第七章渐近法.ppt

Click to edit title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,*,结构力学,STRUCTURAL MECHANICS,7-1,力矩分配法的基本原理,7-2,多结点的力矩分配法,7-3,无剪力分配法,7-4,近似计算简介,Chap7,渐进法与近似法,渐近法有力矩分配法和无剪力分配法。,力矩分配法的理论基础是位移法，是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法。,7-1,力矩分配法的基本原理,1,、正负号规定,在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假定对杆端顺时针转动为正。,作用在结点上的约束力矩，也假定顺时针转动为正，而杆端弯矩在结点上表示时逆时针转动为正。,2,、转动刚度,(,也称为刚度系数,)S,表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。,转动刚度,S,AB,的数值不但与杆件的线刚度,i,有关，而且与,B,端,(,又称远端,),的支承情况有关,3,、传递系数,C,由图,7-1,知，当近端发生单位转角,时，远端也产生杆端弯矩,M,BA,，远端杆端弯矩,M,BA,与近端杆端弯矩,M,AB,之比称为传递系数，用,C,表示，即,C=,M,BA,/,M,AB,。对于等截面杆件，传递系数,C,与远端的支承情况有关，具体数值如下：,远端固定,C=1/2,远端铰结,C=0,远端定向,C=-1,(7-1),(7-2),(7-3),4,、分配系数,图,7-2(a),所示刚架，,A,为刚结点，,B,、,C,、,D,端分别为固定、定向及铰结。设在结点,A,作用一集中力偶,M,，刚架产生图中虚线所示变形，汇交于结点,A,的各杆端产生的转角均为，各杆杆端弯矩由转动刚度定义可知，,图,7-2(a),(7-4),取结点,A,为隔离体，如图,7-2(b),所示。,图,7-2(b),由平衡方程,得,式中 表示汇交于,A,结点各杆端转动刚度的总和。,(7-5),将式,(7-5)代入式,(7-4),，可得,(7-6),式中,m,AB,、,m,A,C,、,m,AD,称为分配系数，就相当于把结点力矩,M,按各杆转动刚度的大小比例分配给各杆的近端，所得的近端弯矩称为分配弯矩，用,M,m,表示。,其中汇交于,A,结点各杆端分配系数之和为,1,，即,j,表示汇交于结点,A,的各杆端标号。,远端杆端弯矩,是由分配弯矩乘以传递系数而得，即为传递弯矩。,以图,7-3(a),为例进行说明,:,（,1,）设想在,B,结点加上一个刚臂阻止,B,结点转动如图,7-3(b),所示。此时只有,AB,跨受荷载作用产生变形，相应的杆端弯矩,M,F,AB,、,M,F,BA,即为固端弯矩。,5,、单结点,力矩分配法的基本原理,附加刚臂的反力矩可取,B,结点为隔离体而得：,M,B,是汇交于,B,结点各杆端固端弯矩代数和，,它是未被平衡的各杆固端弯矩的差值，故称为,B,结点上的不平衡力矩，以顺时针方向为正。,M,B,=0,(2),原连续梁,B,结点并无附加刚臂，取消刚臂的作用让,B,结点转动,就相当于在,B,结点加上一个反向的不平衡力矩如图,7-3(c),所示。这时汇交于,B,结点的各杆端产生的弯矩,即前面所述的分配弯矩。在远端产生的杆端弯矩即传递弯矩,M,C,，它是由各近端的分配弯矩乘以传递系数得到的。,（,3,）将图,7-3(b),、,(c),两种情况叠加，就得到图,7-3(a),所示连续梁的受力及变形。如杆端弯矩,以上就是力矩分配法的基本思路，概括来说：先在,B,结点加上附加刚臂阻止,B,结点转动，把连续梁看作两个单跨粱，求出各杆的固端弯矩,M,F,，此时刚臂承受不平衡力矩,M,B,(,各杆固端弯,矩的代数和,),，然后去掉,附加刚臂，即相当于在,B,结点作用一个反向的不平衡力矩,(-,M,B,),，求出各杆端的分配弯矩及传递弯矩,M,C,，叠加各杆端弯矩即得原连续梁各杆端的最后弯矩。连续梁的,F,Q,、,F,N,Q,图及支座反力则不难求出。,例,7-1,用力矩分配法计算图,7-4(a),所示连续梁的,M,图。