线性代数§1.1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课程简介,线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系,问题,.,线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式,来表达的,.,最简单的线性问题就是解线性方程组,.,行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，,也推动了线性代数的发展,.,向量概念的引入，形成了向,量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加,以讨论,.,因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系,的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容,.,它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上,既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁,琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加,强这些方面的训练。,第一章 行列式,第二章 矩阵,第三章 线性方程组,第四章 向量空间与线性变换,基础,基本内容,用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容,第五章 特征值与特征向量,第六章 二次型,矩阵理论,中心内容,参考及辅导书目：,1,、,线性代数学习指南,居余马 林翠琴 编著,清华大学出版社,2,、,线性代数,第四版 同济大学应用数学系编,高等教育出版社,一、二阶行列式的引入,用消元法解二元,(,一次,),线性方程组,:,1.1,n,阶行列式的定义与性质,(1),(2),(1),a,22,:,a,11,a,22,x,1,+,a,12,a,22,x,2,=,b,1,a,22,(2),a,12,:,a,12,a,21,x,1,+,a,12,a,22,x,2,=,b,2,a,12,两式相减消去,x,2,得,(,a,11,a,22,a,12,a,21,),x,1,=,b,1,a,22,b,2,a,12,;,当,(,a,11,a,22,a,12,a,21,),0,时,方程组的解为,:,由方程组的四个系数确定,(3),类似地,消去,x,1,得,(,a,11,a,22,a,12,a,21,),x,2,=,b,2,a,11,b,1,a,21,;,若记,(4),则方程组的解,（,3,）,可以表示为,称,主,对角线,副对角线,二阶,行列式的计算,对角线法则,=,ad,bc,为二阶行列式,对于二元线性方程组,D,称为线性方程组,(1),的,系数行列式,.,若记,(1),注意,:,分母都为原方程组的系数行列式,.,则该二元线性方程组的解,(3),式,(3),可表示为,:,例,1,:,解二元线性方程组,解,:,=3 (4)=7,0,并称它为,三阶行列式,.,（横为行，竖为列）,二、三阶行列式,定义,列,标,行标,对于由,9(3,3),个,元素,排成,3,行,3,列的式子,i,为行标,，,j,为列标,(1),沙,路法,三阶行列式的计算,即,(2),对角线法则,注意,:,红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元,素的乘积冠以负号,例,2,:,计算三阶行列式,解,:,按对角线法则,有,D,=1,2,(2),+2,1,(3),+(4),(2),4,(4),2,(3),2,(2),(2),1,1,4,=4 6+32 24 8 4,=14,对于三元线性方程组,如果其系数行列式,那么可求得方程组的解为,其中,是用常数项,替换,D,中的,第,j,列所得到的三阶行列式,即,说明,2.,二阶行列式包括,2!,项,每一项都是位于,不同行,不同列,的两个元素的乘积,其中一项为正,一项为负,.,三阶行列式包括,3!,项,每一项都是位于,不同行,不同列,的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负,.,说明,1.,对角线法则（沙路法）只适用于二阶与三阶行列式,说明3.,对于,n,（,n,3,）,阶行列式，不能用沙路法定义,.,例,3:,求,解,方程,解,:,方程左端为一个三阶行列式,其值为,:,D,=3,x,2,+4,x,+18 12 2,x,2,9,x,=,x,2,5,x,+6,由,D,=,x,2,5,x,+6=0,解,得,:,x,=2,或,x,=3.,对于一阶行列式，我们规定,这里,是行列式符号，不是绝对值符号,问题：,如何定义一般的,n,阶行列式,？,n,阶行列式一般有三种定义方式，第一种是抽象定,义方法，可以查阅同济大学线性代数教材，第二种是公,理化定义方法，第三种就是本教材所采用归纳定义法,方法,.,首先对于三阶行列式,，,我们可以用二阶行列式来表示它,：,这里,分别称为元素,的余子式,，,并分别称,为元素,的代数余子式，于是,余子式,：,的余子式,就是在,D,中去掉,所在的行,与列后,，,由剩下的元素按原来的次序排列成的低一阶的,行列式,.,代数余子式,：,的代数余子式,就是在,的余子式前,加上符号,例如,对于二阶行列式,同样也有,从上面的分析可以看到如果分别把,看作二阶行列式和三阶行列式的定义，那么这种定义,方式是统一的，即：,用低阶行列式定义高一阶的行列式,.,下面我们就用这种方法给出行列式的归纳定义,.,和,三、,n,阶行列式的定义,定义,：,由 个数 组成的,n,阶行列式,是一个算式,.,当,n,1,时，定义,当 时，定义,其中,称 为元素 的余子式，为元素 的代数余子式。,说明：,所在的对角线称为行列式的主对角线,称为主对角元,项,，,且带正号的项和带负号的项各占一半,，,每一项都是,不同行不同列的,n,个元素的积。