行列式中行与列具有同等的地位.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 一章 行列式,行列式中行与列具有同等的地位，行列式的,性 质凡是对行成立的对列也同样成立,.,计算行列式常用方法：,行列式的,6,个性质：,(1),利用定义,;,(2),利用性质把行列式化为上三角形行列式,知识回顾：,实例分析,计算行列式常用方法：,利用运算 把行列式化为,上三角形行列式,，从而算得行列式的值,例,1,（具体过程请参考上节课件）,行列式计算的特点,：,（,2,）,运算过程中既可对,行,运算也可以对,列,运算,（,1,）,是,整行（列）进行运算，计算过程用,“,=,”,（,3,）可同时进行几种运算，但,运算次序不可随意颠倒,（参看书,P13-14,）,（,4,）计算时注意看清行列式的,阶数,。,（,1,）,（,2,）,练习：计算下列行列式,（,提示,：）,提示：,（所有行都减最后一行）,引例,（,P14,例,10,）,证明,例如：,降阶？,余子式与代数余子式,6,行列式按行,(,列,),展开,例题分析,行列式按行,(,列,),展开法则,第 一章 行列式,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的,余子式,，记作,a,a,a,a,44,43,42,41,34,33,32,31,24,23,22,21,14,13,12,11,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,D,=,例,计算 的余子式,一、,余子式,二、,代数余子式,44,43,42,41,34,33,32,31,24,23,22,21,14,13,12,11,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,D,=,例,计算 的代数余子式,叫做元素 的,代数余子式,行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式,引理,一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 元 外都为零，那末这行列式等于,与它的代数余子式的乘积，即,三、,行列式按行（列）展开法则,定理,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,或,Proof：,解 选一行（或列）具有较多的0,元素的展开式，,按第三行展开，得,(,技巧是：按,0,较多的行或列展开降阶,),例,1,计算行列式,解,例,2,计算,计算,n,阶行列式,P28 7(6),（,提示,：）,(,书,P18,例,12),范德蒙德,(,Vandermonde,),行列式,例,5,利用范德蒙行列式计算,相同,推论,行列式的,某一行,(列),的元素,与,另一行,(列),的对应元素的代数余子式,乘积之和为,0。,代数余子式的重要性质（,P20,）,例,13(,P21):,使用推论的证明技巧,Solution,2.,行列式按行（列）展开法则,是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,；,四、小结,1.,区别余子式和代数余子式，并注意其计算；,3.,注意,范德蒙行列式,的,形式,与,计算结果,，利用范德蒙行列式计算；,4.,代数余子式的重要性质：,1/29/2026,关于齐次线性方程组的结论,7,克拉默,(,Cramer,),法则,克拉默法则,克拉默法则的理论价值,一、克拉默法则,如果线性方程组,的,系数行列式不等于零,，,即,proof,(see p 52),其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程,组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解,可以表为,1/29/2026,(,1),个方程,个未知数 的线性方程组,:,注：,克拉默,(,Cramer),法则的,使用前提,：,(2),系数行列式不等于,0:,例,1,用克拉默则解方程组（,p22,例,14,）,6,7,4,1,2,1,2,0,6,0,3,1,1,5,1,2,-,-,-,-,-,=,D,定理,4,如果上述线性方程组,无解,或,有两个以上,不同的解,，则它的,系数行列式必为零,.,二、,克拉默法则的理论价值,定理,4,设线性方程组,则称此方程组为,非齐次线性方程组,;,此时称方程组为,齐次线性方程组,.,三、非齐次与齐次线性方程组的概念,定理,5,定理,5,注：,齐次方程组一定有零解，但不一定有非零解。,例,3,问 取何值时，齐次方程组,有非零解？,该齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解,.,1.,用克拉默法则解方程组的两个条件,(1),方程个数等于未知量个数,;,(2),系数行列式不等于零,.,2.,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系,数与常数项之间的关系,.,它主要适用于理论推导,.,四、小结,本章内容要点：,1,、会求二阶、三阶行列式；计算逆序数；,2,、掌握行列式的性质和行列式的展开定理，会利用其进行,n,阶行列式的计算。,3.,区别余子式和代数余子式，并注意其计算；,4,、注意克拉默法则解方程组的两个条件；及其掌握判断方程组解的结论,性质,1,行列式与它的转置行列式相等,.,性质,2,互换行列式的两行（列），行列式变号,.,推论,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列,式为零,.,性质,3,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘,以同一数 ，等于用数 乘此行列式,.,性质,行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质,5,若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,.,例如第 列的元素为两数之和：,性质,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列,(,行,),对应的元素上去，行列式的,值不变,证明：采用数学归纳法,(,),(,),假定对 阶,Vandermonde,行列式，结论成立。,采用降阶的方法：,从第,n,行开始，后行减去前行的,x,1,倍，有,