第十九章平行四边知识归纳.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十九章知识归纳复习,知识点,1,平行四边形,1.,平行四边形的定义：,两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两条对角线相互平分的四边形是平行四边形,练习,1.,如图，,ABDE,EF BC,DF AC,图中有几个平行四边形？,将它们表示出来，并说明理由。,A,F E,B D C,有,3,个平行四边形；四边形,AFDE,四边形,BFED,四边形,EFDC;(,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,),2.,平行四边形对边性质,平行四边形的对边相等，,平行四边形对角相等,平行四边形对角线相互评分,练习,2.,如图，在,ABCD,中，已知,AD=8cm,，,AB=6cm,，,DE,平分,ADC,交边,BC,于点,E,，则,BE,等于（）,A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm,3.,平行四边形的中心对称性。,练习,3.,如图，在,ABCD,中，,AC,、,BD,为对角线，,BC=6,，边,BC,上的高为,4,，则阴影部分的面积为（）,A.3 B.6 C.12 D.24,A,D,B E C,ADBC,DE,平分,ADC,，,ADE=EDC=DEC,CDE,是等腰三角形，,CD=CE=AB=6,BE=2,平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。,A D,B C,解析,：,S,ABCD,=24,，根据平行四边形的中心对称性，知若将阴影部分沿对称中心旋转,180,，则阴影部分和空白部分恰好重合。故阴影部分和空白部分面积相等等于,12,4.,平行四边形的性质,练习,4.,已知：如图，在,ABCD,中，过对角线,BD,的中点,O,作直线,EF,分别交,DA,的延长线、,AB,、,DC,、,BC,的延长线于点,E,、,M,、,N,、,F,。,（,1,）观察图形并找出一对全等三角形：,，请加以说明；,（,2,）在（,1,）中你找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？,（,1平行四边形的对边相等，（,2,）平行四边形的对角相等，（,3,）平行四边形的对角线相互平分。,E A D,M,O,N,B C F,(1)DOE BOF,BOM DON,ABD CDB,证明：四边形,ABCD,是平行四边形，,ADBC,EDO=FBO,E=F,。又,OD=OB,DOE BOF,（,ASA,）,(2),绕点,O,旋转,180,后可得到。,5.,两平行线之间距离,:,练习,5.,已知在,ABCD,中，点,E,、,F,分别在边,AB,、,BC,上。若,AB=10,，,AB,与,CD,间距离为,8,，,AE=EB,，,BF=FC,求,DEF,的面积。,6.,平行四边形的判定,:,若两条直线相互平行，则一条直线上的任意两点到另一直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离,A E B,D C,F,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两条对角线相互平分的四边形是平行四边形,练习,6.,已知：在如图所示的,ABCD,中，,M,、,N,分别是,AB,、,CD,的中点，,AN,与,DM,相交与点,P,BN,与,CM,相交与点,Q.,求证：,PQ,与,MN,互相平分。,A M B,D N C,P Q,解：过,F,作,FGAB,垂足为,G,延长,GF,交,DC,的延长线与,N,则,MN=8,，,FMBFNCASA),，,FM=FN=4,，,S,DEF,=S,ABCD,S,DAE,S,EBF,S,FDC,=80,20,10,20=30,M,N,解析：四边形,ABCD,是平行四边形，,M,、,N,分别是,AB,、,CD,的中点。,NC=MA,且,NCMA,ND=MB,且,NDMB,所以四边形,ANCM,是平行四边形，四边形,BNDM,是平行四边形；所以四边形,MQNP,是平行四边形（,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,）,练习,7.,如图，,E,、,F,是四边形,ABCD,的对角线上的两点，,AF=CE,DF=BE,，,DFBE,求证,（,1,）,AFD CEB(2),四边形,ABCD,是平行四边形。