线性代数第七章线性空间与线性交换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 线性空间与线性变换,1,线性空间定义与性质,定义,设,V,为,非空集合，,P,为一数域（对四则运算封闭的数集合）。,V,中有两种,运算,“加法”：任意,，,V,唯一确定,=,+,V,；,“数乘”：任意,V,及,任意,k,P,唯一确定,=k,V.,且满足以下,8,条运算律：,+,=,+,；,(,+,)+,=,+(,+,);,V,中存在零元素,0,，使,+0=0,+,=,；,任意,V,，存在其负元素,-,V,，使,+(-,)=0,；,1,=,;,任意,k,l,P,(kl,),=,k(l,)=,l(k,);,k(,+,)=k,+k,；,(,k+l,),=k,+l,.,则称,V,为,数域,P,上的,线性空间,.,第七章 线性空间 与线性变换,1,线性空间定义与性质,(,续,1),例,1,R,n,对向量的加法和数乘构成,R,上的,线性空间。,向量,空间必为线性空间。,线性空间为,向量,空间的抽象，,线性空间中的元素也称为“,向量,”。,例,2,Px,n,=,f(x,)=a,0,+a,1,x+,+a,n-1,x,n-1,|a,i,P,(,次数小于,n,的多项式全体,),对多项式的加法和数乘构成,P,上的,线性空间。,n,次多项式全体不是,线性空间,例,3,P,mn,=A=,a,ij,mn,|a,ij,P,对矩阵的加法和数乘构成,P,上的,线性空间,第七章 线性空间 与线性变换,1,线性空间定义与性质,(,续,2),例,4,设,R,+,=,全体正实数,。对任意,a,b,R,+,，定义,1.,加法：,a b=,ab,;,2.,数乘,:k,a,=,a,k,.,问：,R,+,是否是,R,上的,线性空间？,第七章 线性空间 与线性变换,1,线性空间定义与性质,(,续,3),线性空间线性空间的性质：,1,、零元素唯一；,2,、任意元素的负,元素唯一；,3,、,0,=0,；,4,、若,k,=0,则,k,=,0,或,=0,.,第七章 线性空间 与线性变换,1,线性空间定义与性质,(,续,4),定义：设W,为线性空间,V,的非空子集，若,W,对,V,的加法、,数乘也构成线性空间，则称,W,为,V,的（线性）子空间。,定理,1,线性空间,V,的非空子集,W,为,V,的子空间的充要条件为,W,对,V,的加法、数乘封闭,.,如,0,、,V,均,为,V,的子空间，叫作,V,的平凡子空间,.,又如,为,P,n,n,的子空间,.,第七章 线性空间 与线性变换,2,基、维数、坐标,向量空间的理论可平行移到线性空间中来,.,如线性组合、线性表示、线性相关、最大无关组、秩等,.,又,1.,1,2,m,线性相关的,充要条件为：存在不全为零的数,k,1,k,2,k,m,使,k,1,1,+k,2,2,+,+,k,m,m,=0,；,2.,向量组,A,可由向量组,B,线性表示，则,r,A,r,B,；,线性无关的,充要条件为：,k,1,1,+k,2,2,+,+,k,m,m,=0,时,k,i,必全为零；,3.,设,1,2,m,线性无关，,而,1,2,m,，,b,线性相 关，则,b,可由,1,2,.,m,唯一地线性表示,.,第七章 线性空间 与线性变换,2,基、维数、坐标（续,1,）,定义,设,V,为数域,P,上的,线性空间，,V,中,向量,1,2,.,r,满足：,称,k,1,k,2,.,k,r,为,在基,1,2,.,r,下的坐标,.,1),1,2,.,r,线性无关；,=,k,1,1,+,k,2,2,+,.,+k,r,r,2),V,中任意向量,均可由,1,2,.,r,线性表示：,则称,1,2,.,r,为,V,的一组基,，,称,V,为,r,维线性空间（,dimV,=r,）,.,第七章 线性空间 与线性变换,2,基、维数、坐标（续,2,）,例,1,求,Px,n,（次数小于,n,的多项式全体）,的一组基与维数,.,解：,1,x,x,2,x,n-1,线性无关，,(,当,k,0,+k,1,x+k,2,x,2,+,+k,n-1,x,n-1,=0,时，,k,i,必全为,0,）,又对任意,f(x,)=a,0,+a,1,x+a,2,x,2,+,+a,n-1,x,n-1,Px,n,显然,f(x,),可由,1,x,x,2,x,n-1,线性表示，,1,x,x,2,x,n-1,为,Px,n,的一组基，,dim,Px,n,=n.,第七章 线性空间 与线性变换,2,基、维数、坐标（续,3,）,解：设,E,ij,P,mn,，且其第,i,行第,j,列元素,a,ij,=1,，其余元素均为,0,，则,E,ij,(i,=1,2,m;j,=1,2,n),线性无关，,例,2,求,P,mn,=A=,a,ij,mn,|a,ij,P,的一组基与维数,.,又对任意,A=,a,ij,mn,P,mn,A,可由,E,ij,(i,=1,2,m;j,=1,2,n),线性表示,:,E,ij,(i,=1,2,m;j,=1,2,n),为,P,mn,的一组基，,dim,P,mn,=,mn,第七章 线性空间 与线性变换,2,基、维数、坐标（续,4,）,设,1,2,.,r,为,线性空间,V,的一组基,则,V,=L(,1,2,.,r,),=k,1,1,+k,2,2,+,.,+,k,r,r,|,k,i,P,第七章 线性空间 与线性变换,2,基、维数、坐标（续,5,）,例,3,Px,3,中，求,f(x,)=2x,2,-x+1,在,基,:,1,x,x,2,与基,:,1,x+1,(x+1),2,下的,坐标,.,解：,f(x,),在基,下的,坐标为,1,，,-1,，,2,；,设,f(x,)=a+b(x+1)+c(x+1),2,则,f(x,)=a+b+c+(b2c)x+cx,2,f(x,),在基,下的,坐标为,:4,-5,2.,第七章 线性空间 与线性变换,3,基变换与坐标变换,定义：设,：,1,，,2,，,，,n,及,：,1,2,n,为线性空间,V,n,的两组基，且有基变换公式：,记作：,称,A=,a,ij,n,n,为从基,到基,的过渡阵,.,第七章 