第一次课 矩阵的初等变换.ppt

目录 上页 下页 返回 结束,主讲教师 理学院 吕建聚,E-mail:,jjlu,Tel:[phone],线 性 代 数,线 性 代 数,教材,线性代数,江龙 程,林凤等 高教出版社,主要参考书,线性代数学习指导,中国矿业大学出版社,地点,：教,1-C300(,答疑室,),时间：,第,212,周（除第五周），周三,7-8,节课,答疑安排,考前安排集中答疑（时间另行通知，地点不变）,成绩评定办法,平时成绩30%+期末考试70%,平时成绩包括：课堂点名+作业+课堂小测验+实验课,实验课5分/100分，由实验老师评定,小测验15分/100分，上课时随机进行，每缺一次，,扣分不低于5分/100分，期望大家保证出勤,点名、作业10分/100分，缺一次扣4分/100分,第一章 线性方程组,1.1,线性方程组,1.2,矩阵及其初等变换,1.3,线性方程组的矩阵解法,一、引例,炼铁厂使用不同的含铁原料，不同原料含有铁,（Fe）、二氧化硅（SiO2)、氧化钙（CaO)、硫（S),磷（P）、铝（AL2O3)、锌、镍、铜等多种元素，,在冶炼之前进行配比中和，达到一定的成份要求。,1.1,线性方程组,原料信息,原料,原料,成份信息,%,序号,产地,名称,TFe,SiO2,CaO,MgO,Al2O3,S,P,TiO2,1,巴西,巴粗,57.05,5.02,0.41,0.24,2.48,0.01,005,0.06,2,澳洲,PB,粉,53.66,9,0.41,0.24,2.48,0.02,0.07,0.07,3,印度,印粉,54.46,6.8,5.89,0.17,0.074,0.074,4,巴西,卡粉,65,2.55,0,0.82,1,0.02,0.05,0.06,5,明达,精粉,65,4.38,1.01,0.33,0.025,0.08,6,本地,精粉,65,2.43,1.4,0.19,0.022,7,太平,精粉,65,2.96,1.02,4.58,1.71,0.36,0.01,0.07,8,安徽,安徽块,53,9,2.48,0.204,0.131,9,马来块,马来块,53.34,1446,4.06,0.051,0.02,0.054,10,阿里奇,矿粉,57.8,5.86,2.02,0.036,0.061,11,马来矿,马来粉,46.03,13.59,0,0,5.23,0.076,0.097,0.086,12,澳洲,扬迪粉,57.85,5.59,1.44,0.08,0.04,13,澳洲,火箭特粉,57.05,5.02,2.55,0.031,0.04,14,澳洲,麦克粉,61.33,4,2.2,0.037,0.082,15,澳洲,纽曼粉,62.86,4.07,2.37,0.011,0.082,16,澳洲,PB,粉,61.5,4.56,2.43,0.017,0.087,原料信息,原料,原料成份信息,序号,比例,名称,TFe,SiO2,CaO,MgO,Al2O3,S,P,TiO2,1,x1,巴粗,57.05,5.02,0.41,0.24,2.48,0.01,0.05,0.06,2,x2,PB,粉,53.66,9,0.41,0.24,2.48,0.02,0.07,0.07,3,x3,印粉,54.46,6.8,5.89,0.17,0.074,0.074,4,中和要求,55,6,0.06,如果仅使用前三种原料，中和效果见表格最下一行,可以列方程组,增加一个成分要求，增加一个约束,增加一种原料,方程组,17,个未知量，,9,个方程,增加一个方程,增加一个未知量,这里大家也看到，方程的个数同未知数的个数,并不要求相同，这点同中学阶段完全不同,采用,17,种原料，,8,种成分均有要求的情况，列出的,方程组是工程师在解决实际问题中经常遇到的，对方程组,要解决两方面的问题：,一是，方程组的求解问题,二是，如果未知量非常多，方程个数也非常多，表达,不方便，寻找复杂数学表达式的表达方法-,-,矩阵,这两个问题就构成了本课程的核心内容。