第9章 弯曲.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,第,9,章,弯,曲,9-1,剪力图和弯矩图的进一步研究,9-3,求惯性矩的平行移轴公式,9-2,弯曲正应力,9-4,弯曲切应力,9-5,梁的强度条件,9-6,挠度和转角,9-7,弯曲应变能,9-8,超静定梁,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,9-1,剪力图和弯矩图的进一步研究,载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,;,载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律应用。,微分关系的推导,;,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,规定载荷集度,q,(,x,)向上为正。,1.,微分关系的推导,F,S,(,x,),d,x,M,(,x,),+,d,M,(,x,),F,S,(,x,),+,d,F,S,(,x,),q,(,x,),M,(,x,),C,y,A,m,n,B,x,d,x,x,q,(,x,),d,x,段载荷集度分布均匀。,载荷集度,q,(,x,),是,x,的连续函数。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,F,y,0,F,S,(,x,),+,q,(,x,),d,x,-,F,S,(,x,),+,d,F,S,(,x,),=,0,(1),M,C,=0,M,(,x,),+,d,M,(,x,),-,M,(,x,),-,F,S,(,x,),d,x,qx,),d,x,d,x,/2,=,0,(2),(3),F,S,(,x,),d,x,M,(,x,),+,d,M,(,x,),F,S,(,x,),+,d,F,S,(,x,),q,(,x,),M,(,x,),C,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,2.,载荷集度、剪力图、弯矩图之间的关系,56,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,归,纳：,(1),图,形,规,律,F,S,q,0,0,0,0,0,M,M,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(2),突,变,规,律,(a),在有集中力作用处,剪力图突变,弯矩图有折转。,(b),在有集中力偶作用处,剪力图无变化,弯矩图有突变。,(3),绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极值点处,也可能发生在集中力和集中力偶作用处。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,3.,应用分析,已知,:,F,=2,kN,，,M,=10,kN,m,q,=1,kN/m,。,求,:,梁,ABCDE,的剪力图及弯矩图。,解：,(1),求约束力,(2),利用微分关系作图,4 m,4 m,4 m,3 m,A,B,C,D,E,q,F,F,M,F,A,F,D,（,kN,m,）,M,20,20.5,16,6,6,x,（,kN,）,F,S,7,3,1,3,2,5m,x,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,思考题,9-1,下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,思考题,9-2,下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,9-2,弯曲正应力,横力弯曲,M,0,F,S,0,弯曲正应力,弯曲切应力,F,S,M,z,y,(-),(+),y,9.2.1,横力弯曲与纯弯曲的概念,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,先观察下列各组图,(a),图中这种梁段的弯曲,(,横截面上,既有弯矩又有剪力）称为,横力弯曲,。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(b),图中这种梁的弯曲,(,横截面上只有弯矩而无剪力）称为,纯弯曲,。,纯弯曲,纯弯梁,M=,0,F,S,=,0,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,9.2.2,单一材料的弯曲正应力,(3),荷载作用在纵向对称平面内。,l,x,b,h,y,z,1.,分析模型：,(1),单一材料窄高矩形截面梁（,h,b,）,；,(2),细长梁（,l,h,10,）；,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,静力学方面,:,纵向对称平面,2.,实验研究,y,b,/2,z,b,/2,x,y,z,O,m,n,n,m,a,a,b,b,M,M,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,弯曲变形演示,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,（,1,）各横向周线仍各在一个平面内，只是各自绕着与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度；,(2),纵向线段变弯，但仍与横向周线垂直；,(3),部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,直梁纯弯曲时，原为平面的横截面仍保持为平面，且仍垂直于弯曲后梁的轴线，只是相邻横截面各自绕着与弯曲平面垂直的某一根横向轴,中性轴作相对转动。,直梁纯弯曲时的,平面假设,：,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,M,M,受压区,受拉区,c,中性层,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,纯弯曲,正应力,切应力,=0,沿截面宽度方向均匀分布,正应力沿高度方向如何分布,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,3.,弯曲正应力的计算,(1),几何方面,:,(2),物理方面,:,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,中性轴通过截面的形心,z,y,A,(3),静力学方面,:,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,EI,z,为抗弯刚度,z,y,A,(a),几何方面：平面假设；,(b),物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。