第一节 多元函数的基本概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章,多元函数的基本概念,多元函数的微分法则,多元函数微分学的应用,多元函数微分法,及其应用,上页 下页 返回 结束,预备知识,多元函数的极限,第九章 多元函数微分法,多元函数的连续性,第一节,上页 下页 返回 结束,多元函数的基本概念,多元函数的概念,1.,邻域,一、预备知识,设,P,0,(,x,0,，,y,0,),是,x o y,平面上的一个点，,是某一正数，与点,P,0,(,x,0,，,y,0,),的距离小于,的点,P,（,x,，,y,）的全体，称为点,P,0,（,x,0,，,y,0,）的邻域，记为U(,P,0,),，即,上页 下页 返回 结束,2.,区域,（,1,）内点和开集,设,E,是平面上的一个点集，,P,是平面上的一个点。如果存在点,P,的某一邻域,U(,P),E,，则称,P,为,E,的内点,.,E,的内点属于,E.,如果属于点集,E,的点都是内点，则称,E,为开集,.,上页 下页 返回 结束,（,2,）边界点和边界,如果点,P,的任一个邻域内既有属于,E,的点，也有不属于,E,的点（点,P,本身可以属于,E,，也可以不属于,E,），则称,P,为,E,的边界点,.,E,的边界点的全体为,E,的边界,.,上页 下页 返回 结束,说明：,E,的边界点可能属于,E,，也可能不属于,E例如,对于集合,E,的边界为,其中边界点,都不属于,E,，,而边界点,都属于,E.,上页 下页 返回 结束,D,（,3,）连通,设,D,是点集，如果对于,D,内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于,D,，则称点集,D,是连通的。,（,4,）开区域和闭区域,连通的开集称为区域或开区域,开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域,上页 下页 返回 结束,例如，,开区域,闭区域,上页 下页 返回 结束,整个平面,点集,是开集，,是最大的开区域,也是最大的闭区域；,但非区域,.,o,E,U,（,O,，,r,），,其中,O,是坐标原点，则称,E,为有界集,.,否则称,E,为无界集,.5,）有界集与无界集,对于平面点集,E,若存在某一正数,r,使得,上页 下页 返回 结束,是有界闭区域；,是无界开区域,例如，,上页 下页 返回 结束,（,6,）聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点一定是聚点；,设,E,是平面上的一个点集，,P,是平面上的一个点，如果点,P,的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集,E,，则称,P,为,E,的聚点。,点集,E,的聚点可以属于,E,，,也可以不属于,E,上页 下页 返回 结束,3.n,维空间,设,n,为取定的一个自然数，我们用,R,n,表示,n,元有序数组 的全体所构成的集合，称其为,n,维空间,，,即,上页 下页 返回 结束,从而可定义,n,维空间中的领域、内点、边界点、区域、聚点等概念,下面给出,n,维空间中两点间距离公式的定义,.,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,设,为,n,维空间中两点，,定义这两点的距离公式为,定义：,上页 下页 返回 结束,二、多元函数的概念,引例,:,圆柱体的体积,长方体的质量,三角形面积的海伦公式,记密度为,d,上页 下页 返回 结束,设,D,是,R,2,的一个非空子集，若存在对应法则,f,，,点集,D,称为函数的,定义域,;,数集,称为函数的,值域,.,则称,f,为定义在,D,上的,二元函数,记作,上页 下页 返回 结束,对任意的,总有唯一确定的,z,值与之对应，,定义,x,y,称为,自变量,z,称为,因变量,;,例如，,二元函数,定义域为,圆域,2.,二元函数,z=f,(,x,y,),(,x,y,),D,图形为中心在原点的上半球面,.,的图形一般为空间曲面,.,上页 下页 返回 结束,注：,1.,类似可定义三元函数以及三元以上的函数,.,二元及二元以上的函数统称为,多元函数,.,例,1,求 的定义域,解,所求定义域为,上页 下页 返回 结束,三、二元函数的极限,定义：,为,D,的聚点，若,D,中的点,P,(,x,y,),按任意方式趋于,P,0,时，,上页 下页 返回 结束,函数,f,(,x,y,),总趋向于某个确定的数值,A,，则称,A,为函数,时的,极限,（二重极限）,，,f,(,x,y,),当,或,或,设二元函数,f,(,P,)=,f,(,x,y,),的定义域为,D,，,P,0,(,x,0,y,0,),定义,(,略,),记作,上页 下页 返回 结束,注：,1.,上述二重极限存在与否与,f(,x,y,),在,P,0,(,x,0,y,0,),是否有定义无关,.,表示点,P,以任何方式,趋向于,时函数的极限值都等于,A,.,选择一条路径，使得极限不存在；,故验证二重极限,不存在，方法有二：,选择不同路径，使得极限不相等,.,2.,解,沿曲线,不存在,.,取极限,故原极限不存在,.,例,1.,验证极限,上页 下页 返回 结束,取,P,(,x,y,),沿直线,y,=,k x,3,趋于点,(0,0),则有,在点,(0,0),的极限,.,k,值不同，极限值不同,!,在,(0,0),点极限不存在,.,例,2.,讨论函数,上页 下页 返回 结束,解：,二元函数极限的四则运算法则、夹逼准则等均与一元函数类似，可借助一元函数求极限的方法求一些简单的二元函数的极限,.,例,4.,求极限：,解：,原式,上页 下页 返回 结束,例,3.,求极限：,解：,（注：不能用取特殊路径来求极限值！）,解,原式,例,5.,求极限,上页 下页 返回 结束,有理化,注：,二元函数求极限不能用洛比达法则,.,例,6.,函数,解,：,由夹逼准则，得,，求,四、二元函数的连续性,设二元函数,f,(,P,)=,f,(,x,y,),的定义域为,D,如果,则称函数,f,(,x,y,),在点,P,0,(,x,0,y,0,),连续,.,若,f,(,x,y,),在点,上页 下页 返回 结束,定义：,P,0,(,x,0,y,0,),不连续,则称,P,(,x,0,y,0,),为函数的,间断点,.,例如,函数,在点,(0,0),极限不存在,又如,函数,上间断,.,故,(0,0),为其间断点,.,在圆周,上页 下页 返回 结束,见例,2,注：,二元函数的间断点可能为孤立点或一条曲线,.,上页 下页 返回 结束,区域上连续函数的图形是一张没有点洞，也没有裂缝的,连续曲面,.,如果函数在,D,上各点处都连续,则称此函数,在,D,上连续,.,定理,一切多元初等函数在定义区域内连续,.,性质,1,（有界性与最大最小值定理）,闭区域,上多元连续函数的性质,:,上页 下页 返回 结束,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，必在,D,上有界，,且能取得它的最大值和最小值,.,性质,2,（介值定理）,在有界闭区域,D,上的多元连续函数必取得介于最大,值和最小值之间的任何值,.,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（,注意趋近方式的,任意性,）,多元函数的定义,内容小结,思考题,若点（,x,y,）沿着无数多条平面曲线趋向于点（,x,0,y,0,）,时，函数,f,（,x,y,）都趋向于,A,，能否断定,？,