单自由度振动方程的解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,10-3,单自由度体系的强迫振动,单自由度体系振动方程的解,重 点：杜哈美积分,难 点：杜哈美积分的来源,一、无阻尼的自由振动,记,2,=,初始条件为：,),sin(,),(,a,w,+,=,t,a,t,y,无阻尼自由振动是简谐振动,t,/,a,a,自振频率只与结构的,质量和结构的刚度,有关，与初始条件及外界的干扰力无关。,自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结构的自振频率，只有从改变结构的质量或刚度着手。,自振频率,st,g,D,=,Wg,=,d,m,=,d,1,st,在质点上沿振动方向施加数值为,W,的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。,二、有阻尼的自由振动,记,利用常数变易法，令,n,为衰减系数,1.,当,n,时（强阻尼）,2,n=,时（称为临界阻尼）,S(t)=B,1,+B,2,t,n=,C,c,r,=2m,（此式为确定临界阻尼的公式）,=,t,y,y,0,0,称为阻尼比,对钢筋混凝土结构,5%,，一般取,3%,对钢结构,=1%2%,3,）当,n,时（弱阻尼）,令,t,y,1.,瞬时冲击荷载作用时的强迫振动,t,P(t,),t,特点：,作用时间与系统的自振周期相比很小,t,时间内,P,（,t,）可视为常数,设单自由度体系在静止状态，在极短时间,t,内作用干扰力,P(t,),，在时间,t t,0,内由动量定理得,若,t,0,=0,时,v,0,=0,则，,于是，在（,0,，,t,）时间内系统产生的位移反应,y(t,),为,三、无阻尼的强迫振动,由假设，干扰力作用的时间为,t,，则,t,时间内系统产生的速度反应和位移反应分别为,y(t,),和,v(t,),比较是高阶无穷小量，,t,极短，故可认为,:,t,时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为,初位移为,的自由振动。,瞬时冲击荷载移去后，运动成为自由振动,若时间,t,不是从,0,开始，而是从,开始的，则上式写为：,2.,一般性动力荷载,P,（,t,）作用于系统时,考虑,P,（,t,）在（,0,，,t,）时间内作用于系统，,认为是由无数个瞬时冲击荷载的叠加，,如图。,P,（,t,）,t,+d,考虑由时刻,开始，在,d,时间内的位移反应,则，在（,0,，,t,）时间内作用于系统，系统所产生的位移反应为,此式称为,杜哈美,积分（卷积、褶积）,如果叠加自由振动部分，可得位移反应,P,（,t,）,t,+d,3.,简谐荷载作用下的解,以,P,（,t,）,=,Psint,代入杜哈美积分得：,为,静位移,为,动力系数,由于,P,（,t,）作用，由振动系统产生，称为,生态振动,由,P,（,t,）自身产生，称为,稳态振动,上式由两部分组成,生态振动由于阻尼的影响，较长时间后振动会消失，故，方程式的稳态解为,：,反映了惯性力的影响,动力系数谱曲线,1,2,3,0.5,1.0,1.5,2.0,1,，称为共振后区，为减小动力系数，可采取减小,的方法,-,柔性方案,工程中，把,0.75 1.25,的区域称为共振区，设计时应避开。,四、有阻尼的强迫振动（弱阻尼）,1.,瞬时冲击荷载作用下的位移反应,t,P(t,),t,t,时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为,初位移为,的自由振动。,有阻尼的自由振动位移反应,若,t,从,开始，则上式写成,2.,任意动力荷载,p,（,t,）作用时的位移反应,考虑,P,（,t,）在（,0,，,t,）时间内作用于系统，认为是由无数个瞬时冲击荷载的叠加，如图。,P,（,t,）,t,+d,*,3.,简谐动力荷载,Psint,作用下的解,设特解（稳态解）：,y,（,t,）,=B,1,cost +B,2,sint,令,B,1,=-,Csin,，,B,2,=,Ccos,，,则：,y(t,)=,Csin,（,t,-,）,式中，,C,为振幅，,为相位角。,C=,静位移,动力系数,给出不同的阻尼比,，画出位移反应谱示意图如下,1,2,3,4,5,0.5,1.0,1.5,2.0,=0.05,=0.2,=0.25,随阻尼比,的增大而下降较快，特别是在,=1,附近,*,1,2,3,4,5,0.5,1.0,1.5,2.0,=0.05,=0.2,=0.25,共振时,=1,，此时,=,（不是最大值），,max,=,，在,=1,的左侧,*,1,2,3,4,5,0.5,1.0,1.5,2.0,=0.05,=0.2,=0.25,当,=,时，,=,*,当,=,时，,=,惯性力：,弹性力：,阻尼力：,n=,可见，共振时惯性力与弹性力平衡；阻尼力与外力（干扰力）平衡。若无阻尼，则无任何力与外力（干扰力）平衡，以致出现,y(t,),趋于,，产生共振,五、地震地面运动,惯性力,弹性力,阻尼力,