,公式的适用条件：,I,z,为对,z,轴的惯性矩,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,等直梁纯弯曲正应力的计算,小结：,正应力公式,通过截面形心,中性轴位置,s,=,Ey,/,r,单向应力状态下的胡克定律,s,=,E,e,s,变化规律,e,=,y,/,r,平面假设,e,变化规律,结果,依据,项目,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,截 面,z,y,线应变,+,max,正应力,+,max,max,线弹性,小变形,外力作用在纵向对称平面内,;,线应变和正应力在横截面上的分布规律。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,4.,轴惯性矩,z,y,b,空心矩形的惯性矩？,圆的惯性矩？,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴是哪个轴？截面对此轴的惯性矩表达式是什么？,思考题,9-3,z,y,b,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,5.,轴惯性矩及抗弯截面系数,对中性轴,z,的抗弯截面系数,:,（单位为,:mm,3,或,m,3,）,z,y,b,(1),实心矩形的惯性矩及抗弯截面系数,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(2),空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数,z,y,b,B,C,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(3),实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数,c,z,y,y,z,d,A,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(4),空心圆截面的惯性矩,c,z,y,d,c,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(b),物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。,6.,纯弯曲理论的简单回顾,公式,的适用条件：,(a),几何方面：平面假设；,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,7.,纯弯曲理论的推广,横力弯曲时，由于切应力的存在,梁的横截面将发生翘曲。此外在与中性层平行的纵截面上,还有由横向力引起的挤压应力。但工程中的梁,当跨高比较大时，按纯弯曲理论计算误差不大。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,y,z,80,65,20,20,80,35,单位,:mm,对于图示,T,形截面梁,已知,:,I,z,=290.6,10,-8,m,4,求横截面上的最大拉应力和最大压应力。,例题,9-1,3,A,B,1,3,kN,8,kN,C,2,x,M,2.5,kN,m,3,kN,m,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,解：,B,截面：,C,截面：,例题,9-1,3,A,B,1,3,kN,8,kN,C,2,x,M,2.5,kN,m,3,kN,m,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,y,z,80,65,20,20,80,35,单位,:mm,36.1,MPa,67.1,MPa,B,截面上：,30.2,MPa,56.0,MPa,C,截面上：,例题,9-1,x,M,2.5,kN,m,3,kN,m,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,若例,9-1,中的梁截面为工字形，则横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上？,思考题,9-4,3,A,B,1,3,kN,8,kN,C,2,y,z,x,M,2.5,kN,m,3,kN,m,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,图,a,所示简支梁由,56a,号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图,b,。已知,F,=150,kN,。试求危险截面上的最大正应力,s,max,和同一横截面上翼缘与腹板交界处,a,点处,(,图,b,),的正应力,s,a,。,例题,9-2,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,1.,在不考虑梁的自重,(1.041kN/m),的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面,C,为危险截面，相应的最大弯矩值为,例题,9-2解,:,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,由型钢规格表查得,56a,号工字钢截面,于是有,危险截面上点,a,处的正应力为,例题,9-2,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,该点处的正应力,s,a,亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴,z,垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的,s,max,=160,MPa,来计算：,例题,9-2,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,显然，梁的自重引起的最大正应力仅为,而危险截面上的最大正应力变为,远小于外加荷载,F,所引起的最大正应力。,如果考虑梁的自重,(,q,=1.041,kN/m,),则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为,例题,9-2,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,9-3,求惯性矩的平行移轴公式,同理可得：,z,y,C,a,b,d,A,z,y,y,c,z,c,y,c,z,c,O,*,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(1),根据求惯性矩的平行移轴公式，是否可得如下结论：图形对于形心轴的惯性矩是图形对于与该形心轴平行的轴之惯性矩中的最小者？,(2),求图示截面对于形心轴,z,的惯性矩。,思考题,9-5,y,z,80,65,20,20,80,35,单位,:mm,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,9-4,弯曲切应力,横力弯曲,M,0,F,S,0,弯曲正应力,弯曲切应力,F,S,M,z,y,(-),(+),y,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,9.4.1,单一材料矩形截面梁的弯曲切应力,(3),荷载作用在纵向对称平面内。