应力与应变间的关系.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,7-7,应力与应变间的关系,一、单向应力状态下应力与应变的关系,横向线应变 与纵向线应变 成正比，比值为泊松比,，而符号相反。,E,为材料的弹性模量，单位为,N/m,2,.,二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系,或,G,为剪切弹性模量，单位为,N/m,2,.,（,1,）符号规定,x,y,z,o,上面,右侧面,前面,x,y,z,x y,y z,z x,x,y,z,x y,y z,z x,1,、各向同性材料的广义胡克定律,(a),三个正应力分量,：,拉应力为正,压应力为负。,三、复杂应力状态下应力与应变的关系,x,y,z,o,上面,右侧面,前面,(b),三个剪应力分量,:,若正面,(,外法线与坐标轴,正向一致的平面,),上剪应力矢,的指向与坐标轴正向一致,或,负面,(,外法线与坐标轴负向一,致的平面,),上剪应力矢的指向,与坐标轴负向一致，则该剪,应力为正,反之为负。,图中表示的均为正方向,线应变,:,以伸长为正,缩短为负。,剪应变,:,使直角减小者为正,增大者为负。,xOy,yOz,zox,。,x,y,z,O,上面,右侧面,前面,在,x,y,z,分别单独存在时,x,方向的线应变,x,依次为,:,2,、,各向同性材料的广义胡克定律,(1),线应变的推导,在,x,y,z,同时存在时,x,方向的线应变,x,为,在,x,y,z,同时存在时,y,z,方向的线应变为,剪应变,xy,yz,zx,与剪应力,xy,yz,zx,之间的关系为,公式的适用范围,:,在线弹性范围内,小变形条件下,各向同性材料。,(2),剪应变的推导,公式的适用范围,:,在线弹性范围内,小 变形条件下,各向同性材料。,3,、,特例,（,1,）平面应力状态下,(,假设,Z,=0),（,2,）广义胡克定律用主应力和主应变表示时,三向应力状态下：,(7-7-6),平面应力状态下,设,3,=0,则,材料的三个弹性常数,E,G,间存在如下关系,:,例题,7-6,已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为,。,构件材料为,Q235,钢，其弹,性模量,E=210GPa,，,泊松比,=0,。,3,。求该点处的主应力值，,并求该点处另一,主应变,2,的,数值和方向。,解：,一，一对应。,由于构件自由表面，所以主应力,2,=0,。,所以该点为平面应力状态。,由,解得,该点处另一,主应变,2,的,数值为,2,是缩短的主应变，其方向必与,1,和,3,垂直，即沿构件的,外法线方向。,四、各向同性材料的体积应变,（,2,）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变,（,1,）概念,:,构件每单位体积的体积变化,称为 体积应变用,表示。,公式推导,设单元体的三对平面为主平面,其,三个边长为,d x,d y,d z,变形后的边,长分别为,d x,(1+d y,(1+,2,d z,(1+,3,因此变形后单元体的体,积为,:,2,1,3,dx,d y,d z,体积应变为,将,广义胡克定律,代入得,在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变,x,，,y,，,z,有关。仿照上述推导有,在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的,体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正,应力之和成正比,而与剪应力无关。,特例,在平面纯剪切应力状态下,：,代入得,可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变。,例题,7-7,边长,a=0.1m,的铜立方块,无间隙地放入体积较,大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图 所示。已知铜的弹,性模量,E=100GP,a,泊松比,=0.34,当受到,P=300,kN,的均布,压力作用时,求该铜块的主应力,.,体积应变以及最大剪应力。,a,a,a,P,y,x,z,解：铜块上截面上的压应力为,y,y,Z,x,z,x,(b),由,解得,铜块的,主应力为,体积应变和最大剪应力分别为,例题,9-8,壁厚,t=10mm,外径,D=60,mm,的薄壁圆筒,在表面上,k,点,处与其轴线成,45,和,135,角即,x,y,两方向分别贴上应变片,然后在,圆筒两端作用矩为,m,的扭转力偶,如图 所示已知圆筒材料的弹性模,量为,E,=200GP,a,和,=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内,且,max,=,80MPa,试求,k,点处的线应变,x ,y,以及变形后的筒壁厚度。,D,t,y,m,k,x,D,t,x,y,m,k,x,y,k,可求得,:,解,:,从圆筒表面,k,点处取出单元体,其各面上的应力分量,如图 所示,k,点处的线应变,x,y,为,圆筒表面上,k,点处沿径向,(,z,轴,),的应变为,同理可得,圆筒中任一点,(,该点到圆筒横截面中心的距离为,),处,的径向应变为,因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为,t=10mm,.,