1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点,：,如何求特解？,方法,：,待定系数法,.,自由项为,二阶常系数非齐次线性微分方程,一、型,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程（,k,是重根次数）,.,特别地,例,1,解,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,代入方程,得,原方程通解为,求通解,解,特征方程,特征根,齐通解,即,代入（*）式,非齐通解为,例,2,分别是,的实部和虚部,可设,辅助方程,由分解定理,分别是以,为自由项的非齐
2、次线性微分方程的特解,注意,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程,例,3,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,（取虚部）,原方程通解为,这种方法称为复数法,例,4,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,所求非齐方程特解为,（取实部）,原方程通解为,注意,例,5,解,对应齐方程通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例,6,求通解,解,相应齐方程,特征方程,齐通解,先求,的特解,设,代入方程,再求,的特解,考虑辅助方程,可设,代入方程得,取实部得,原方程的特解,所求通解为,例,7,设,具有连续的二阶偏导数,且满足,求,u,的表达式,解,记,则,同理,这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程,解得,一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子,8,米，另一端离钉子,12,米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间,下段重为,解,设时刻,t,链条下落了,x,米,另设链条单位长重为,则上段重为,由,Newton,第二定律,例,8,特征方程,特征根,齐通解,特解,故,代入初始条件,解得,三、小结,(,待定系数法,),只含上式一项解法,：,作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,.,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式,.,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,练 习 题,练习题答案,
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