,边的,平行六面体如图2 2,所示,.,图 2 2,五、行列式计算举例,例 2,任意输入一个行列式，利用下列展开式,模型计算之,.,例 3,行列式,称为,n,级的,范德蒙德,(,Vandermonde,),行列式,.,证明,证明,对,n,作归纳法,.,当,n,=2,时，,结论成立,.,设对于,n,-1,级的范德蒙德行列式结论,成立，现在来看,n,级的情形,.,在,n,级范德蒙德行,列式中，第,n行减去第,n,-1,行的,a,1,倍，第,n,-1,行,减去第,n,-2,行的,a,1,倍.,也就是由下而上依次地从,每一行减去它上一行的,a,1,倍，有,按第,1,列展开，并把列的公因子,(,a,i,-,a,1,),提出，得,上式右端行列式是,n,-1,级范德蒙德行列式，按归,纳法假设，它等于所有,(,a,i,-,a,j,),因子的乘积，其中,2,j,i,n,.,故,证毕,例 4,证明,证明,对,k,用数学归纳法,.,当,k,=1,时，上式左边为,按第一行展开，就得到所要的结论,.,假设当,k,=,m,-1,时结论成立，即左边行列式的,左上角是,m,-1,级时已经成立，,时，结论也成立,.当,k,=,m,时，按第一行展开，有,现在再来证明,k,=,m,这里第二个等号是用了归纳法假定，最后一步是,根据按一行展开的公式,.,根据归纳法原理，结论普遍成立,.,证毕,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,