,A B,D C,F,E,证明,(1)DFBE,，,DFA=CEB,又,AF=CE,DF=BE,，,DFABEC(SAS),(2),由（,1,）知：,DAF=BCE,ADCB,（内错角相等两直线平行）,又,DFABEC,，,AD=CB;,所以,四边形,ABCD,是平行四边形（,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,）,练习,8.,如图，将,ABCD,的对角线,BD,向两个方向延长至点,E,和点,F,，使,BE=DF,求证：四边形,AECF,是平行四边形。,A,B,C,D,E,F,证明：,四边形,ABCD,是平行四边形,AB=CD,ABD=CDB,所以,ABE=CDF,又,BE=DF,ABECDF(SAS),AE=CF,AEB=CFD,四边形,AECF,是平行四边形（,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,）,5.,三角形的中位线,练习,9,如图，已知,E,为,ABCD,边,DC,延长线上一点，且,CE=DC,连接,AE,分别交,BC,、,BD,于点,F,、,G,连接,AC,交,BD,于点,O,，连接,OF,。求证,AB=2OF.,A D,B F C,O,G,E,证明：四边形,ABCD,是平行四边形,ADFC,又,DC=EC,FC,是,ADC,的中位线，,AF=FE,又,AC,是,ABCD,的对角线，,AO=CO,OF,是,ACE,的中位线，,CE=2OF,AB=DCEC,所以,AB=2OF,三角形两边中点的连线叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半,知识点,2,。矩形：,练习,10.,已知在,ABCD,中，,M,为,AD,的中点，且,BM=CM,求证：,ABCD,是矩形。,A M D,B C,证明：四边形,ABCD,是平行四边形，,A+D=180,AB=DC,又,BM=CM,，,AM=DM;,所以,ABMDCM,A=D=90,，四边形,ABCD,是 矩形,练习,11.,如图，四边形,ABCD,是 矩形，,PBC,和,QCD,都是等边三角形，且点,P,在矩形上方，点,Q,在矩形内。求证：,（,1,）,PBA=PCQ=30;(2)PA=PQ,A D,B C,P,Q,证明：四边形,ABCD,是 矩形，,ABC=90,PBC,是等边三角形,PBC=60,，,PBA=30.,同理：,PCD=30,，又,QCD,是等边三角形，,DCQ=60,，,PCQ=30.,在,APB,和,QPC,中,AB=DC=QC,PB=PC,PBA=PCQ=30,APB,QPC,（,SAS,）,PA=PQ,四个内角都是,90,的平行四边形叫做矩形。,矩形的对角线相等，,12.,如图，,四边形,ABCD,是 矩形，过点,A,作,AEBD,，交,CB,的延长线于点,E.(1),猜想：图中的,ACE,是,三角形；（,2,）证明你的猜想。,13.,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,ABC=ADC=90,，,M,、,N,分别是,AC,、,BD,的中点。求证,（,1,）,MD=MB;(2)MNBD,。,A D,E B C,等腰,证明：因为四边形,ABCD,是 矩形，,AC=BD,ADBC,，又,AEBD,，四边形,AEBD,是平行四边形（,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,），,AE=DB=AC,，,ACE,是,等腰三角形。,A,B C,D,M,N,证明,;(1)ABC=ADC=90M,是,AC,的中点，,MD=0.5AC,MB=0.5AC.MD=MB,(2)MD=MB,，,N,是,BD,的中点，,MNBD(,等腰三角形底边上的中线垂直于底边,),知识点,3,菱形：,练习,14,如图，,ABCD,的对角线,AC,的垂直平分线与边,AD,、,BC,分别相交与点,E,、,F,，四边形,AFCE,是菱形吗？为什么？,A E D,B F C,O,答：是菱形,EF,是,AC,的垂直平分线,AE=CE,又,AECF,四边形,AFCE,是平行四边形，又因为,AF=CF,四边形,AFCE,是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）,一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。,菱形的对角线相互垂直平分，,15.,如图，在菱形,ABCD,中，,E,、,F,分别为,BC,、,CD,上的点，且,CE=CF,。求证：,AE=AF,16.,如图，在菱形,ABCD,的周长为,40cm,，,AC,、,BD,相交于点,O,且,BD,:,AC=3,:,4.,求,AC,、,BD,的长，及菱形,ABCD,的面积,A D,B E C,F,A D,B C,O,解：设：,BD=3x,则,AC=4x,，,BO=1.5x,，,AO=2x,菱形,ABCD,的周长为,40cm,，,AB=BC=CD=DA=10cm,由勾股定理知：（,1.5x,）,2,+,（,2x,）,2,=10,2,.,解得,x=4.,AC=16,，,BD=12.S,ABCD,=96.,证明：四边形,ABCD,是菱形。