B-S期权定价公式的简单推导.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,B-S,期权定价公式的简单推导,一、证券价格的变化过程,（一）弱式有效市场假说与马尔可夫过程,1965,年，法玛,（,Fama,）,提出了著名的有效市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。,有效市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。,弱式有效市场假说可用马尔可夫随机过程,（,Markov Stochastic Process,）,来表述。,随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。,如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。,（二）布朗运动,1,标准布朗运动,设 代表一个小的时间间隔长度，代表变量,z,在时间 内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：,特征,1,：和 的关系满足,（,4.1,）,其中，代表从标准正态分布（即均值为,0,、标准差为,1.0,的正态分布）中取的一个随机值。,特征,2,：对于任何两个不同时间间隔，和 的值相互独立。,考察变量,z,在一段较长时间,T,中的变化情形我们可得：,（,4.2,）,因 的相互独立性，得 也具有正态分布特征，其均值为,0,，方差为 ，标准差为,当,t,0,时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：,（,4.3,）,2,普通布朗运动,我们先引入两个概念：漂移率和方差率。,标准布朗运动的漂移率为,0,，方差率为,1.0,。,若令漂移率为,a,方差率为,b,2,，就可得到变量,x,的普通布朗运动：,（,4.4,）,其中，,a,和,b,均为常数，,dz,遵循标准布朗运动。,(,三,),伊藤过程与伊藤引理,普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量,x,的漂移率和方差率当作变量,x,和时间,t,的函数，我们可以从公式,(4.4),得到伊藤过程,（,Ito Process,）：,(4.5,）,其中，,dz,是一个标准布朗运动，,a,、,b,是变量,x,和,t,的函数，变量,x,的漂移率为,a,，方差率为,b,2,进一步：若变量,x,遵循伊藤过程，则变量,x,和,t,的函数,G(x,t),将遵循如下过程：,(4.6),这就是伊藤引理。,(,四,),证券价格的变化过程,证券价格的变化过程可以用漂移率为,S,、方差率为 的伊藤过程来表示：,两边同除以,S,得：,（,4.7,）,从（,4.7,）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：,可见，也具有正态分布特征,(4.8),(,五,),衍生证券所服从的随机过程,根据伊藤引理，衍生证券的价格,f,应遵循如下过程：,(4.9),(,六,),证券价格自然对数变化过程,令 ，由于,代入式（,4.9,）,（,4.10,）,证券价格对数,f,遵循普通布朗运动,且,二、,B-S,定价模型,(,一,)B-S,微分方程,1,B-S,微分方程的推导,我们假设证券价格,S,遵循几何布朗运动,：,则：（,4.11,）,假设,f,是依赖于,S,的衍生证券的价格，则：,（,4.12,）,（,4.13,）,为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则：,(4.14),在 时间后：,（,4.15,）,将式（,4.11,）和（,4.13,）代入式（,4.15,），可得：,（,4.16,）,在没有套利机会的条件下：,把式（,4.14,）和（,4.16,）代入上式得：,化简为,(4.17),这就是著名的,B-S,微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格,S,的所有衍生证券的定价。,2,，风险中性定价原理,假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。,尽管风险中性假定仅仅是为了求解,B-S,微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。,(,二,)B-S,期权定价公式,在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（,T,时刻）的期望值为：,其现值为 （,4.18,）,对数股票价格的分布为：,（,4.19,）,对式（,6.19,）求解：,（,4.20,）,详见,Hull(8)P232,其中,