近世代数课件(全)--2-5变换群.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,近世代数,第二章 群论,5,变换群,1/29/2026,研究一种代数体系就是要解决这种代数体系,的下面三个问题：存在问题；数量问题以及,结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同,构的代数体系的数量，因为同构的代数体系,抽象地看可以认为是相同的代数体系。,本讲的,凯莱定理,将告诉我们，如果将所有变,换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研,究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理,论上知道凯莱定理的重要性。,1/29/2026,一、,集合的变换和变换乘法,1,变换：设,是一个非空集合，若,是,就称,是,的一个变换,.,到,上的映射,2,变换集合：由,的全体变换做成的集合,，由,的全体一一变换做成,.,记为,的集合记为,1/29/2026,4,变换乘法是,的代数运算，也是,的代数运算,.,5,恒等变换,：,，,3,变换乘法：,，规定,，称,为,的乘法,.,1/29/2026,二、变换群的概念,例,1,设,的全部变换如下,问：（,1,）,关于变换乘法是否做成群？,关于变换乘法是否做成群？,（,2,）,1/29/2026,解,：（,1,）非空、代数运算、结合律都满足，,事实上，,就没有逆元,.,因为如果,有逆元,.,那么必有,且,.,但是,而,导致矛盾，故,没有逆元,.,不能成为群,.,有单位元,.,那么,“,逆元,”,问题能解决吗？,因此1/29/2026,（,2,）非空、代数运算、结合律都满足，,，,的逆元是,的逆元是自身,.,因此,例,2,设,，并取定,，则易知,是,的一个非一一变换，,，从而,关于变换乘法做成群,.,有单位元,成为群,.,.,1/29/2026,定义,1,设,的若干一一变换关于变换的乘法做成,的一个,一一变换群,；,的若干非一一变换关于变换的乘法做,的一个,非一一变换群,.,是一个非空集合，则,的若干变换关于变换的乘法做成的群，,的一个,变换群,；,由,称为,由,的群，称为,由,成的群，称为,1/29/2026,定理,1,设,为非空集合，,构成,的一个变换群,.,关于变换的乘法,证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元,为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的,互逆的一一映射,.,1/29/2026,定义,2,称集合,上的一一变换群,为,上的对称群；,时，其上的对称群用,表示，称为,n,次对称群,.,当,显然：（,1,）,上任何一一变换群都是,上的对称群的一个子群，即,上的对称群,的最大的一一变换群；,是,（,2,）,n,次对称群,是一个阶为,的有限群,.,1/29/2026,定理,2,设,是非空集合,的一个变换群,.,则,证：,必要性显然；下证充分性：设有,的单射变换,，于是,，由,是单射变换，,，因此,是,的恒等变换；,，若,，则,，所以,是单射变换；,，所以,是满射变换,.,是,的一个一一变换群,中含有,的单（满）射变换,.,，因为,是群，,故有单位元,得,1/29/2026,推论,1,：,是非空集合,的一个变换群，则,或者是一一变换群（单位元是恒等变换），,，则,不能成为群,.,或者是非一一变换群，即任何一个变换群都,不可能既含有一一变换又含有非一一变换,.,注意：,如果,1/29/2026,例,例,3.,令,，,，则,做成,的一个,，规定,，则,做成,的一个,上的对称群,.,非一一变换群,.,例,4.,令,一一变换群，但不是,（单位元,）,（单位元,）,1/29/2026,定理,3(,凯莱定理,),任何群都能同一个一一变换群同构,.,证：,设,是任意一个群,，规定,的一个变换,易知是一个,一个一一变换,.,令,，则,，,，,，所以,是同构映射,.,所以,.,1/29/2026,推论,2,任何,n,阶有限群都同,n,次对称群,的一个子群同构,.,以上定理及推论表明,:,任何,抽象群,都可以找到某个,具体的群,与它,同构,.,1/29/2026,