第四章 空间力系和重心.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 力,在直角坐标轴上,的,投影,第二节 力,对轴的矩和力对点的矩,第三节,空间任意,力系的,简化,第四节,空间力系的平衡条件和平衡方程,第五节 重心,主要内容,第四章,空间,力系,和重心,第一节 力在直角坐标轴上的投影,1,、概念,空间力系,就是指各力的作用线不在同一平面内的力系。,在空间力系中，若各力的作用线汇交于一点，称为,空间汇交力系,若各力的作用线相互平行，称为,空间平行力系,若各力的作用线既不完全汇交于一点也不完全平行，,称为,空间一般力系,。,空间任意力系,空间平行力系,空间汇交力系,空间力系实例,2.1,力在空间的表示,2,、力在直角坐标轴上的投影,力的三要素：,大小、方向、作用点,大小：,方向：由,、,三个方向角确定或由仰角 与方位角 来确定。,b,g,q,F,xy,O,作用点：物体和力矢的起点,或终点的接触之点。,第一节 力在直角坐标轴上的投影,b,g,q,F,xy,O,2.2,一次投影法（直接投影法）,第一节 力在直角坐标轴上的投影,若已知力,F,与三个坐标轴,x,、,y,、,z,的夹角分别为,、,、,时，则,F,在三个坐标轴上的投影分别为,:,反之，当已知力,F,在三个坐标轴上的投影时，可求出力,F,的大小和方向。,2.3,二次投影法（间接投影法）,当力与各轴正向夹角不易,确定时，可先将,F,投影到,xy,面上，然后再投影到,x,、,y,轴上，即,:,第一节 力在直角坐标轴上的投影,2.4,力沿坐标轴分解：,若以,F,x,、,F,y,、,F,z,表示力沿直角,坐标轴的正交分量，则：,因为：,F=,F,x,+F,y,+F,z,而：,F,x,=,F,x,i,F,y,=,F,y,j,F,z,=,F,z,k,因此：,F=,F,x,i+F,y,j+F,z,k,i,j,k,分别表示沿,x,y,z,三个坐标轴正向的单位向量,。,力,F,沿空间直角坐标系的解析表达式,例题,4-1,力,F,作用在正六面的对角线上，如图所示，若正六面体的边长为,a,.,计算力,F,在,x,yz,轴上的投影,.,第一节 力在直角坐标轴上的投影,解,-,方法,1,解,-,方法,2,1.,力对轴的矩,第二节 力对轴的矩和力对点的矩,1.1,定义：,力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩,.,它等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面的交点之矩。符号,规定：从,z,轴正向向里看，若力使刚体逆时针转取正，反之取负。也,可,按右手螺旋法则，即用右手的四指来表示力绕轴的转向，如果拇指,的指向与,z,轴正向相同，力矩为正，反之为负。,分力,F,xy,使门绕,z,轴旋转,使用,表示力,F,对,z,轴的矩,代数量,1.2,特殊力对轴的矩,力与轴相交（,d=0,）或与轴平行（力与轴在同一平面内,F,xy,=0,），力对该轴的矩为零,.,1.3,力对轴的矩的解析式,由合力矩定理：,即,同理可得其余两式，即有：,力对轴的矩的解析式,2.,力对点的矩,力矩的大小；,力的作用线与,矩心所组成的平面的,方位。,力矩的转向 ；,决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外,还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物,体的作用效应也不同。所以空间力对,刚体的作用效应取决于下列三要素：,例,力,P1,，,P2,，,P3,对汽车反镜,绕球铰链,O,点的,转动效应不同,第二节 力对轴的矩和力对点的矩,2.1,力对点的矩的矢量表示,在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。,力矩矢的表示方法,力矩矢大小：,力矩矢方位：,与该力和矩心组成的平面,的法线方位相同,注意：力矩,矢为定位矢量,注意：力矩,矢为定位矢量,注意：力矩,矢为定位矢量,注意：力矩,矢为定位矢量,力矩矢的指向：与转向,的关系服从右手螺旋定则。或从,力矩矢的末端看去，物体由该力,所引起的转向为逆时针转向。,力对点的矩的矢积表达式,如果,r,表示,A,点的矢径，则：,导出,力对点的矩等于矩心到该力作用点,的矢径与该力的矢量积。,又,结论,力对点的矩的解析表达式,力对点的矩的矢积表达式,3,、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系,(1),定理,:,力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。,4.1,空间力偶三要素,力偶矩的大小,力偶作用面的方位,力偶的转向,y,第二节 力对轴的矩和力对点的矩,4,、空间力偶矩矢,空间力偶,三要素可以,用一个矢量表示，该矢量称为,力偶矩,矢。,4.2,力偶矩用矢量表示,力偶矩,矢,力偶矩,矢表示方法,大小：,矢量的长度表示力偶矩的大小；,矢量的方位：,与力偶作用面的法线方位相同,矢量的指向：,与转向的关,系服从右手螺旋定则。或从力偶矢,的末端看去，力偶的转向为逆时,针转向。,作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。