,l,x,b,h,y,z,1.,分析模型,(1),单一材料窄高矩形截面梁（,h,b,）,；,(2),细长梁（,l,h,10,）；,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,2.,关于切应力分布的假设,F,S,y,y,z,y,F,S,(1),切应力与侧边方向平行；,(2),切应力沿截面宽度方向均匀分布。,对,h,b,的截面而言，此假设为合理的。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,为什么关于切应力分布的假设是合理的？,答：根据切应力互等定理可知关于应力方向的假设是合理的。又对于狭长矩形应力沿宽度的变化不可能大，所以假设切应力沿宽度不变是合理的。,思考题,9-6,F,S,y,y,z,y,F,S,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,3.,分离体平衡分析,F,S,(,x,),M,(,x,),F,S,(,x,),M,(,x,),+,d,M,(,x,),d,x,m,m,n,n,M,e,F,q,(,x,),l,h,b,x,y,z,m,m,n,n,d,x,d,x,(,x,),+,d,(,x,),(,x,),#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(,x,),+,d,(,x,),d,x,(,x,)d,x,(,x,),y,z,(,x,)+,d,(,x,),x,F,S,y,y,z,y,F,S,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,d,x,b,x,d,x,(,x,),(,x,),+,d,(,x,),得,得到,由平衡方程,y,z,y,*,F,S,y,d,A,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,切应力计算公式,:,y,z,F,S,y,其中：,F,S,所求切应力截面上的剪力,I,z,整个截面对中性轴的惯性矩,b,所求切应力点处横截面的宽度,S,z,*,过所求切应力点作中性轴的平行线，将横截面分为两部分，其中任意一部分对中性轴的静矩。,注意：实际计算中直接由剪力,F,S,的方向确定,t,的方向。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,4.,单一材料矩形截面梁的切应力分布与计算,发生在中性轴处,发生在上下边缘处,b,h,y,z,y,F,S,max,*,计算式：,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,实心细长梁弯曲切应力分布对弯曲正应力有什么影响？,F,x,m,p,n,q,F,思考题,9-7,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,5.,切应力分析方法小结,:,横截面上的切应力,应力分布假设,分离体平衡,纵截面上的剪力,切应力互等定理,纵截面上的切应力,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,9.4.2,型截面梁,y,z,b,h,t,d,对矩形截面梁所作的切应力分布假设依然适用。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,y,z,d,x,F,S,(,x,),F,S,(,x,),M,(,x,),M,(,x,),+,d,M,(,x,),1.,腹板部分,(,x,),+,d,(,x,),(,x,),d,x,y,z,d,f max,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,2.,顶板部分,(1),竖直切应力分析,(b),对顶板竖直切应力大小的判断,(,),根据腹板承受的剪力判断,结论：顶板部分竖直切应力分量很小。,(a),切应力分布假设对顶板竖直切应力不再适用；,(,),根据切应力互等定理,y,d,z,#,工程力学教程电子教案,第,9章 弯 曲,(2),水平切应力分析,y,d,z,y,d,z,t,d,x,F,S,(,x,),M,(,x,),+,d,M,(,x,),F,S,(,x,),M,(,x,),#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,y,d,z,h,t,yi,max,3.,型截面梁的切应力分布,y,d,z,yi,max,f max,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,9-5,梁的强度条件,s,max,s,1.,纯弯曲的梁最大弯曲正应力：,W,z,抗弯截面系数,(1),等截面直梁，中性轴为横截面对称轴,故由,s,max,s,得,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(2),中性轴不是横截面对称轴且材料拉压强度不相等,则,容许拉应力,容许压应力,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(3),利用正应力的强度条件可以对梁进行三种不同形式的强度计算：,(a),校核强度,(b),选择截面尺寸或型钢号,(c),确定许可荷载,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,另还要满足,t,max,t,2.,横力弯曲的梁,s,max,s,b,中性轴处截面之宽度,对于等截面直梁，则有：,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,注意：,(1),一般的梁，其强度主要受到按正应力的强度条件控制，所以在选择梁的截面尺寸或确定许可荷载时，都先按正应力强度条件进行计算，然后按切应力强度条件校核。,2),在弯矩为最大的横截面上距中性轴最远点处有最大正应力；在剪力为最大的横截面的中性轴上各点处有最大切应力。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,如图，已知,q,=3.6kN/m,，梁的跨长,l,=3m,，梁的横截面为,b,h,=120mm,180mm,的矩形，梁的材料为松木。由于该梁长期处于潮湿状态，故容许应力取得很低，容许弯曲应力,s,=7,MPa,容许切应力,t,=0.9MPa,。试校核此梁的强度,A,B,q,例题,9-3,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,A,B,q,F,A,F,B,+,M,（,kN,m,）,x,4.05,例题,9-3,解：,F,S,（,kN,）x,+,-,5.4,5.4,作剪力图及弯矩图,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,此梁之最大弯矩发生在跨中的横截面上,抗弯截面系数为,则,此梁的最大剪力出现在梁的支座处横截面上,其值为,例题,9-3,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,以上两方面强度条件均能满足,故此木梁是安全的。