1、单击此处编辑母版标题样式,*,*,返回,上页,下页,目录,第四节,隐函数,及,由参数方程 所确定的函数的导数,第二章,三、相关变化率,二、,由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,四、小结与思考题,1/30/2026,1,一、隐函数的导数,（,Derivative of Implicit Function,）,若由方程,可确定,y,是,x,的函数,由,表示的函数,称为,显函数,.,例如,可确定显函数,可确定,y,是,x,的函数,但此隐函数不能显化,.,函数为,隐函数,.,则称此,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(,含导数 的方程,),1/30/2026,2,在,x,=0,处的导
2、数,解,:,方程两边对,x,求导,得,因,x,=0,时,y,=0,故,确定的隐函数,例,1,求由方程,1/30/2026,3,在点,处的切线方程,.,解,:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,例,2,求椭圆,1/30/2026,4,的导数,.,解,:,两边取对数,化为隐式,两边对,x,求导,例,3,求,1/30/2026,5,1),对幂指函数,可用,对数求导法,求导,:,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意,:,说明,:,1/30/2026,6,例如,两边取对数,两边对,x,求导,2),有些显函数用对数求导法求导很方便,.,1/30/2026,7,对,x,求导,两边取对数,又如
3、1/30/2026,8,二、由参数方程所确定的函数的导数,（,Derivative of Function Determined by Parametric Equation,）,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导,且,则,时,有,关系,时,有,(,此时看成,x,是,y,的函数,),1/30/2026,9,二阶可导,且,则由,它确定的函数,可求,二阶导数,.,利用新的参数方程,可得,若上述参数方程中,1/30/2026,10,点击图中任意点动画开始或暂停,1/30/2026,11,解：,1/30/2026,12,而,所以，,于是所求切线方程为,即,1/30/2026,13,
4、解：,1/30/2026,14,确定函数,求,解,:,方程组两边对,t,求导,得,故,例,6,设由方程,1/30/2026,15,三、相关变化率,（,Related Rates of Change,）,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率,相关变化率问题,解法,:,找出相关变量的关系式,对,t,求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,1/30/2026,16,解：,1/30/2026,17,1/30/2026,18,由,(2),可得,1/30/2026,19,其速率为,当气球高度为,500 m,时,观察员,视线的仰角增加率是多少,?,解,:,设气球上升,t,分
5、后其高度为,h,仰角为,则,两边对,t,求导,已知,h,=500m,时,例,8,一气球从离开观察员,500 m,处离地面铅直上升,1/30/2026,20,内容小结,1.,隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.,对数求导法,:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.,参数方程求导法,4.,相关变化率问题,列出依赖于,t,的相关变量关系式,对,t,求导,相关变化率之间的关系式,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,1/30/2026,21,课后练习,习题,2-4 1,（,2,）（,4,）；,3,；,5,（,2,）（,4,）；,6,（,2,）；,7,；,10,思考与练习,求,1.,设,答案,:,1/30/2026,22,由,方程,确定,解,:,方程两边对,x,求导,得,再,求导,得,当,时,故由,得,再,代入,得,求,2.,设,1/30/2026,23,试求当容器内水,自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度,.,解,:,设时刻,t,容器内水面高度为,x,水的,两边对,t,求导,而,故,体积为,V,则,3.,有一底半径为,R,cm,高为,h,cm,的圆锥容器,现以,1/30/2026,24,考研真题,1/30/2026,25,1/30/2026,26,
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