,（,2,）,n,阶行列式由 个元素构成，其展开式中共有,例,1,、证明,n,阶,下三角行列式,的值为,n,个主对角元的,乘积，即,主对角线以上的元素全为,0,，即当,i,j,时,，,证明：对,n,用数学归纳法,.,下三角行列式,：,(1),当,n,=2,时,，,结论成立,.,(2),假设结论对,n,1,阶下三角行列式成立，那么,对于,n,阶下三角行列式，由定义有,：,故所证结论成立,.,n,阶,对角线行列式,主对角线以外的元素全为,0,，即当,对角线行列式：,是下三角行列式的特例，故也有,i,j,时,，,例,2,、计算,n,阶行列式（副对角线以上的元素全为,0,）,.,其中,，,表示元素为任意数,.,解：由定义有,递推关系（递推公式）,由以上结论容易得到,：,四、,n,阶,行列式的性质,行列式,D,T,称为行列式,D,的,转置行列式,.,记,性质,1:,行列式的行与列互换，其值不变,即,D,T,=,D,.,性质,1,说明行列式对行成立的性质都适用于列,.,下面仅对行讨论,.,由性质,1,和前面关于下三角行列式的结果马上可以得到,上三角行列式,(,主对角线以下的元素全为,0,),的值等于,主,对角元的积,，,即,性质,2:,行列式按任一行展开，其值相等，即,其中,是,D,中去掉第,i,行第,j,列的全部元素后剩下的元素,按原来的顺序排成的,n,1,阶行列式,，,称为,的余子式,，,称为,的,代数余子式,.,即,性质,3:,线性性质,（,1,）,行列式的某一行,(,列,),中所有的元素都乘以同一数,k,等于用数,k,乘此行列式,.,（,2,）,若行列式的某一行,(,列,),的元素都是两数之和,那么该行列式可以写成两个行列式的和,.,例如：,（,1,）,若行列式的某一行,(,列,),的元素都是,n,个数之和,那么该行列式可以写成,n,个行列式的和,.,例如,：,说,明,：,2,）,若行列式的某,m,行,(,列,),的元素都是 两,例如,：,说明,：,个数之和,那么该行列式可以写成,个行列式的和,.,由性质,3,马上得到,：,推论,1,某行元素全为零的行列式其值为零,.,性质,4,行列式中两行对应元素全相等，其值为零,.,对行列式的阶数用数学归纳法证明,证明,：,当,D,为二阶行列式时，结论显然成立,.,假设当,D,为,n,1,阶行列式时，结论成立。,设行列式,D,的第,i,行和第,j,行元素对应相等,.,则当,D,为,n,阶行列式时，将,D,按第,k,行展开得：,其中，为,k,1,阶行列式，,且有两行元素对应相等，,故,由归纳假设知,推论,2,行列式中两行对应元素成比例，其值为零,.,由性质,3,和性质,4,马上得到,：,性质,5,在行列式中，把某行各元素分别乘以数,k,，,再加到另一行的对应元素上，行列式的值不变,。,（,对行列式做倍加行变换，其值不变），即,在行列式的计算中，性质,3,、,5,以及下面的性质,6,经常,用到，为书写方便，我们先引入几个记号,。,用,表示第,i,行,表示第,i,列,.,交换行列式的第,i,j,两行,(,列,),记作,把行列式的第,j,行,(,列,),的各元素乘以同一数,k,然后加到第,i,行,(,列,),对应的元素上去,记作,行列式的第,i,行,(,列,),乘以数,k,记作,注意,：,和,含义不同,.,性质,6,反对称性质,）,行列式的两行对换，行列式的值反号,.,证明,：,即,行列式某一行,(,列,),的元素与另一行,(,列,),的对应,证明,:,把行列式,D,=,det(,a,ij,),按第,j,行展开,得,性质,7,元素的代数余子式乘积之和等于零,即,第,j,行,第,i,行,相同,所以,a,i,1,A,j,1,+,a,i,2,A,j,2,+,a,in,A,jn,=0,i,j,把,a,jk,换成,a,ik,(,k,=1,2,n,),当,i,j,时,可得,关于代数余子式的重要性质,其中,将性质,2,和性质,7,结合起来可以得到,对列展开也有,利用,性质,6,把行列式的第,j,行,(,列,),的各元素乘以同一数,k,然后加到第,i,行,(,列,),对应的元素上去,记作,r,i,+,r,j,k,(,c,i,+,c,j,k,);,利用,性质,3,行列式的第,i,行,(,列,),乘以数,k,记作,r,i,k,(,c,i,k,);,二、行列式计算,计算行列式常用方法,:,利用性质,2,3,6,特别是性质,6,把行列式化为,上,(,下,),三角形行列式,从而,较容易的计算行列式的值,例,1:,计算,5,阶行列式,解,:,D,r,2,+3,r,1,r,3,2,r,1,r,4,3,r,1,r,5,4,r,1,r,2,r,3,r,4,+,r,2,r,4,+,r,3,r,5,+2,r,3,r,5,+2,r,4,解,:,将第,2,3,n,列都加到第一列得,:,例,2:,计算,n,阶行列式,第,2,3,n,行都减去第一行得,:,例,3:,设,证明,:,D,=,D,1,D,2,.,证明,:,对,D,1,作行运算,r,i,+,t,r,j,把,D,1,化为下三角形行列式,:,对,D,2,作列运算,c,i,+,kc,j,把,D,2,化为下三角形行列式,:,先对,D,的前,k,行作行运算,r,i,+,tr,j,然后对,D,的后,n,列作列运算,c,i,+,kc,j,把,D,化为下三角形行列式,:,故,D,=,p,11,p,kk,q,11,q,nn,=,D,1,D,2,.,行列式的,6,个性质,.,行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,.,计算行列式常用方法,:(1),利用定义,;(2),利用性质把行列式化为上,(,下,),三角形行列式,从而算得行列式的值,.,三、小结,思考题,其中已知,abcd,=1.,计算行列式,思考题解答,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的,.,是线性代数中最基本的计算问题之一,.,对角线法则,二阶与三阶行列式的计算,三、小结,作业：,第,32,33,页：,5,；,8,；,10.,