,又,例题,9-3,A,B,q,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,图,a,所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图,b,所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力,s,=152,MPa,。试选择工字钢的号码。,例题,9-4,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,画,M,图，并确定,M,max,。,弯矩图如图,c,所示,例题,9-4,解,:,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,强度条件 要求：,此值虽略小于要求的,W,z,但相差不到,1%,，故可以选用,56b,工字钢。,由型钢规格表查得,56b,号工字钢的,W,z,为,2.,求,W,z,，选择工字钢型号,例题,9-4,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,图,a,所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心,C,的位置，如图,b,所示。已知横截面对于中性轴,z,的惯性矩,I,z,=5493,10,4,mm,4,，,b,=2 m,。铸铁的许用拉应力,s,t,=30,MPa,，许用压应力,s,c,=90,MPa,。试求梁的许用荷载,F,。,例题,9-5,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,铸铁的拉压强度不等，其强度条件为,s,t,max,s,t,，,s,c,max,s,c,。由,M,图可知，,B,、,C,截面上正应力的分布规律如图,d,所示。,B,、,C,截面上的最大拉应力分别为,，,。可见全梁的最大拉应力为,。显然,。,86,134,C,截面,D,截面,(d),例题,9-5,解,:,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,1.,由,s,t,max,s,t,确定,F,。,F,1,19200N=19.2kN,例题,9-5,86,134,C,截面,D,截面,(d),#,工程力学教程电子教案,第9,章 弯 曲,F,2,36893N=36.893kN,2.,由,s,c,max,s,c,确定,F,。,F,=19.2kN,，可见梁的强度由拉应力确定。,例题,9-5,86,134,C,截面,D,截面,(d),#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,该题的,s,t,max,和最大压应力均发生在,B,截面处，当,s,t,max,=,s,t,时，,，而,s,c,=3,s,t,，可见，当,s,t,max,=,s,t,，,s,c,max,s,c,。所以该题由拉应力强度控制，仅需由,s,t,max,s,t,求,F,即可。,例题,9-5,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,一简易吊车的示意图如图,a,所示，其中,F,=30,kN,，,跨长,l,=5 m,。吊车大梁由,20a,号工字钢制成，许用弯曲正应力,s,=,170,MPa,，许用切应力,t,=,100,MPa,。试校核梁的强度。,例题,9-6,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,1.,校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁,(,图,b),。,荷载移至跨中,C,截面处,(,图,b,),时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图,c,所示，,例题,9-6,解,:,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,由型钢规格表查得,20a,号工字钢的,W,z,=237cm,3,梁的最大弯曲正应力为,例题,9-6,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,2.,校核切应力强度。,荷载移至紧靠支座,A,处,(,图,d),时梁的剪力为最大。此时的约束力,F,A,F,，相应的剪力图如图,e,所示。,F,S,max,=,F,A,=30kN,对于,20a,号钢，由型钢规格表查得：,例题,9-6,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,于是有,由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以该梁是安全的。,(e),例题,9-6,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,9-6,挠度和转角,挠度：直梁发生弯曲变形时，其横截面的形心在垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移如下图所示。,A,B,x,y,挠曲线,w,（,+,）,（,+,）,转角,挠度曲线,在小变形情况下,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,1.,研究梁的挠度和转角的目的：,(1),对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值；,(2),解超静定梁。如下图所示梁。,A,B,C,F,1,F,2,F,A,F,C,F,B,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,2.,求梁位移的基本方法,根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程：,w=,w,(,x,),和转角方程：,具体分析，在纯弯曲情况下：,A,B,x,y,M,e,M,e,观察下梁,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,纯弯曲情况下，,M,与所对应的挠曲线的曲率,1/,r,的关系为：,对于下图横力弯曲的梁,A,B,x,y,F,1,F,2,(1),有,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,由解析几何知识知：一根平缓的曲线,w,=,w,(,x,),，其曲率,1/,r,近似地等于,w,(,x,),对于,x,的二阶导函数，即,则,(2),(3),将,(3),代入,(2),，考虑到曲率半径总是正的，对图示坐标有,A,B,x,y,F,1,F,2,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,因此，对于某根具体的梁，只要列出它的弯矩方程,M,=,M,(,x,),，将其代入上式，对,x,连续积分后有：,利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方程,q,=,q,(,x,)=,w,(,x,),和挠度方程,w,=,w,(,x,),，从而也就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,求图示悬臂梁的转角方程,q,=,q,(,x,),和挠度方程,w,=,w,(,x,),，并求最大转角,q,max,及最大挠度,w,max,。