线性代数1a.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,线 性 代 数,第一章,n,阶行列式,第一节 二阶和三阶行列式,第二节,n,阶行列式定义及性质,第三节,n,阶行列式的计算,第四节 克莱姆法则,第一节,二阶和三阶行列式,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,1,节 二阶和三阶行列式,一、行列式概念的引进,二元线性方程组 其中,为常数，为未知量。,用中学学过的加减消元法可得结论：当,时，方程组有唯一组解：,3,定义,1,四个数排成二行二列的方形数表，加上记号“,|”,，表,示一个,二阶行列式,，其值为 ，即,其中 称为行列式的元素。元素 的脚标 表第,行表第 列，即 表行列式中位于第 行第 列的元素。,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,1,节 二阶和三阶行列式,4,由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的解写为：,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,1,节 二阶和三阶行列式,称 为线性方程组（,1,）的系数行列式。,上述结论还可简记为：当二元方程组（,1,）的系数行列式,时，方程组有唯一解 。,其中 为系数行列式 的第 列换为常数列 ，其余列不动而得到的行列式。,5,定义,2,九个数排成三行三列的方形数表，加上记号,“,|,”,，表示一个三阶行列式：,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,1,节 二阶和三阶行列式,三阶行列式值的计算可按图示,“,对角线法则,”,来记忆。,6,三元线性方程组：,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,1,节 二阶和三阶行列式,当系数行列式 时，方程组（,2,）有唯一解,上述结论仍可简记为 ，其中 为系数行,列式，为 的第 列换为常数列 ，其余列不动而得,到的行列式。,7,三阶行列式性质：,性质,1,将行列式的行列互换，行列式值不变。即,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,1,节 二阶和三阶行列式,称这两个行列式互为转置行列式。,行列式行列互换（将行列式行依次改为列）称为行列式转置。,性质,2,行列式任意两行（列）互换，行列式值反号。,推论,若行列式两行（列）相同，则行列式值为零。,二、行列式的性质8,性质,3,行列式某一行有公因子 ，则 可提到行列式号外。即,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,1,节 二阶和三阶行列式,推论,1,行列式有一行（列）元素均为,0,，则行列式值为,0,。,推论,2,行列式有二行（列）元素成比例，则行列式值为,0,。,9,性质,4,行列式某一行（列）的元素可以表示成两项之和，则该行列式可写成两个行列式之和。,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,1,节 二阶和三阶行列式,性质,5,将行列式一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式值不变。,10,三、行列式按行（列）展开定理,定义,3,三阶行列式中划去元素 所在的第 行与第 列的元,素，其余的元素按原来的次序构成一个二阶行列式，称为元素,的余子式，记作 ，令 ，称 为元素,的代数余子式。,定理,1,三阶行列式值等于其任一行（或列）的元素与其代数余子式乘积之和。即：,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,1,节 二阶和三阶行列式,11,例,1,求上三角行列式,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,1,节 二阶和三阶行列式,例,2,求,例,3,求,12,第二节,n,阶行列式定义及性质,定义,1,由自然数 组成的一个有序数组称为一个 阶排,列。,一般地说一个 阶排列可用 表示。所有的 阶排列,的总数为 个。,定义,2,在 阶排列 中，如果 就,称 为该排列的一个逆序，排列中逆序的总个数称为该,排列的逆序数，记作,排列 具有自然顺序，即逆序数为,0,，称之为自然排列。,定义,3,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,2,节,n,阶行列式定义与性质,一、阶排列,14,例,1,计算下列排列的逆序数并指出排列的的奇偶性。,1,）五阶排列（,4 2 1 5 3,）,2,）阶自然排列,偶排列,3,）阶倒序排列,时，偶排列,时，奇排列,例,2,求,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,2,节,n,阶行列式定义与性质,15,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,2,节,n,阶行列式定义与性质,定理,1,任一排列经一次对换，必改变其奇偶性。,推论,1,在所有 阶排列中 ，奇排列、偶排列各占一半，,均为 。,推论,2,任一 阶排列均可以通过若干次对换变为自然排列，,并且所做的对换次数的奇偶数与这个排列的奇偶性一致。,在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余数位置不动，这样的变换称为对换。,如,16,二、阶行列式的定义,三阶行列式定义：,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,2,节,n,阶行列式定义与性质,所有为取自不同行、不同列三个元素的乘积 的代数和，各项的符号由 决定，因此上展开式可写成,二阶行列式定义也可写成：,推广二、三阶行列式定义，可以给出 阶行列式定义。,17,定义,4,由 个数排成 行，列的数表，加符号,“,|,”,，称为,阶行列式，它的值为所有取自不同行、不同列的 个元素,乘积 的代数和，每项的符号由 决定，,即：,规定一阶行列式 。,阶行列式的完全展开式中含有 项。所带符号一半为正，一半为负。,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,2,节,n,阶行列式定义与性质,18,例,1,在五阶行列式中，决定 这项前面所带的符号。