无限深方势阱中的粒子.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3 无限深方势阱中的粒子,一、一维无限深方形势阱,二、薛定谔方程和波函数,三、旧量子论的半经典解释,1,举几个小例,1,)说明量子力学解题的思路,2,)了解量子力学给出的一些重要的结论,2,1,.由粒子运动的实际情况,正确地写出势函数,U,(,x,),2,.,代入定态薛定谔方程,3,.,解方程,4,.,解出能量本征值和相应的本征函数,5,.求出概率密度分布及其他力学量,一、量子力学解题的一般思路,3,二、几种势函数,1.,自由粒子,2.,方势阱,无限深方势阱,能级结构问题,方,势阱,4,方,势阱,是实际情况的极端化和简化,分子束缚在箱子内,三维方势肼,金属中的电子,5,3.,势垒,梯形势,散射问题,势垒,隧道贯穿,6,4,.其他形式,超晶格,谐振子,7,a,金属,U,(,x,),U,=,U,0,U,=,U,0,E,U,=0,x,极,限,U,=0,E,U,U,U,(,x,),x,0,a,无限深方势阱,（,potential well）,一、一维无限深方形势阱,功函数,分子束缚在箱子内,三维方势肼,8,U,=0,E,U,U,U,(,x,),x,0,a,特点：,粒子在势阱内,受力,为,零,势能为,零,在阱内,自由,运动,在阱外势能为,无穷大,在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外,9,1.势函数,粒子在,阱内自由,运动,不能到阱外,二、薛定谔方程和波函数,阱外,0,阱内,0,10,2.哈密顿量,3.定态薛定谔方程,阱外,：,阱内,：,0,11,根据波函数有限的条件,阱外,1)阱,外,4.分区求通解,12,令,2)阱内,为了方便将波函数脚标去掉,将方程写成,通解,式中,A,和,B,是待定常数,13,5.由波函数标准条件和边界条件定特解,通解是,(1)解的形式,解的形式为,(2)能量取值,14,A,已经为零了,B,不能再为零了,即,只能,ka,等于零,要求,能量可能值,15,1,),每个可能的值叫能量本征值,2,),束缚态 粒子能量取值分立,(,能级概念,),能量量子化,3,),最低能量不为零,波粒二象性,的必然结果,请用不确定关系说明,4,),当,n,趋于无穷时 能量趋于连续,5,)通常表达式写为,讨论,L,-阱宽,16,(3)本征函数系,由归一性质 定常数,B,得,本征函数,17,考虑到,振动因子,（驻波解）,6.定态波函数,18,7.概率密度,19,小结：本征能量和本征函数的可能取值,20,一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度,o,a,a,o,21,时，,量子,经典,玻尔对应原理,|,2,n,|,a,n,很大,E,n,0,22,三、旧量子论的半经典解释,粒子在阱外的波函数为零,允许的波长为,:,粒子的动量,粒子在势阱内动量为,阱内,的波函数在,阱壁上,的值也必,为零,（,驻波,量子化,能量,由波函数的连续性,23,能量量子化,是粒子的,波动性,和,边界条件,的必然,o,允许的波长为,:,24,4,势垒和隧道效应,一、粒子进入势垒,二、有限宽势垒和隧道效应,三、隧道效应的应用,25,2,1,透射?,反射,入射,1.势函数,讨论入射能量,E,U,0,情况,x,区,0,区,E,U,0,U,(,x,),一、粒子进入势垒,U,(,x,)=,U,0,0,x,0,26,I 区,令,2.定态薛定谔方程,x,区,0,区,E,U,0,U,(,x,),方程为,27,II,区,令,28,3.薛定谔方程通解,通解,通解,波动形式,指数增加和衰减,29,考虑物理上的要求,当,x,时,2,(x,),应有限,所以,D,=,0,于是,E,U,0,2,透射,1,入射+反射,x,区,区,0,30,4.,概率密度,(,x,0,区,),x,0,区,(,E,U,0,),粒子出现的概率,0,U,0,x,概率,本征波函数,概率密度,31,经典,：电子不能进入,E,U,的区域(因动能,0),量子,：电子可透入势垒,若势垒宽度不大,则电子可逸出金属表面,在金属表面形成一层电子气,E,U,0,2,透射,1,入射+反射,x,区,区,0,32,二、有限宽势垒和隧道效应,隧道效应,E,1,2,0,a,U,0,x,区,区,区,x,=,a,3,33,隧道效应,E,1,2,0,a,U,0,x,区,区,区,3,振幅为,波穿过势垒后,将以平面波的形式继续前进(),称为,势垒穿透,或,隧道效应,34,经典,量子,隧道效应,35,1.