,n,元线性方程组的一般形式,:,齐次线性方程组,:,非齐次线性方程组,:,线性方程组的解集,:,方程组解的全体,二,.,基本概念,(1),如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？,(2),如何求方程组的通解？,要解决的问题：,例,1.1,解线性方程组,消元法是解方程组的基本方法,简单的回忆一下加减消元法,三 解法,例,1.1,解线性方程组,解,回代,加减消元法实质是对线性方程组进行三种同,解变换,（,1,）交换任意两个方程的位置；,（,2,）任一个方程的两边同乘一个非零的实数；,（,3,）任一个方程的倍数加到另一个方程上,例,1.2,解方程组,解,观察线性方程组,实质是同一个方程，决定方程组的是方程的系数及,常数项，系数和常数项可看做是一个数表,一 定义,1.2,矩阵及其初等变换,思考题：,四个,1,字可以构造多少个矩阵？,强调：矩阵除了元素之外，重要的是数字的,排列方式，也就是今后常说的矩阵的结构,(1)11,的矩阵就是一个数2),行数与列数都等于,n,的矩阵,A,，称为,n,阶方阵或,n,阶矩阵。,(3),只有一行的矩阵,称为行矩阵或,n,维行向量。,a,i,称为,A,的第,i,个分量。,称为列矩阵或,m,维列向量。,(4),只有一列的矩阵,【,注,】,几种特殊矩阵,(5),元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为,O,。,(6),矩阵,(,约定未写出元素全为零,),称为单位矩阵。,(7),矩阵,称为对角矩阵。记作,二 两个矩阵相等,设 ，如果,则称,A,与,B,相等,，记作,A,=,B,。,问,：与 相等吗？,强调 矩阵相等：结构相同、对位元素相同,(3),把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，,矩阵的三种,初等行变换（习惯上行用,r,标示，列用,C,标示）,(1),交换矩阵的某两行，记为,(2),以不等于的数乘矩阵的某一行，记为,记为,类似定义三种,初等列变换,以上六种变换统称为矩阵的,初等变换,三 矩阵的初等变换,矩阵的初等行变换举例。,【,注,2】,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,初等列变换也有类似的结果,逆变换,逆变换,逆变换,初等变换的作用？,定义,行阶梯形矩阵,及,行最简,(,阶梯,),形矩阵,(,行最简,形就是所谓的最简单的“代表”,),书,P9,定义,1.,4,行阶梯形矩阵,行最简阶梯形矩阵,（,1,）,台阶左下方元素全为零,；,（,2,）,每个台阶上只有一行,；,（,3,）,每个台阶上第一个元素不为零,。,行阶梯形矩阵,：,行最简阶梯形,(1)(2)(3)+(4),台阶上的第一个元素为,1,且其所在列其它元素全为零。,矩阵,(2),称为,行阶梯形矩阵,，,矩阵,(4),称为,行最简,(,阶梯,),形矩阵,下面矩阵也是,行阶梯形矩阵,下面矩阵是,行最简阶梯形矩阵,定义,定义,【,定理,1.1】,每个非零矩阵都可以经过有限次初等行变换化为,行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵,.,例,1,【,问题,】,如果可以利用初等列变换，矩阵,B,可以化简成的最,简单形式是什么？,加注：阶梯形不唯一，最简阶梯形唯一,接例,1,形状为,等价具有下列性质：,如果,矩阵,B,可以由矩阵,A,经过一系列行初等变换得到，则称,A,与,B,行等价，记,为,。,如果矩阵,B,可以由矩阵,A,经过,一系列初等,列,变换,得到，则称,A,与,B,列等价，记为,。,（,1,）,自反性,A A,（,2,）,对称性,若,A B,，则,B A,（,3,）,传递性,若,A B,，,B C,，则,A C,定义,1.6,如果矩阵,B,可以由矩阵,A,经过一系列初等,变换得到，则称,A,与,B,等价，记为,。,等价标准形是唯一的。,【,结论,】,用初等变换必能将矩阵化为如下,等价标准形,此页可以考虑不要,作业,P11,4,