,例,2,计算上三角行列式 之值。,进一步考虑,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,2,节,n,阶行列式定义与性质,当 时，符号为正，,时，符号为负。,19,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,2,节,n,阶行列式定义与性质,阶行列式展开也可表为：,阶行列式定义中，每一项中 个元素的排列次序是使,它们的行标成自然排列的，即 。数的乘法有交,换率，故可以适当调换 个元素的次序，使这 个元素的列,标成自然排列，即 。故 。,与 同,为奇,排列或偶排列。,20,三、阶行列式的性质：,性质,1,行列式行列互换，行列式值不变。,性质,2,行列式任意两行互换，行列式值变号。,推论,行列式若两行相等，行列式值为,0,。,性质,3,行列式某一行有公因子 ，则 可提到行列式号外。,推论,1,行列式有一行元素均为,0,，则行列式值为,0,。,推论,2,行列式有二行元素成比例，则行列式值为,0,。,性质,4,如果行列式第 行 个元素可表为两项之和，那么行列式可写为两个行列式之和。,性质,5,行列式一行的倍数加到另一行上，行列式值不变。,注意以上各条性质及推论的叙述与二、三阶行列式完全相同，但证明方法不同，应用 阶行列式定义及推理方法。,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,2,节,n,阶行列式定义与性质,21,例,3,证明奇数阶反对称行列式值为,0,。（书,P13/,例,4,）,一个 阶行列式,若 ，称 为对称行列式，,若 ，称 为反对称行列式。,可见反对称行列式主对角线上元素,反对称行列式可写为：,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,3,节,n,阶行列式的计算,22,第三节,n,阶行列式的计算,一、利用行列式性质计算行列式,例,1,计算行列式 （书,P15/,例,4,）,例,2,计算行列式,（书,P16/例,6,）,例,3,计算行列式 其中,（书,P27/9(3),）,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,3,节,n,阶行列式的计算,24,二、阶行列式的展开,定义,1,在 阶行列式中划去元素 所在的第 行与第 列的,元素，其余的元素按原来的次序构成一个 阶行列式，,称为元素 的余子式，记作 ，令 ，称 为,元素 的代数余子式。,定理,1,阶行列式值等于其任一行的元素与其代数余子式乘积之和。即,定理,1,阶行列式值等于其任一列的元素与其代数余子式乘积之和。即,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,3,节,n,阶行列式的计算,25,例,4,计算行列式,（书,P17/,例,7,）,线性代数 第一章,n阶行列式 第,3,节,n,阶行列式的计算,26,引进,Kronecker,符号,定理,1,、定理,1,及推论可合写为：其中 表 阶行列式 的值,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,3,节,n,阶行列式的计算,推论,在 阶行列式中，任意一行（列）元素与另一行（列）对应元素代数余子式的乘积之和为,0,。即,27,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,3,节,n,阶,行列式的计算,在 阶行列式 中任选 行、列，不妨设选的 行、列为：,将这 行、列交叉位置的元素按原来顺序构成的 阶行列式,称为 阶行列式 的 阶子式。,将 阶行列式 中这 行、列的元素划去，余下的元素按原,来的次序构成的 阶行列式与 的乘积称为 阶子式 的代数余子式。,28,定理,2,在 阶行列式 中任选 行（列），则行列式,等于由这 行（列）元素组成的所有 阶子式与其代数余子式乘积之和。,定理,2,又称为,Laplace,展开定理，当 时即为定理,1,。,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,3,节,n,阶,行列式的计算,29,例,6,计算行列式值,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,3,节,n,阶,行列式的计算,例,5,计算行列式值,（书,P27/9(6),）,30,三、数学归纳法在行列式计算中的应用,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,3,节,n,阶,行列式的计算,例,7,求 阶行列式值,（书,P20/,例,12,）,31,例,8,证明范德蒙行列式,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,3,节,n,阶,行列式的计算,等式右边为连乘积，表示满足 的所有 构成 连乘。即：,（书,P21/,例,13,）,32,第四节,克莱姆（,Cramer,）,法则,个,方程 个未知数的 元线性方程组,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,4,节 克莱姆法则,所谓方程组（,1,）的解 ，就是将这 个数 ，分别代入方程组（,1,）中 的相应位置，使每个方程均为恒等式。,通常用向量 表示这个解，并称为一个解向量,（也可称为一个解）。方程组所有的解构成的集合称为方程组的解集合。,34,定理,1,（克莱姆法则）,元线性方程组（,1,）当它的系数行列,式 时，方程组（,1,）有解，且解是唯一的，,其解为,（其中 为 中第 列换成常数列 其余列不变所得的行,列式）,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,4,节 克莱姆法则,35,称为齐次线性方程组,齐次线性方程组一定有解，且为全零解，即 一定是它的解。,齐次线性方程组的解有两种情况：,（,1,）有唯一组解，这时称只有全零解。,（,2,）解不唯一，即有非零解：其中至少有一个,。,此时一定有无穷多组解，因为 （为任意常数）也必为此方程组的解。,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,4,节 克莱姆法则,36,推论,1,若齐次线性方程组,系数行列式不为,0,，则方程组（,2,）只有全零解，即,推论,2,若齐次线性方程组（,2,）有非零解，则它的系数行列式一定为零。,线性代数 第一章,n,阶行列式 第,4,节 克莱姆法则,37,