穿透系数,穿透系数会下降6个数量级以上,当,势垒宽度,a,约,50,nm,以上时,此时量子概念过渡到经典,36,量子物理,：,粒子有,波动性,遵从,不确定,原理,粒子经过,II,区和能量守恒并不矛盾,只要势垒区宽度,x,=,a,不是无限大,粒子能量就有不确定量,E,x,=,a,很小时,P,和,E,很大,2.怎样理解粒子通过势垒区,经典物理,：从能量守恒的角度看是不可能的,37,三、隧道效应的应用,隧道二极管 金属场致发射 核的,衰变,1.核的,衰变,U,Th+He,238,2344,粒子怎么过去的呢?,通过,隧道效应出来的,对不同的核算出的衰变概率和实验一致,r,R,U,35,MeV,4.25,MeV,0,势垒高度,38,2.扫描隧道显微镜,（,STM）,（Scanning Tunneling Microscopy）,STM,是一项技术上的重大发明,用于观察表面的微观结构,（不接触、不破坏样品）,原理,：利用量子力学的隧道效应,1986.,Nob,：,鲁斯卡,（,E.,Ruska,）,1932,发明,电子显微镜,宾尼,（,G.Binning）,罗尔,（,Rohrer）,发明,STM,39,U,0,U,0,U,0,A,B,d,E,电子云重叠,隧道电流,i,A,B,U,d,探针,样品,A,常量,样品表面平均势,垒高度,（,eV,）,d,10A,。,d,变,i,变,反映表面情况,40,隧道电流,反馈传感器,参考信号,显示器,压电控制,加电压,扫描隧道显微镜示意图,41,某种型号的扫描隧道显微镜,42,43,44,基于,STM,工作原理或扫描成像方法的派生显微镜系列,原子力(,AFM),磁力 分子力显微镜 等等,用,AFM,得到的癌细胞的表面图象,“原子和分子的观察与操纵”-白春礼,P.98,图 4-8,45,操纵原子不是梦,“原子书法”,1994年中国科学院科学家“写”出的,平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米,“原子和分子的观察与操纵”-白春礼 插页彩图13硅单晶表面直接提走硅原子形成2纳米的线条,46,“扫描隧道绘画”,一氧化碳“分子人”,“原子和分子的观察与操纵”-白春礼,P.151,图7-8,CO,分子竖在铂片上,分子人高5,nm,47,1993年美国科学家移动铁原子，铁原子距离0.9纳米,“量子围栏”,48个铁原子排列在铜表面,证明电子的波动性,48,5 一维谐振子,一、势函数,二、薛定谔方程及解,三、与经典谐振子的比较,49,谐振子不仅是经典物理的重要模型,也是量子物理的重要模型,如：,黑体辐射,场量子化,50,一、势函数,选线性谐振子的平衡位置为坐标原点,以坐标原点为零势能点,则一维线性谐振子的势能为：,m,是粒子的质量,k,是谐振子的劲度系数,是谐振子的角频率,51,二、薛定谔方程及解,解得,：,n,=0,1,2,52,线性谐振子波函数,线性谐振子位置概率密度,53,线性谐振子,n,=11,时的概率密度分布,虚线代表经典结果,经典谐振子在,原点,速度最大,停留时间短 粒子出现的概率,小,在,两端,速度为零 出现的概率,最大,54,x,n,很大,E,n,E,1,E,2,E,0,0,U,(,x,),能量特点,：,(1),量子化 等间距,符合不确定关系,概率分布特点:,E,U,区有,隧道效应,(2),有零点能,55,跃迁只能逐级进行,各跃迁发出的频率相同只有一条谱线,(3),跃迁有选择定则：,56,三、与经典谐振子的比较,1.基态位置概率分布,经典：,在,x,=0,处粒子的速度最大 概率最,小,量子：,在,x,=0,处概率最,大,57,2,当,时,符合,玻尔对应原理,量子概率分布过渡到,经典概率分布,能量量子化,过渡到,能量取连续值,第3章结束,58,