,AB=AD,BC=CD,B=D,CE=CF,BE=DF.ABEADF,AE=AF,17.,如图在,四边形,ABCD,中，,AD,BC,AB=CD,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AD,、,BD,、,BC,、,AC,的中点。求证：四边形,EFGH,是菱形。,A E D,B G C,F H,证明,:E,、,H,分别是,AD,、,AC,的中点，,EH=CD,同理可证：,EF=AB,FG=CD,HG=AB.,AB=CD.,EH=EF=FG=HG,四边形,EFGH,是菱形。,1,2,1,2,1,2,1,2,第十九章平行四边形测试题,一、选择题,:,1,下面几组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）,A,一组对边相等,;B,两条对角线互相平分,C,一组对边平行,;D,两条对角线互相垂直2,下列命题中正确的是（）,A,对角线互相垂直的四边形是菱形,;B,对角线相等的四边形是矩形,C,对角线相等且互相垂直的四边形是菱形,;D,对角线相等的平行四边形是矩形,3,如图所示，四边形,ABCD,和,CEFG,都是平行四边形，下面等式中错误的是（）,A,1+8=180,;B,2+8=180;,C,4+5=180;D,1+6=180,B,D,A,1.,考查平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形,两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两条对角线相互平分的四边形是平行四边形,2.,解析：,A,项对角线互相垂直,且平分,的四边形是菱形B,项对角线相等的,平行,四边形是矩形；等腰梯形的对角线也相等相等。,C,项项对角线互相垂直,且平分,的四边形是菱形,解析：根据平行线的性质得：,2=7=4=6,；,1=3=5=8,1+4=2+3=5+6=7+8=180,4,在正方形,ABCD,所在的平面上，到正方形三边所在直线距离相等的点有（）,A,3,个,B,4,个,C,5,个,D,6,个,5,菱形的两条对角线长分别为,3,和,4,，那么这个菱形的面积为（平方单位）（）,A,12 B,6 C,5 D,7,6,矩形两条对角线的夹角为,60,，一条对角线与短边的和为,15cm,，则矩形较短边长为（）,A,4cm B,2cm C,3cm D5cm,7,下列结论中正确的有（）,等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且有三条对称轴；,矩形既是中心对称，又是轴对称图形，且有四条对称轴；,对角线相等的梯形是等腰梯形；,菱形的对角线互相垂直平分,A,；,B,;C,；,D,8,小李家住房的结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少要买（）,m,2,的木地板,A,12xy B,10 xy C,8xy D,6xy,B,A,a,b,c,d,e,4.,图示,A,B,C,D,C,D,二、填空题,:1,用正三角形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有,_,个正三角形和,_,个正方形,2,平行四边形的一组对角和为,300,，则另一组对角的度数分别为,_,3,已知,P,为,ABCD,的边,AB,上一点，则,S,PCD,=,4,已知,ABCD,中，,A,比,B,小,20,，那么,C,的度数是,_,5,在,ABCD,中，若一条对角线平分一个内角，则四边形,ABCD,为,_,形,6,一个正方形要绕它的中心至少旋转,_,，才能和原来的图形重合；若绕它的一个顶点至少旋转,_,，才能和原来的图形重合,7,如图所示，在等腰梯形,ABCD,中，,共有,_,对相等的线段,8,梯形的上底长为,acm,，下底长为,bcm,（,ab,），,它的一条对角线把它分成的两部分,的面积比为,_,3,2,1.,设：正三角形,X,个，正方形,y个；,60 x+90y=360,2x+3y=12(x,y,为自然数,)2.,平行四边形内角和,=360,解之得：,x=3,y=2,平行四边形对角相等,30,1,2,S,ABCD,80,菱,90,360,4,a,:,b,如右图：设上底,AD=,acm,下底,BC=,bcm,高为,h,S,ADB,=,S,DBC,=,bh,;,两三角形的面积之比,=,a:b,1,2,1,2,ah,三、解答题,1,在四边形,ABCD,中，,ABCD,，,D=2B,，,AD,与,CD,的长度分别为,a,和,b,（,1,）求,AB,的长（,2,）若,ADAB,于点,A,，求梯形的面积,2,梯形,ABCD,中，,DCABDCAB,，过,D,点作,DEBC,，交,AB,于点,E,，若梯形周长为,30cm,，,CD=4cm,，则,ADE,的周长比梯形的周长少多少厘米？