经济数学-一阶微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、可分离变量的微分方程,二、齐次方程,第二节 一阶微分方程,三、一阶线性微分方程,四、小结与思考题,一、可分离变量的微分方程与分离变量法,设有一阶微分方程,则称方程,为,可,分离变量的微分方程,其中,都是,连续函数,.,根据这种方程的,特点,我们可通,过,积分来求解,.,设,用,除方程的,两端,用,乘以方程的,两端,以使得未知函数,与自变量置,得,两边积分,得,如果,则易知,也是方程,的解,.,求解可分离变量的方程的方法,称为,分离变量法,.,上述,例,1,求微分方程,解,分离变量,两端积分,从而,记,则得到题设方程的通解,例,3,解,分离变量得,得,求微分方程,的通解,.,的各项,先合并,及,设,两端积分,得,于是,则得到题设方程的通解,记,注：,在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过,程中,用它除方程,两边,这样得到的通解,不包含使,的特解,.,但是,其失去的解仍包含在通解中,.,如在本例中,我们得,有时如果我们扩大任意常数,的取值范围,则,到的通解中应该,但这样方程就失去特解,而如果允许,则,仍包含在通解,中,.,的前提下,我们在假定,例,4,某公司,年净资产有,(,百万元,),并且资,产本身以每年,5%,的速度连续增产,同时该公司每,年要以,30,百万元的数额连续支付职工工资,.,(1)给出描述净资产,的微分方程,;,(2),求解方程,这时假设初始净资产为,(3),讨论在,三种情况下,变化特点,.,解,(1),利用平衡法,即由,净资产增长速度,资产本身增长速度,职工工资支付速度,得到所求微分方程,解,(1),得到所求微分方程,(2),分离变量,得,两边积分,得,(,为正常数,),于是,将,代入,得方程通解,:,上式推导过程中,当,时,或,通常称为,平衡解,仍包含在通解表达式中,.,(3),由通解表达式可知,当,百万元时,产额单调递减,公司将在,36,年破产,;,净资,万元时,公司将收支平衡,当,百,将资产保持在,600,百万元,不变,;,当,百万元时,不断增大,.,公司净资产将按指数,二、齐次方程,的微分方程称为,齐次方程,.,2.,解法,作变量代换,代入原式,得,可分离变量的方程,1.,定义,),(,x,y,f,d,x,d,y,=,形如,.,),(,x,u,u,f,d,x,d,u,-,=,即,ln,),(,1,x,C,u,u,f,d,u,=,-,得,例,5,解,原方程变形为,求解微分方程,令,则,故原方程变为,即,分离变量得,dx,du,x,u,dx,dy,+,=,齐次方程,分离变量得,两边积分得,或,便得所给方程的通解为,回代,例,6,求下列微分方程的通解,:,解,原方程变形为,令,则,代入原方程并整理,两边积分得,即,变量回代得所求通解,课堂练习,求解微分方程,解,d,x,d,u,x,u,d,x,d,y,+,=,则,微分方程的解为,一阶线性微分方程,的标准形式,:,上面方程称为,齐次的,.,上面方程称为,非齐次的,.,例如,线性的,;,非线性的,.,三、一阶线性微分方程,齐次方程的通解为,1.,一阶线性齐次方程,一阶线性微分方程的,解法,由分离变量法,2.,一阶线性非齐次方程,讨论,两边积分,即非齐次方程通解形式,对照,),(,),(,x,v,d,x,y,x,Q,为,设,=,-,d,x,x,P,Ce,y,),(,齐次方程的通解,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,.,实质,:,未知函数的变量代换,.,作变换,一阶线性非齐次微分方程的通解为,:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例,7,第一步，求相应的齐次方程的通解,.,2,的通解,求方程,x,x,y,d,x,d,y,=,-,解,例,7,第二步，常数变易法求非齐次方程的通解,.,2,的通解,求方程,x,x,y,d,x,d,y,=,-,解,例7,例8,解,方程化为,其中,.,0,2,),6,(,2,的通解,求方程,=,+,-,y,d,x,d,y,x,y,所以,四、利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,.,),(,9,2,的通解,求,例,y,x,d,x,d,y,+,=,例,10,用适当的变量代换解下列微分方程,:,解,所求通解为,贝努利方程,2,d,x,d,y,y,d,x,d,z,=,则,解,分离变量法得,所求通解为,d,x,d,y,x,y,d,x,d,z,+,=,则,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,（一阶线性微分方程）,1,-,=,d,x,d,u,d,x,d,y,则,.,y,x,d,y,d,x,+,=,方程变形为,五、小结,1.,可分离变量的微分方程,:,分离变量法,（,1,）分离变量,;,（,2,）两端积分,-,隐式通解,.,可分离变量的微分方程解法：,3.,线性非齐次方程,2.,齐次方程,齐次方程的解法,线性非齐次方程的解法,思考题,1.,求解微分方程,2.,方程,是否为齐次方程,?,思考题解答,为所求解,.,2.,方程两边同时对 求导,:,原方程,是,齐次方程,.,练 习 题,一、求下列微分方程的通解,:,1,.,0,tan,sec,tan,sec,2,2,=,+,x,d,y,y,y,d,x,x,；,2,.,0,),(,),(,=,+,+,-,+,+,d,y,e,e,d,x,e,e,y,y,x,x,y,x,；,3,.,0,),1,(,3,2,=,+,+,x,d,x,d,y,y,.,二、,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,:,1,.,x,d,x,y,y,d,y,x,sin,cos,sin,cos,=,4,0,p,=,=,x,y,；,2,.,0,sin,),1,(,cos,=,+,+,-,y,d,y,e,y,d,x,x,4,0,p,=,=,x,y,.,五、,求下列齐次方程的通解,:,1,.,0,),(,2,2,=,-,+,xy,d,y,d,x,y,x,；,2,.,0,),1,(,2,),2,1,(,=,-,+,+,d,y,y,x,e,d,x,e,y,x,y,x,.,六、,求下列齐次方程满足所给初始条件的特解,:,1,.,1,0,2,),3,(,0,2,2,=,=,+,-,=,x,y,xy,d,x,d,y,x,y,；,2,.,0,),2,(,),2,(,2,2,2,2,=,-,+,+,-,+,d,y,x,xy,y,d,x,y,xy,x,1,1,=,=,x,y,.,七、求下列微分方程的通解1,.,x,e,x,y,y,sin,cos,-,=,+,；,2,.,0,),ln,(,ln,=,-,+,d,y,y,x,y,d,x,y,；,3,.,0,2,),6,(,2,=,+,-,y,d,x,d,y,x,y,.,八、求下列微分方程满足所给初始条件的特解,:,1,.,4,5,cot,2,cos,-,=,=,+,=,p,x,x,y,e,x,y,d,x,d,y,；,2,.,.,0,1,3,2,1,3,2,=,=,-,+,=,x,y,y,x,x,d,x,d,y,十、,用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的,方程,然后求出通解,:,1,.,1,1,+,-,=,y,x,d,x,d,y,；,2,.,1,cos,sin,2,sin,),1,(sin,2,2,2,+,-,-,+,-,+,=,x,x,x,y,x,y,y,；,3,.,x,y,xy,x,d,x,d,y,-,=,),(,sin,1,2,.,十一、已知微分方程,),(,x,g,y,y,=,+,其中,=,0,0,1,0,2,),(,x,x,x,g,试求一连续函数,),(,x,y,y,=,满,足条件,0,),0,(,=,y,且在区间,),0,+,满足上述方程,.,练习题答案,