三、阶跃折射率光纤 (2).ppt

四、阶跃折射率光纤(2),1.几何光学,(传播路径、光线分类、数值孔径、传播时延,),2.电磁理论方法,(,a、,分离变量法解得圆柱坐标系下的电磁场解；,b、,根据边界条件、贝塞耳函数的递推性质及导波模各种模式的特性，得到了四大模式的传输特征方程；),上节课内容：,1.导波模截止参数和单模传输条件,3.阶跃光纤中的线偏振模,2.远离截止状态时导波模的性态,导波模截止参数和单模传输条件,一个导波场的纵向传播特性由,确定，而横向分布特点由,m、U、W,确定。参数,m,确定场量沿,角方向场的分布规律；,U,确定纤芯内场沿半径方向的分布规律；,W,则决定场量在包层中沿半径方向衰减快慢程度。,、U、W,间的关系为,我们只要由特征方程解出其中一个，其他两个便可由上一式得到。,在忽略材料自身吸收损耗的情况下，导波模沿,z,方向无衰减传播的条件是,U、W,都为正实数。,上一部分曾叙述，当,W,为正实数时，包层中的电磁场沿半径方向几乎按指数规律快速衰减，,W,越大，衰减越快，电磁能量就越集中在纤芯部分；反之,W,越小，就有越多的能量向包层中弥散；若,W,为虚数，则包层中的场将用汉克尔函数描述，成为沿径向辐射的模式，这就是介质天线的情形了。,显然，,W0,恰好成为一个模式是导波模还是辐射模的临界点。,记,W0,时的纤芯内的归一化径向相位常数为，此时的归一化频率为，显然截止点有,首先关注一下截止状态时，各导波模式的特性。,1.,TM,模和,TE,模,如前所述，其特征方程为,第二类变态贝塞耳函数曲线图,当时，各阶第二类变态贝塞耳函数都是发散的，有,于是，截止状态的特征方程成为,欲使上式成立，则显然应有,这有两种可能，或。但时，不满足上面(3-57)的关系，因而,TM,模和,TE,模在,截止状态时的特征方程,为,上式说明，截止状态时的归一化截止频率,V,c,及,U,c,是零阶贝塞耳函数的零点。各阶贝塞耳函数都有很多个零点，从相关数学资料可以查到，对于零阶的贝塞耳函数，有,上式的每个都对应着一个,TE,模和一个,TM,模，分别记为模和模，也就是说模和模的,归一化截止频率,为。,另一方面，光纤的归一化截止频率 ，对于确定的工作波长，确定的光纤结构参数 ,则其值是完全确定的数。,如果,V,大于某个模式的归一化截止频率,则必有，该模式可以在光纤中传播。反之，如果,V,小于某一个模式的归一化截止频率，则，该模式截止，成为辐射模。也就是说，光纤中任意一个模式的传播条件为,序号相同的模和模，有相同的截止参数，我们称其为一对简并模。在所有的模和模中，模和模的归一化截止频率最低，为2.405，其载止波长最长，为,2.,EH,模,EH,模的特征方程为,当时，的渐近式有,则截止状态时特征方程成为,欲使上式成立，显然有,显然，这也有两种可能，或。但时，有,这与(3-62)式不符合，所以,截止状态时，,EH,模的特征方程,为,可见，截止参数 或者截止频率是,m,阶贝塞耳函数的零点，即,由,m,阶贝塞耳函数的第,n,个零点所确定的,EH,模称为模。,低阶贝塞耳函数的零点分布,由下表可以看到，在,m,不等于零的情况下，1阶贝塞耳函数的第1个零点最小为3.83171，也就是在 模序列中，模的归一化截止频率最小，为,则，模序列中，模的截止波长是最长的，其值为,2.,HE,模,HE,模的特征方程为,相同的思路，当时，的渐近式有,区分和两种情况讨论。,当,m=1,时，有,也就是说，,m=1,时，,HE,模在,截止状态下的特征方程,为,上式中，由于时，所以也是特征方程在时的一个解；另外一组解是一阶贝塞耳方程的零点。,以0和 为归一化截止频率的,HE,模，记为；可把的模作为第一个模，即 模，则模的截止参数为,将上述的(3-69)式与(3-64)式比较，可以发现模和模具有相同的归一化频率，所有模和模是简并模。