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度,EI,为已知。,例题,9-7,F,max,x,y,l,x,w,max,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,解：,(1),(2),(3),(4),例题,9-7,F,max,x,y,l,x,w,max,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,将,x,=0,w,=0,代入,(3),式有,C,1,=0,(3),固定端处转角为零,即,固定端处挠度为零,即,x,=0,w,=0,将之代入,(4),式得,C,2,=0,则将,C,1,=0,，,C,2,=0,代入,(3),、,(4),式有,例题,9-7,F,max,x,x,w,max,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(4),例题,9-7,F,max,x,y,l,x,w,max,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,3.,按叠加原理计算,为了方便，对于简单的梁在简单荷载作用下，其最大挠度和最大转角事先列出了他们的计算公式（教材和手册中可查到）。,利用这些公式可按叠加原理较方便地计算某些受力较复杂情况下梁的挠度和转角。,梁在线性弹性范围内工作，且变形微小,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,求,w,C,和,q,B,。,A,B,q,Bq,w,Cq,例题,9-8,A,B,BM,e,w,CM,e,M,e,A,B,M,e,l,/2,l,/2,C,q,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,由叠加原理得：,查表可知：,A,B,q,Bq,w,Cq,例题,9-8,A,B,BM,e,w,CM,e,M,e,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,A,B,F,M,e,求下图,B,处的挠度和转角。,思考题,9-11,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,4.,斜弯曲,z,y,F,F,y,F,z,x,F,F,y,F,z,x,l-x,l,考虑荷载,F,不在梁的任一纵向对称面内的情况,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,横截面上的最大正应力发生在角点,z,y,w,w,y,w,z,F,(1),当,I,y,I,z,时，,，即梁的弯曲方向不与荷载方向一致时发生的弯曲称为斜弯曲,;,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,当,I,y,=,I,z,（如圆形和正多边形截面）时,，,=,，发生平面弯曲,;,z,y,w,w,y,w,z,F,得：,z,y,f,F,中性轴过坐标原点,中性轴,中性轴,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,进一步的分析表明，横截面具有一个对称轴的梁，当横向外力（与梁的轴线正交的外力）垂直于对称轴作用时，也产生平面弯曲。至于横截面没有对称轴的梁，当横向外力作用于两个相互垂直特定方向之任何一个时也产生平面弯曲。,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,前面讲述：,弯曲应变能,拉压应变能,扭转应变能,U=,？,9-7,弯曲应变能,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,在线弹性范围内：,M,e,与,q,的线性关系。,l,A,B,M,e,M,e,M,e,O,M,e,外力功：,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,根据应变能的大小等于外力偶所作的功，则有,亦即：,对于横力弯曲：由弯曲变形与剪切变形可以得到弯曲应变能和剪切应变能。,工程中,h,/,l,比值小于,1/10,时，剪切应变能较小，可忽略。横力弯曲情况下：,应注意：,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,求图示等截面简支梁内的弯曲应变能，并求跨中截面,C,的挠度,w,C,。,例题,9-9,l,0.5,l,y,x,A,B,F,C,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(1),由对称性知,解：,于是整个梁之弯曲应变能为：,例题,9-9,l,0.5,l,y,x,A,B,F,C,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(2),外荷载所作的功,l,0.5,l,y,x,A,B,F,C,因为,W,=,U,，,故,得,此结果与采用积分法求解所得的结果一致！,例题,9-9,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,9-8,超静定梁,工程实际中，为减少梁内的应力和位移需要附加多余约束，这样就会产生多余未知力，如下图所示：,上图为二次超静定问题，亦即其不可单由平衡方程得出结果。,A,B,C,D,F,C,F,D,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,再如：,B,l,A,上图为,“,一次超静定问题,”,，其解同样也不能单由平衡方程求解得到，也要位移协调条件，即：,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,B,l,l,/2,A,y,C,x,求下图所示超静定梁,A,、,B,处的约束力及,q,B,、,w,C,，并画出该梁的剪力图和弯矩图。,解：,(1),求,A,、,B,处的约束力,设,B,处为多余约束，列补充方程：,(1),即,例题,9-11,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,查表可得：,(2),(3),将,(2),，,(3),式代入方程,(1),有：,例题,9-11,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,由,得,由,得,(),例题,9-11,#,工程力学教程电子教案,第,9,章 弯 曲,(2),绘剪力图和弯矩图：,例题,9-11,F,S,5,l,/8,5,ql,/8,3,ql,/8,x,+,x,M,ql,2,/8,9,ql,2,/128,+,