a8_1_.7_方向导数与梯度.pptx

8.7,方向导数与梯度,1,方向导数概念与计算公式,梯度概念与计算,小结 思考题 作业,directional derivative and gradient,8.7,方向导数与梯度,第,8,章 多元函数微分法及其应用,实例,：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的,实质,：应沿由热变冷变化最剧烈的方向（即,梯度方向,）爬行,问题的引出,函数沿某一方向的变化问题,方向导数,变化最快的方向,梯度方向,即,定义,如果极限,存在,则将这个极限值称为函数在点,一、方向导数概念与计算公式,记为,即,的方向导数存在,存在,则,的方向导数存在,方向导数与偏导数的关系,同理,的方向导数,为,的方向导数,7,如,函数,沿方向,的方向导数,:,但,不存在,.,即,z,在,(0,0),点的偏导数不存在,.,问,:,反之,存在时,是否,一定存在,?,或,8,一定为正,!,是函数在某点沿,任何方向,的变化率,.,方向导数,偏导数,分别是函数在某点沿,平行于坐标轴,的直线的,x,、,y,可正可负！,变化率,.,注,证,2.,关于方向导数的存在及计算公式,定理,(,充分条件,),可微,则函数,且,存在,(2),在定点,的方向导数为,方向导数存在,可微,说明,(1),例,考虑函数,定点,P,0,(3,1),P,1,(2,3).,求,函数在,P,0,沿,方向的方向导数,.,解,推广可得三元函数方向导数的定义,在点,的方向导数为,是,l,的方向余弦,.,计算公式,14,解,令,故,例,处指向外侧的法向量,.,15,故,8.7.2,梯度,方向导数公式,方向一致时,方向导数取最大值,函数在一点处沿不同方向的方向导数是不一样的,.,定义,使函数有最大方向导数的方向称为,梯度方向,最大值,为,梯度方向,函数沿梯度方向的方向导数最大，,最大方向导数为,记作,梯度,(gradient),即增长最快,问题：最小方向导数的方向？,18,结论,函数在某点的,梯度,是这样一个,向量,它的,方向,与取得,最大方向导数,的方向一致,而它,的模为方向导数的最大值,(,最大的变化率,).,梯度的模为,沿梯度方向,函数的增长最快,!,称为函数,z,=,f,(,x,y,),在点,P,(,x,y,),处的,负梯度,.,函数沿负梯度的方向减少最快,.,在几何上,z,=,f,(,x,y,),表示一个曲面,此曲面被平面,z,=,c,(,c,为常数,),所截得曲线为,所得曲线在,xOy,面上投影是一条平面曲线,如图,:,一般来说,它在,xOy,平面直角坐标系中的方程为,其参数形式：,所以任意点处的切向量为：,表示空间一张曲面,而,表示一条平面曲线,所以梯度为曲线,上点,处的,法向量,.,梯度的几何意义,梯度的几何意义,梯度的概念推广到三元函数,三元函数,在点,梯度为,可微,则在点,函数沿梯度方向的方向导数最大，,最大方向导数为,增长最快,23,类似地,设曲面,f,(,x,y,z,)=,c,为函数,此函数在点,P,(,x,y,z,),的,的梯度的方向就是等值面,f,(,x,y,z,)=,c,在这点,的法线方向,值较高的等值面,法线方向的方向导数,且从数值较低的等值面指向数,而梯度的模就是函数沿这个,u=f,(,x,y,z,),的等值面,梯度的几何意义,解,故,例,并问在哪些点处梯度为零,?,=0,=0,=0处的梯度,例,设函数,求,沿什么方向具有最大的增长率,最大增长率为多少,?,解,增长率,最大的增长率为,:,梯度方向,具有最大的,梯度方向为,3.,梯度的基本运算公式,27,设,f,(,r,),可导,其中,的模,证,例,为点,P,(,x,y,z,),处向径,因为,所以,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的,区别,）,（注意梯度是一个,向量,）,小结,解,(1),最大值,;,(2),最小值,;,(3),等于零,?,并问在怎样的方向上此方向导数有,例,轴正向逆时针旋转 角的方向的方向导数,故,方向导数达到最大值,方向导数达到最小值,方向导数等于,和,(1),最大值,;,(2),最小值,;,(3),等于零,?,问在怎样的方向上此方向导数有,31,解,练习,解,练习,求函数 在点,处,沿,解,t增加的,切线方向的方向向量,在此,点,t,增加的,曲线,切线方向上的方向导数.,练习,34,思考题,(,是非题,),非,函数,f,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,),沿梯度方向的方向导,数最大,.,因此,在,(1,1),处,因为方向导数是数量,而梯度是向量,.,两者不能相等,.,方向导数与梯度的关系是,:,沿梯度方向的方向导数达到方向导数的最大值,.,数值上等于梯度的模,.,最大的方向导数为,35,作业,习题,8.7,(355,页,),