数学建模微分方程模型(二).ppt

微分方程案例选讲,背景,年,1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口,(,亿,)5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年,1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000,人口,(,亿,)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律,控制人口过快增长,案例一,如何预报人口的增长,表,1,美国人口统计数据,年（公元）,人口,(,百万）,1790,3.9,1800,5.3,1810,7.2,1820,9.6,1830,12.9,1840,17.1,1850,23.2,1860,31.4,年（公元）,人口,(,百万）,1870,38.6,1880,50.2,1890,62.9,1900,76.0,1910,92.0,1920,106.5,1930,123.2,1940,131.7,年（公元）,人口,(,百万）,1950,150.7,1960,179.3,1970,204.0,1980,226.5,1990,251.4,2000,281.4,下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表,1,给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报,2010,年美国人口,指数增长模型,马尔萨斯提出,(,1798,),常用的计算公式,x,(,t,),时刻,t,的,人口,基本假设,:,人口,(,相对,),增长率,r,是常数,今年人口,x,0,年增长率,r,k,年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型,参数估计,(,r,x,0,),专家估计；利用实际数据作拟合,r,=0.2743/10,年,x,0,=4.1884,美国,1790,年至,1900,年数据,r,=0.2022/10,年,x,0,=6.0450,美国,1790,年至,2000,年数据,线性最小二乘法,指数增长模型的应用及局限性,与,19,世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于,19,世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合,19,世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19,世纪后人口数据,人口增长率,r,不是常数,(,逐渐下降,),阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r,固有增长率,(,x,很小时,),x,m,人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,r,是,x,的减函数,dx,/,dt,x,0,x,m,x,m,/2,x,m,t,x,0,x,(,t,)S,形曲线,x,增加先快后慢,x,0,x,m,/2,阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),阻滞增长模型参数估计,(,r,xm,),r,=0.2557/10,年,x,m,=392.0886,美国,1790,年至,1990,年数据,线性最小二乘法,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口,预报，必须先估计模型参数,r,或,r,x,m,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位,百万）,1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990,31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4,专家估计,阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),r,=0.2557,x,m,=392.1,模型检验,用模型计算,2000,年美国人口，与实际数据比较,实际为,2814(,百万,),模型应用,预报美国,2010,年的人口,加入,2000,年人口数据后重新估计模型参数,Logistic,模型在经济领域中的应用,(,如耐用消费品的售量,),阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),r,=0.2490,x,m,=434.0,x,(2010)=306.0,案例二 传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数,(,病人,),i,(,t,),每个病人每天有效接触,(,足以使人致病,),人数为,模型,1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),建模,?,模型,2,区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),假设,1,）总人数,N,不变，病人和健康 人的 比例分别为,2,）每个病人每天有效接触人数为,且,使接触的健康人致病,建模,日,接触率,SI,模型,模型,2,1/2,t,m,i,i,0,1,0,t,t,m,传染病高潮到来时刻,(,日接触率,),t,m,Logistic,模型,病人可以治愈！,?,t=t,m,di,/,dt,最大,模型,3,传染病无免疫性,病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS,模型,3,）病人每天治愈的比例为,日,治愈率,建模,日接触率,1/,感染期,一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为,接触数,。,模型,3,i,0,i,0,接触数,=1,阈值,感染期内,有效接触感染的健康者人数不超过病人数,1-1/,i,0,模型,2(SI,模型,),如何看作模型,3(SIS,模型,),的特例,i,di,/,dt,0,1,1,0,t,i,1,1-1/,i,0,t,1,di,/,dt,1/,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,1/,i,(,t,),单调降至0,1/,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,模型,4,SIR,模型,预防传染病蔓延的手段,(,日接触率,),卫生水平,(,日,治愈率,),医疗水平,传染病不蔓延的条件,s,0,1/,的估计,降低,s,0,提高,r,0,提高阈值,1/,降低,(=,/,),群体免疫,模型,4,SIR,模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,x,s,0,i,0,P,1,i,0,0,s,0,1,小,s,0,1,提高阈值,1/,降低,被传染人数比例,x,s,0,-,1/,=,