,4.3,空间力偶的性质,(1),等效,定理,(2),在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另,一平行平面而不改变它对刚体的作用。,(4),空间力偶矩矢是一个自由矢量由于力偶,可以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此,表示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动，,可见空间力偶矩矢是一个自由矢量。,(3),只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用,面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的,大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变,.,1.1,空间力的平移,附加力偶矩矢,d,第三节 空间任意力系的简化,1.,空间任意力系向任意一点简化,1.2,空间力系的简化,点,O,：空间中任意选择的简化中心,将,F1,平移到点,O,将空间中的其它力平移到点,O:,主矢,F,R,主矩,M,O,主矢与简化中心的选择无关,主矩与简化中心有关。简化中心选择不同，各力对简化中心的力矩也不相同。,1.2,空间力系的简化,1.2,空间力系的简化,1.2,空间力系的简化,结论,空间,一般力系向任一点,O,简化，一般可以得到一力和,一力偶；该力作用于简化中心，其大小及方向等于该力系的,主矢，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩。,第三节 空间任意力系的简化,1.3,简化结果分析,其矩等于原力系对于简化中心的主矩,M,O,。,此时主矩与简化中心的位置无关。,合力作用线通过简化中心，其大小和方向,与原力系的主矢相同1.3,简化结果分析,由于做,力螺旋：,由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊力系。,不能再进一步简化。,1.3,简化结果分析,M,和,主矢,F,R,合成为合力,F,R,而：,所以,M,/,和,R,在,O,点处形成一个力螺旋,。,M,/,不变，是在平面内的一力偶,6,若,，,R,不平行也不垂直,M,0,，,成最一般的任意角,时，,可将,M,/,搬到,O,处,因为,M,/,是自由矢量，,首先把,M,O,分解为,M,/,和,M,力系简化中，不随简化中心改变的量有：,R,，,M,/,简化中心为,O,时：有,M,和,M,/,，,当简化中心为另一点,O,1,时，为,M,和,M,/,，即,M,/,总是不变的（,它是原力系中的力偶与简化中心无关）,R,，,M,/,是,力系简化中的不变量,1.4,注意,例题,4-2,如图所示，正六面体的边长等于,100mm,F,1,=,F,2,=,F,3,=,F,4,=,F,5,=,F,=100N,将该力系向,A,点简化，并分析简化结果。,解,F,1,=,F,2,=,F,3,=,F,4,=,F,5,=,F,=100N,解,F,1,=,F,2,=,F,3,=,F,4,=,F,5,=,F,=100N,解,F,1,=,F,2,=,F,3,=,F,4,=,F,5,=,F,=100N,以点,A,为简化中心,解,F,1,=,F,2,=,F,3,=,F,4,=,F,5,=,F,=100N,简化结果是一个力螺旋,1,空间任意力系平衡的充要条件和平衡方程：,空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零,.,第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程,该力系的主矢、主矩分别为零：,空间任意力系的平衡方程,矩心,O,可任选；力的投影轴、取矩轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致，但要保证,6,个方程是独立的。,巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只含一个未知量，避免解联立方程组,。,第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程,1,空间特殊力系平衡方程,（,1,）空间汇交力系,3,个独立方程,各力交于,O,点,平衡方程仅有,即,O,第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程,1,空间特殊力系平衡方程,（,2,）空间平行力系,3,个独立方程,设各力平行于,z,轴，则有,平衡方程仅有,x,y,z,O,第四节 空间力系的平衡条件和平衡方程,1,空间特殊力系平衡方程,（,3,）空间力偶系,平衡方程仅有,即,O,例,4-3,：,均质长方形薄板，重量,P=200N,，角,A,由光滑球铰链固定，角,B,处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角,B,在,x,z,方向的运动，,EC,为钢索，将板支持在水平位置上，试求板在,A,，,B,处的约束力及钢索的拉力。