,需要特别注意的是 模，其归一化截止频率为 ,则其截止波长为,这是个重要的结论，也就是说模不截止，它可以以任意低的频率在光纤中传播，是介质波导光纤中的,主模,。当然，这个结论只是一个理论的极限，若实际工作波长过长，则模的能量将向包层中转移，传输损耗加大，因而太低频率的波以模传播也是困难的。,对于的情形，将的小宗量渐近式代入特征方程后，有,再利用降阶的贝塞耳函数递推公式，有,比较上面两式，可以,得到,HE,模()在截止状态时的特征方程,也就是说，对的,HE,模，其归一化截止频率为,从上式可以看到,m=3,时，模的归一化截止频率是一阶贝塞耳函数的第,n,个零点，与模和模相同，它们是简并模；,同样，时，模和模的归一化截止频率相同，它们也是简并模；,较低阶模及其归一化截止频率,综上所述，可以将所有的模式，把截止参数相同的规为一类，按截止频率从低到高进行排列。如下表示,从上表可以看出，光纤中的主模是模，其归一化截止频率为零；次最低阶模为模、模和模，其归一化截止频率为2.405.若适当设计光纤，并选择工作波长,，,使得归一化工作频率,V,满足,则 和模及所有的高阶模都被截止，只有模可以传播，这就是光纤中的,单模传输条件,。,又根据归一化频率,则可将单模传播条件表示为波长形式,远离截止状态时导波模的性态,接近截止状态时，一个导波的能量有相当大的一部分已转移到包层中，传输损耗很大。,上节讨论了截止状态，此时各类模式的特征参量；,若归一化频率,V,远大于，则导波模能量几乎完全集中在纤芯中，称这种状态为,远离截止状态,。在多模光纤中归一化频率,V,很大，有多个模可以传播，其中的低阶模可认为处在远离截止状态。,为处理简单，,把远离截止状态看成是的极限情形,，由,V,的定义式，可以看到，有,上式的成立，是因为都是有限数；在很大时，电磁波传播特性将与平面波传播特性相似，其纵向相位常数将趋于。再结合,W和,V,的关系，可以得到,这就是说，的状态，也就是的状态,。的状态则说明波的能量完全集中在纤芯中，这和前面关于截止状态的定性讨论是一致的。,由上面的分析可以看到，讨论远离截止状态各类模式导波模的性态，就是讨论时的状态，此时 的渐近式为,上式对于任何,m,都是成立的，将其代入各类模式的特征方程，即可得到这些模式远离截止状态时的特征参数。,1.模和模,此时，这两类模式的特征方程有,这就是说，模和模,远离截止状态时，其特征方程,可简化为,若 表示远离截止状态时纤芯内的径向归一化相位常数，则远离截止状态时，有,与截止状态的参数相比较，可以看到模和模的归一化径向常数,U,的取值在零阶贝塞耳函数的第,n个零点和一阶贝塞耳函数的第,n,个零点之间。,2.模,将(4-76)式代入,EH,模的特征方程，得到,这就是说，模和在,远离截止状态时，其特征方程,可简化为,即远离截止状态时模在纤芯内的径向归一化相位常数 为,所以，与截止状态的参数相比较，可以看到模的归一化径向常数,U,的取值在,m,阶贝塞耳函数的第,n,个零点和,m+1,阶贝塞耳函数的第,n,个零点之间。,3.模,将(3-77)式代入,HE,模的特征方程，得到,这就是说，模和在,远离截止状态时，其特征方程,可简化为,所以，与截止状态的参数相比较，可以看到各阶模的归一化径向常数,U,的取值范围,。,上面的分析，围绕截止状态和远离截止状态讨论可以确定各类模式,U,的取值范围，为数值求解提供方便，因为各类模式的特征方程都是超越方程。,即远离截止状态时模在纤芯内的径向归一化相位常数 为,3.阶跃光纤中的线偏振模,上述分析是严格的矢量导模的表述，但,实际通信使用中的光纤都是弱导光纤，即光纤纤芯和包层的相对折射率差很小,。,在弱导光纤中，可以证明，尽管导波仍可以分为等模式，但,所有这些模式的纵向场分量比其横向场分量要小得多,.