,EI=,常数。,图,7-4,6,、计算举例,解,:(1),计算分配系数,m,。,设,i,=,EI,/24,，则,将分配系数写在,B,结点下方的方框内。,(2),计算各杆端的固端弯矩,M,F,。,写在各杆端下方,M,F,一行。,(3),去掉刚臂，放松,B,结点，由于,B,结点的不平衡力矩为：,写在,B,结点下方 一行，并画一横线表示,B,结点已放松获得平衡。,(4),各杆远端的传递弯矩,M,C,的计算。,写在对应的杆端下方,M,C,一行，并用箭头表示弯矩的传递方向。,将其反号进行分配，得各杆端的分配弯矩 。,(5),最后杆端弯矩的计算。,将其写在各杆端下方,M,一行,，,并用双横线表示计算的最后结果。由于在计算分配弯矩时,，,已使结点保持平衡,，,在最后,M图校核中，利用,M,B,=0,只能校核分配过程有无错误，而对分配系数、固端弯矩,M,F,计算是否有误则必须考虑变形条件的校核。最后弯矩图见图,7-,4(b),所示。,为了计算更加简单起见,，,分配弯矩,M,及传递弯矩,M,C,的具体算式可不必另写，而直接在图,7-4,表格上进行即可。,例,7-2,计算图,7-5(a),所示刚架的,M,图。,图,7-5(a),解,:(1),计算分配系数,m,。,设,i,=,EI,/4,，,i,AB,=,EI,/4,=,i,，,i,AC,=,EI,/4,=,i,，,i,AD,=2,EI,/4=2,i,。,(2),在结点,A,处加刚臂，计算固端弯矩,M,F,。,(3),去掉刚臂，放松结点,A,，分配、传递均在图,7-5(b),上进行。,(4),绘图,M,，如图,7-5(c),所示。结点,A,满足，,上节以只有一个结点转角说明了力矩分配法的基本原理。对于有多个结点转角但无结点线位移,(,如两跨以上连续梁、无侧移刚架,),只需依次对各结点使用上节方法便可求解。,下面用图,7-6(a),所示三跨连续梁来说明用逐次渐近的方法计算杆端弯矩的过程。,7-2,多结点的力矩分配,7-6(a),(1),首先将,B,、,C,两结点同时固定,计算分配系数：由于各跨及,EI,均为常数,故线刚度均为 ，则 。,分配系数为,:,B,结点：,C,结点：,(2),计算各杆的固端弯矩,M,F,：,将以上数据填到图,7-6(a),相应栏中。,(3),此时,B,、,C,结点均有不平衡力矩，为消除这两个不平衡力矩，位移法中是令,B,、,C,同时产生和原结构相同的转角，即同时放松,B,、,C,结点，在计算中就意味着求解联立方程。而在力矩分配法中，为了避免求解联立方程，依次放松各结点，用逐次渐近的方法使,B,、,C,结点达到平衡位置。,第一步放松,C,结点（,B,结点不放松）。,C,结点的不平衡力矩,将其反号后分配：,，,将它们填入图中对应位置，此时，,C,结点暂时获得平衡，在分配弯矩下面画一横线来表示,(,C,结点虽然转动了一个角度，但还未达到最后位置,),。分配弯矩向各自远端的传递弯矩为：,，,此时，,B,结点的不平衡力矩除原固端弯矩外，还应再加上由结点,C,传递过来的传递弯矩，即,放松,B,结点的同时固定,C,结点，将上述不平衡力矩反号后进行分配，,并同时向远端传递,将上述数据填入图中相应位置，,B,结点此时亦暂时平衡，仍在分配弯矩数值下面画一横线。这种,C,、,B,两结点各放松一次的计算阶段称为第一轮计算。,第二步再放松,C,结点（同时固定,B,结点）。,C,结点由于传递弯矩,又产生了不平衡力矩，故需在,C,结点加上一个反向的不平衡力矩进行分配、传递。弯矩传递后，,B,结点也产生了不平衡力矩，还需放松,B,结点进行分配、传递。此阶段称为第二轮计算。,第三步依次类推如此反复将各结点轮流放松、固定，不断进行分配、传递，直到传递弯矩的数值小到按计算精度要求可以忽略不计时，即可停止计算,(,最后应停止在分配弯矩这一步，而不再向远端传递,),。该三跨连续梁的计算过程及弯矩图如图,7-6(b),、,(c),所示。,由于分配系数,m,及传递系数,C,均不大于,1,，故在上述计算中，随计算轮次的增加，分配与传递弯矩数值愈来愈小。为使计算收敛地更快，一般首先从不平衡力矩,(,绝对值,),数值最大的结点开始分配、传递。当结点多于,2,个时，同时放松不相邻的各结点，同样可加快收敛的速度。