,A,B,D,C,a,b,E,解,(1),过,C,作,CEAD,已知,ABCD,四边形,ADCE,是平行四边形,;,所以,D=AEC=B+BCE,又,D=2B,B+BCE=2B,，,B=BCE,，,CE=BE=a,AB=,a+b,(2)S,梯形,ABCD,=(,a+b+b),a,=(a,2,+2ab),1,2,1,2,解：如右图所示,DCAB,，,DECB,，,四边形,DEBC,是平行四边形，,DC=EB,，,DE=CB,，,L,梯形,ABCDL,ADE,=,（,DC+AD+AB+BC,）,-,（,AD+AE+DE,）,=DC+EB=2DC,CD=4cm,，,ADE,的周长比梯形的周长少,8cm,L,表示周长,3,如图所示，已知四边形,ABCD,为正方形，,M,为,BC,边中点，将正方形折起，使点,M,与,A,重合，设折痕为,EF,，则,ME=AB,，求,AEM,的面积与正方形,ABCD,面积的比,4,如图所示，已知,ABCD,中，,AC,的平行线,MN,分别交,DA,，,DC,的延长线于,M,，,N,，交,AB,，,BC,于,P,，,Q,，求证：,QM=NP,依题意可知,EM=EA,EM=AB,，,EA=AB,M,是,BC,边中点，,MB=BC,正方形,ABCD,，,B=90,，,AB=BC=CD=DA,，,S,AEM,：,S,正方形,ABCD,=,：,AB,2,=,：,AB,2,=1,:,6,解析：四边形,ABCD,是平行四边形，,ADBC,，,ABND,ACMN,，,四边形,ACQM,，,APNC,是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）,AC=PN=MQ,（平行四边形对边相等）,5,已知,AD,是,ABC,中,A,的平分线，,DEAC,交,AB,于,E,点，,DFAB,交,AC,于,F,点求证：,E,，,F,关于直线,AD,对称,6,（,1,）证明：在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为,30,（,2,）利用这个结论解决下列问题：如图所示，在梯形,ABCD,中，,ABCD,，,ADAC,，,AD=AC,，,DB=DC,，,AC,，,BD,交于点,E,，试问,CE,与,CB,相等吗，为什么？,证明：,DEAC,，,DFAB,，四边形,AEDF,是平行四边形,AD,是,ABC,中,A,的平分线，,1=2,，,AEDF,是菱形（对角线平分一组对角的平行四边形是菱形）,EF,关于直线,AD,对称,（,1,）如右下图,RtABC,已知,A=30,，求证,AB=2BC,证明：延长,BC,至,D,使,BC=CD,连接,AD,，则,RtABC,RtADC,ABD,为等边三角形，,AB=BD=AD;BD=BC+CD=2BC,A,B C D,(2),如右上图，过,A,作,AMDC,垂足为,M,过,B,作,BNDC,垂足为,N,因为,ABCD,所以四边形,ABNM,为平行四边形，,AM=BN,AB=MN;,又,ADC,为等腰直角三角形,ADC=ACD=45,，所以,AMD,、,AMC,也是等腰直角三角形，,AM=DM=CM,DB=2BN,BDN=30,。,BEC=30+45=75,，,DBC,是等腰三角形，,DBC=DCB=75,，,BEC=DBC=75,三角形,CBE,是等腰三角形，,CE=CB.,M,N,7,、如图所示，在烟台市第一海水浴场铺设了一块长,48m,，宽,32m,的矩形花圃，喷水嘴安装在矩形对角线的交点,P,处，现计划从点,P,引三条射线把花圃分成面积相等的三部分，分别种植三种不同的花（不考虑各部分之间的空隙），请你通过计算，形成多个设计方案，并根据你的设计方案回答出三条射线与矩形有关边的交点位置（本题只要求设计四个正确方案以及其中一个方案的解答过程）,如答图所示，如实线所示,证明：如答图（,1,）将,AD,分成三等份，将,AB,分成三等份,矩形对角线将矩形分割成四个面积相等的三角形,ABP,，,BPC,，,PCD,，,DAP,，将,AD,的两个三等分点分别与点,P,连结，且延长与,BC,相交，可将,ADP,，,BPC,三等分同理将,AB,的两个三等分点分别与点,P,连结，且延长与,CD,相交，可将,ABP,，,DPC,三等分，这样就构成,12,个小三角形，且这,12,个小三角形的面积相等，每相邻,4,个小三角形的面积之和为矩形面积的 ，得证,（,1,）（,2,）,