1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,拉普拉斯变换及线性微分方程求解,拉普拉斯变换的定义,几种典型信号的拉氏变换,拉氏变换的积分下限,拉氏变换的基本性质,拉氏反变换,微分方程的求解,1,、,定义：函数,f(t),t,为变量。如下述线性积分,存在，则称其为函数的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。,(s,为复变量,),拉普拉斯变换及线性微分方程求解,一、拉普拉斯变换的定义,2.,记作：,F(s),或,L,f(t),3.,拉氏反变换：,一、拉普拉斯变换的定义,1,、单位阶跃函数,二、几种典型函数的拉氏变换,1,t,0,0 t0,1,f(t),t,0,2.
2、单位斜坡函数,t t,0,0 t0,f(t),t,0,二、几种典型函数的拉氏变换,3,、等加速度函数,4,、指数函数,f(t),t,0,5,、正弦函数,sin,t,6、,单位脉冲函数,0,t,0,t=0,三、拉氏变换的积分下限问题,型拉氏变换,型拉氏变换,1,、线性性质,设,F,1,(s)=Lf,1,(t),F,2,(s)=Lf,2,(t),a,和,b,都是常数，则,四、拉氏变换的几个基本规则,2,、微分法则,设,F(s)=Lf(t),，则,四、拉氏变换的几个基本规则,四、拉氏变换的几个基本规则,3,、积分法则,设,F(s)=Lf(t),，则,4,、,终值定理,若函数,f(t),的象函数为,
3、F(s),，且,F(s),在,s,平面的右半平面及除原点以外的虚轴上解析，则由终值,四、拉氏变换的几个基本规则,难点：,F(s),在,s,平面的右半平面及除原点外的虚轴上解析。意思是：,F(s),的分母，令分母等于零的根不在右半平面及除原点外的虚轴上，即位于左半平面及原点上。,五、拉普拉斯反变换,由,F(s),求,f(t),常用部分分式法,五、拉普拉斯反变换,1,、,A(s)=0,无重根,例：求 的拉氏变换。,解：,求,于是,六、线性定常微分方程的解,U,r,(t),U,c,(t),L,R,C,i(t),例,3,L=1H,，,C,1F,，,R,1,，,且电容上初始电压,u,c,(0)=0.1V
4、初始电流,i(0)=0.1A,，,电源电压,u,r,(t)=1V,，,求电压,u,c,(t),的变化规律。,解,系统微分方程为,方程两边拉氏变换得,由于,将,L,，,R,，,C,，,u,c,(0),，,u,c,(0),，,代入得到,由于,U,r,(s)=1/s,，,故有,拉氏反变换得,还可以用如下方法求解,系统的特征方程为,特征方根为,系统的特解为,u,c,(t)=1,齐次通解解为,系统的通解为,用待定系数法即可求出,C,1,、,C,2,。,考虑初始条件，对微分方程两边进行拉氏变换；,由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；,对输出量拉氏变换函数的表达式进行拉氏反变换。,拉氏变换求解微分方程的一般步骤,课堂练习：,P64-2-5(2),作业：,P70 2-5(,选做一题,),
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