,图,7-6,例,7-3,用力矩分配法计算图,7-7(a),所示连续梁的,M,图。,解本题的特点是,DE,为悬臂部分；,B,结点有一集中力偶,m=6kNm,。关于悬臂梁可采取如下的方式：悬臂部分,DE,杆内力为静定，可由静力平衡条件求出，若将其去掉，而以截面的弯矩和剪力作为外力施加于结点,D,上，则,D,结点便可作为铰支端进行处理，如图,7-7(b),所示。,图,7-7(a),C,结点：,(2),固端弯矩 。,，,(1),计算分配系数,m,：设 ，则,，,B,结点：,结点,B,有集中力偶,m,作用，在计算,B,结点的不平衡力矩时，除了固端弯矩,(3),进行分配、传递。,及传递弯矩,外，还应加上结点力偶,将上述不平衡力矩反号后进行分配。分配、传递的过程为,C,B,C,B,C,B,C,B,。,(4),绘制,M,图，如图,7-7(c),所示。,例,7-4,用力矩分配法作图,7-8(a),所示刚架,M,图。常数。,图,7-8,解,：用力矩分配法计算刚架的杆端弯矩时，对于简单的刚架，可直接在计算简图上进行。但当结构杆件比较多时，采用表格的形式比较方便。表格的格式有多种，下面推荐以下的格式供读者参考。,(1),计算分配系数。,B,结点：,同理，,m,B,D,=1/3,m,B,C,=1/3,C,结点：,同理，,m,C,E,=1/2,(3),分配传递过程,C,B,C,B,C,，见表,7-1,。,(4),最后,M,图，如图,7-8(b),所示。,(2),计算固端弯矩 。,表,7-1,杆端弯矩的计算,1,、应用范围,(1),无侧移杆件，即杆件的两端无相对线位移；,(2),剪力静定杆，即杆的剪力可以通过平衡方程直接确定。如图,7-9(a),所示，柱,AB,两端虽然有相对侧移，但由于支座,C,处无水平反力，故,AB,柱的剪力是静定的，称为剪力静定杆。,7-3,无剪力分配法,2,、计算要点,采用无剪力分配法计算有侧移刚架时，仍采用固定与放松结点的方法。下面以图,7-9(a),所示刚架为例，说明计算要点。,结点,B,的不平衡力矩暂时由刚臂承受。,(1),固定结点,B,。只加刚臂阻止结点的转动，而不加链杆阻止结点的移动，如图,7-9(b),所示。对剪力静定杆来说，相当于一端固定、一端滑动的梁，如图,7-9(c),所示。其固端弯矩分别为：,图,7-9,(2),放松结点,B,。为了消除刚臂上的不平衡力矩，需要放松结点,B,，进行力矩的分配和传递。此时，结点,B,不仅转动,Z1,角，同时也发生水平位移，如图,7-9(d),所示。柱,AB,为下端固定上端滑动，当上端转动时，柱的剪力为零因而处于纯弯曲受力状态，如图,7-9(e),所示。这实际上与如图,7-9(f),所示的上端固定下端滑动的柱,AB,，当上端转动同样角度时的受力和变形状态完全相同。,图,7-9,故可知其刚度系数为，而传递系数为,-1,。于是，结点,B,的分配系数为,无剪力分配的计算过程如图,7-10,所示，弯矩图如图,7-9(g),所示。在整个力矩的分配和传递过程中，柱中原有剪力将保持不变而不增加新的剪力，故这种方法称为无剪力力矩分配法，简称无剪力分配法。以上计算方法可以推广到多层刚架的情况。不论有多少层，每一层的柱子均可视为上端,图,7-10,解：,(1),分配系数：计算结果如图,7-11(b),所示。,对于,CE,柱，除受本层荷载外，还受有柱顶剪力,10kN,，故有,例,7-5,试用无剪力分配法计算图,7-11(a),所示刚架。,(2),固端弯矩：对于,AC,柱,对于,EG,柱，除受本层荷载外，还受有柱顶剪力,20kN,，故有,(3),力矩分配与传递：具体分配、传递过程如图,7-11(b),所示。结点分配次序为,(,E,、,A,),、,C,、,(,E,、,A,),。,(,E,、,A,),表示结点,E,与,A,同时放松与固定。,M,图如图,7-11(c),所示。,图,7-11,7-4,近似计算简介,用精确法计算多跨多层刚架，常有大量的计算工作，如不借助于计算机往往无法计算。如果在计算中忽略一些次要影响因素，则可得到各种近似法。,1.,分层计算法,(1),适用范围,(2),计算步骤,2.,弯矩二次分配法,(1),适用范围,(2),计算步骤,3,、反弯点法,(1),适用范围,(2),计算步骤,