高等数学,空间直角坐标系与向量的坐标表示.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第二节,空间直角坐标系,与,向量的坐标表示,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系,.,坐标原点,坐标轴,x,轴,(,横轴,),y,轴,(,纵轴,),z,轴,(,竖轴,),过空间一定点,O,坐标面,卦限,(,八个,),1.,空间直角坐标系的基本概念,zOx,面,在直角坐标系下,向径,坐标轴上的点,P,Q,R,;,坐标面上的点,A,B,C,点,M,特殊点的坐标,:,有序数组,(,称为点,M,的,坐标,),原点,O,(0,0,0);,坐标轴,:,坐标面,:,2.,向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点,M,则,沿三个坐标轴方向的,分向量,的坐标为,此式称为向量,r,的,坐标分解式,任意向量,r,可用向径,OM,表示,.,记,四、利用坐标作向量的线性运算,则,平行向量对应坐标成比例,:,设,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解,:,2,3,得,代入,得,例,3.,已知两点,在,AB,所在直线上求一点,M,使,解,:,设,M,的坐标为,如图所示,及实数,得,即,说明,:,由,得,定比分点公式,:,点,M,为,AB,的中点,于是得,中点公式,:,五、向量的模、方向角、投影,1.,向量的模与两点间的距离公式,则有,由,勾股定理得,因,得,两点间的距离公式,:,对,两点,与,例,4.,求证以,证,:,即,为等腰三角形,.,的三角形是等腰三角形,.,为,顶点,例,5.,在,z,轴上求与两点,等距,解,:,设该点为,解得,故所求点为,及,思考,:,(1),如何求在,xOy,面上与,A,B,等距离之点的轨迹方程,?,(2),如何求在空间与,A,B,等距离之点的轨迹方程,?,离的点,.,(1),如何求在,xOy,面上与,A,B,等距离之点的轨迹方程,?,(2),如何求在空间与,A,B,等距离之点的轨迹方程,?,提示,:,(1),设动点为,利用,得,(2),设动点为,利用,得,且,例,6,.,已知两点,解,:,求,AB,的单位向量,e.,2.,方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取,空间一点,O,称,=AOB,(0,),为向量,的,夹角,.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角,.,与三,坐标轴的夹角,为其,方向角,.,方向角的余弦称为其,方向余弦,.,方向余弦的性质,:,例,7.,已知两点,和,的模、方向余弦和方向角,.,解,:,计算向量,例,8,.,设点,A,位于第一卦限,解,:,已知,角依次为,求,点,A,的坐标,.,则,因点,A,在第一卦限,故,于是,故,点,A,的坐标为,向径,OA,与,x,轴,y,轴的夹,第二节,3.,向量在轴上的投影,第二节,则,a,在轴,u,上的,投影为,例如,在,坐标轴上的投影分别为,设,a,与,u,轴正向的,夹角为,即,投影的性质,2),1),(,为实数,),例,9.,第二节,设立方体的一条对角线为,OM,一条棱为,OA,且,求,OA,在,OM,方向上的投影,.,解,:,如图所示,记,MOA,=,作业,P12 3,5,13,14,15,18,19,备用题,解,:,因,1.,设,求,向量,在,x,轴上的投影及在,y,轴上的分,向量,.,在,y,轴上的,分向量为,故在,x,轴上的,投影为,2.,设,求以,向量,行四边形的对角线的长度,.,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,