也就是说，弱导光纤中传播的电磁波其横向电磁场占主导地位，而且一经激励起来在传播过程中,其偏振状态保持不变,。,简单说明上述说法的原理：因为纤芯和包层的相对折射差很小，只有几乎与光纤轴平行的光线才能满足边界面上的全反射条件。此时，电场和磁场都几乎与,z,轴垂直，尽管他们有可能产生,z,方向的分量，但与横向分量相比都非常的小，但又不等于零，称这种形态的波为,准,TEM,波,。,因波的传播过程中，其偏振状态保持不变，可合理的选择直角坐标系，使场矢量与坐标轴一致，将问题大大简化。,称在传播过程中始终保持场矢量取向不变的电磁波为线偏振波，或线偏振模，记,LP,模。,a.,线偏振模场解及特征方程,根据前面的讨论，可以得到圆柱坐标系下纤芯和包层中的横向场解为,又因为准,TEM,近似下，横向电场与横向磁场有关系,所以，可以得到横向磁场的解，为,另一方面，根据麦克斯韦方程的分量式，有,将(3-81)和(3-82)分别代入可得到纵向分量式,将纵向场量的(3-83)和(3-84)与横向场量的(3-81)和(3-82)相比较，可以发现纤芯中纵向场量与横向场量之比含有因子，而包层中纵向场量与横向场量之比含有因子；结合导波模的传播条件，有,说明纵向场与横向场之比总是小于数值孔径,NA,的。一般多模光纤数值孔径,NA,取在0.2左右，单模光纤则取在0.1左右，即纵向分量远小于横向分量，也验证了准,TEM,假设。,再利用纤芯和包层界面上的电磁场边界条件，可得到,弱导近似条件下，近似认为，比较系数，上式等价于,上式就是弱导光纤中线偏振模的特征方程。,其实，上两式是等价的，可以从贝塞耳函数的递推关系证明。通过上式，再结合,UW、,的关系，可以求解出各特征参量。,b.,线偏振模特性,线偏振模的特性由特征参数,U、W,和,确定。由于特征方程是超越方程，一般情形下只能用数值法求解。仅讨论比较简单的远离截止和截止状态时的特性。,1.)远离截止时的特性,与前面所述相同，当,V,很大时，较低阶的模将远离截止状态，远离截止状态近似为的状态。,利用的渐近式 ，代入特征方程(3-86),有,所以，此时的特征方程可简写为,从上式可以看到，远离截止状态时，对于一个确定的,m,值，纤芯内场量的径向归一化相位常数将趋于,m,阶贝塞耳函数的根，即,将此时的模式记为模，,m、n,是模式的序号；它们的物理意义都是非常明确的，,m,是贝塞耳函数的阶数，同时又确定了场量沿,角方向的分布规律。当,从0到2,变化一周时，场量将出现2,m,个极大点和2,m,个零点。,n,是贝塞耳函数根的个数，反映了场量沿半径方向的极值个数。远离截止状态时，场量在半径方向上按分布。,2.)截止参数,与前面类似，时导波模将趋于截止。,利用的小宗量渐近式 ，代入特征方程(3-86),可以得到,所以，此时的特征方程可简写为,需区分,m=0,和两种情形讨论。,当,m=0,时，由于 ，所以此时特征方程又可写为,从上式可以看到，模的归一化截止参数为,U=0,和一阶贝塞耳函数的根。若把零也作为一阶贝塞耳函数的第零个根的话，则模的归一化截止参数为,再看的情形，由于，所以不能取,U0，,此时可将截止状态的特征方程写为,从上式可以看到，模的归一化截止参数为,可以看到，在所有的模式中，模的归化频率是光纤中的主模式。,次最阶模是模，其归一化截止频率为；若光纤的归一化截止频率先在0和2.405之间，则光纤中只有主模可以传输，这就是光纤的单模传输条件。,实际上，线偏振模的电场强度矢量,E,可以选取在,y,轴方向，也可以选在,x,轴方向，因而每个模都有两种在空间正交的偏振状态；,对于,m=0,的模，场量的大小是轴对称的，每个模式有两个偏振正交的简并模；,而对于的模，每个模式不仅有两个偏振正交的简并模，而且场量在,角方向不仅可以按 分布，也可以按分布，也就是说，模是四重简并的。,Thanks,