,解：（,1,）以板为对象画出受力图,.,A,C,D,x,y,z,E,30,z,y,A,C,D,x,E,B,P,30,解：（,2,）列平衡方程,y,A,C,D,x,E,B,P,30,解：（,2,）列平衡方程,y,A,C,D,x,E,B,P,30,例,4-4,：,已知,T,1,=2T,2,，链条与,x,1,夹角为,30,，鼓轮半径,r=10cm,，轮盘半径,R=20cm,，,Q=10kN,。求匀速吊起重物时，求链条拉力和轴承,A,、,B,的约束力,A,B,Q,30cm,40cm,30cm,R,x,1,z,r,解：取鼓轮和重物为研究对象：,例,4-4,：,已知,T,1,=2T,2,，链条与,x,1,夹角为,30,，鼓轮半径,r=10cm,，轮盘半径,R=20cm,，,Q=10kN,。求匀速吊起重物时，求链条拉力和轴承,A,、,B,的约束力,解：取鼓轮和重物为研究对象：,A,B,Q,30cm,40cm,30cm,R,x,1,z,r,x,第五节 重心,1,、重心的概念,重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个,平行力系,，这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为,物体的重心,。,1.1,空间平行力系的中心,(2),平行力系的中心坐标公式,(,投影式,),(1),定义：,空间平行力系，当它有合力时，合力的作用,点,C,就是此平行力系的中心。,第五节 重心,F,R,物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。即,组成物体各质点的重力的合力作用线所通过的一个确定的点，这个点称为,物体的重心,1.2,物体的重心,1.3,确定物体重心的意义,保证平衡的稳定性；,保证运动的稳定性；,消除振动。,P,n,P,1,P,设有一重为,P,的物体，将它分成许多微小部分，若各微小部分所受,的重力分别用,P,1,P,2,P,n,表示，则有,P=P,1,+,P,2,+,P,n,=P,i,取空间直角坐标系,Oxyz,，设各微小部分重力作用点的坐标分别为,(x,1,y,1,z,1,),、,(x,2,y,2,z,2,),、,、,(,x,n,y,n,z,n,),，物体重心,C,点的坐标为（,x,C,y,C,z,C,),。,1.4,重心坐标公式,对,y,轴应用合力矩定理有：,对,x,轴应用合力矩定理有：,根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，,将物体连同,坐标轴转动,90,使重力合力与各分力与,y,轴平行，由重心的概念可,知，此时物体的重心位置,C,不变。再对,z,轴应用合力矩定理，可得：,1.4,重心坐标公式,因此，一般物体重心的坐标公式为,P,n,P,1,P,1.4,均质物体重心坐标公式,(1),均质物体密度为常数，设为,，并设物体所分成的每个微小部分体积为,V,1,V,2,Vn,物体总体积为,V,，则,P,1,=,V,1,P,2,=,V,2,P,n,=,V,n,P=,V,重心坐标公式变为：,(2),当为均质平面薄板，若每个微小部分面积为,A,1,A,2,A,n,总面积为,A,，,则重心坐标公式变为：,(3),当为均质细长杆，若每个微小部分长度,L,1,L,2,L,n,总长为,L,，,则重心坐标公式变为：,(1),对称法,(,简单几何形状物体重心）,具有对称点,对称轴,对称面的均质物体，其重心就在其对称点,对称轴,对称面上。,1.5,确定重心方法,简单几何形状物体重心,(2),组合法,分割法,例,4-5,已知：,Z,形截面，尺寸如图。,求：该截面的重心位置。,解：将该截面分割为三部分，取,Oxy,直角坐标系，如图：,1.5,确定重心方法,组合法,负面积法,解,：,Z,形截面可视为由面积为,S,1,的大矩形和面积分别为,S,2,及,S,3,的小矩形三部分组成，,S,2,及,S,3,是应去掉的部分，面积为负值。,1.5,确定重心方法,悬挂法：,(3),实验室方法确定重心,1.5,确定重心方法,则,将车提高,H,高度后，同理有,称重法：,(3),实验室方法确定重心,1.5,确定重心方法,一、概念及内容,空间力偶及空间力对点之矩是矢量，,空 间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。,空间力系,合力投影定理,：,空间力系的,合力矩定理,：,空间力对点之矩与对轴之矩的关系,(,Z,轴过,O,点）,第四章 小结,二、基本方程,空间力系的平衡方程,空间一般力系,空间汇交力系,空间力偶系,空间,x,轴力,系,四矩式、五矩式,和六矩式的附加条件,均 为使方程式独立。,四,矩,式,空 间,xoy,面的,力,系,空间力系的几个问题,x,y,z,(,三个矩轴和三个投影轴可以不重合,),可以是任,选的六个轴。,力矩方程一般不少于三个（,M,O,是矢量）,空间一般力系有六个独立平衡方程（空间物体六个,自由度）可解六个未知量。,三、解题步骤、技巧与注意问题,：,解题步骤,(,与平面问题相同,),选研究对象；,画受力图；,选取坐标轴；,列平衡方程、求解。,解题技巧,用矩轴代替投影轴，常常方便解题；,投影轴尽量选取得与未知力,，力矩轴一般要与未知,力平行或相交；,一般采取从整体,局部的研究方法；,需注意的问题,力偶在投影方程中不出现；,空间力偶是矢量，平面力偶是代数量；,求物体重心问题常用组合法。对于均质物体，重心、,形心、质心为同一点。,静 力 学,