线性空间 与线性变换,3,基变换与坐标变换（续,1,）,定理,2,设,A,为从基,：,1,，,2,，,，,n,到基,：,1,2,n,的过渡阵，则（,1,）,A,可逆,且从基,到基,的过渡阵为,A,-1,；（,2,）若向量,在,两组基下的坐标分别为,及,X=AY (Y=A,-1,X),则,第七章 线性空间 与线性变换,4,子空间的维数与基 维数公式,定理,3,设,：,1,，,2,，,，,t,与,：,1,2,s,是线性空间,V,中的两个向量组，则,（,1,）,L(,1,，,2,，,，,t,)=L(,1,2,s,),的充要条件为：组,与组,等价；,（,2,）,dim L(,1,，,2,，,，,t,)=r,.,第七章 线性空间 与线性变换,4,子空间的维数与基 维数公式（续,1,）,定义,设,W,1,，,W,2,是线性空间,V,的两个子空间，则,V,的子集,W,1,W,2,=,|,W,1,且,W,2,，,W,1,+W,2,=,1,+,2,|,1,W,1,，,2,W,2,分别称为这两个子空间的交与和,.,定理,4,线性空间,V,的两个子空间,W,1,，,W,2,的交与和仍是,V,的子空间,.,第七章 线性空间 与线性变换,4,子空间的维数与基 维数公式（续,2,）,dimW,1,+dimW,2,=,dim(W,1,+W,2,)+dim(W,1,W,2,),定理,5,(,维数公式,),设,W,1,，,W,2,是线性空间,V,的两个子空间，则,第七章 线性空间 与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,则称,T,为,V,上的线性变换,.,定义：设,V,是,数域,P,上的线性空间,T,是从,V,到,V,的一个变换，且满足：,1,）对任意,，,V,有,T(,+,)=T(,)+T(,);,2,）对任意,V,及,任意,k,P,有,T(k,)=,kT,(,).,设,=T(,),，称,为,的像,，,为,的原像,.,第七章 线性空间与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,(,续,1),1.T(,)=,T(-,)=-T(,);,线性变换的简单性质：,2.T(k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,s,s,),=k,1,T(,1,)+k,2,T(,2,)+,+,k,s,T,(,s,),3.,若,1,2,s,线性相关，则,T(,1,),T(,2,),T(,s,),线性相关,.,反之未必,.,第七章 线性空间与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,(,续,2),几种特殊的线性变换：,1.,单位变换（恒等变换）,I:,任意,V,I(,)=,.,2.,零变换,O:,任意,V,O(,)=,.,3.,数乘变换,K:,任意,V,K(,)=k,.,第七章 线性空间与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,(,续,3),例,1,Px,n,中，,f,(x),定义,(f(x,)=,f,/,(x,),则,为,Px,n,上的线性变换,.,R,n,中的线性变换,Y=AX,与,n,阶方阵一一对应,.,第七章线性空间与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,(,续,4),定义：设,：,1,，,2,，,，,n,为线性空间,V,的一组基，,T,为,V,上的线性变换，且,记作：,称,A=,a,ij,n,n,为,T,在基,下的矩阵,.,第七章线性空间与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,(,续,5),任意,V,，设,=k,1,1,+k,2,2,+,+,k,n,n,所以,T,由,T(,1,),，,T(,2,),，,，,T(,n,),确定，即由,A,确定,.,取定,V,的一组基，则,T,与,A,一一对应,.,则,T(,),=k,1,T(,1,)+k,2,T(,2,)+,k,n,T,(,n,),第七章 线性空间与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,(,续,6),几种特殊的线性变换的矩阵：,1.,单位变换,I(,在任何基下,),的矩阵为,:,2.,零变换,O(,在任何基下,),的矩阵为,:,3.,数乘变换,K(,在任何基下,),的矩阵为,:,E(,单位矩阵,).,O(,零矩阵,):,kE,.,第七章 线性空间与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,(,续,7),例,1,Px,n,中，,f,(x),定义,(f(x,)=,f,/,(x,),取基,1,x,x,2,x,n-1,求,在此基下的矩阵,A.,解,:,(1)=0,(x,)=1,(x,2,)=2x,(x,n-1,)=(n-1)x,n-2,第七章 线性空间与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,(,续,8),例,2 R,3,中，取两组基，,：,1,=(2,2,1),T,2,=(1,1,-1),T,3,=(-1,0,1),T,是,R,3,上的,线性变换：,:,1,=(1,0,0)T,2,=(0,1,0),T,3,=(0,0,1),T,分别求,在,基,下的矩阵,A,和,B.,第七章 线性空间 与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,(,续,9),定理,6,设,T,为线性空间,V,上的线性变换，,从基,：,1,，,2,，,，,n,到基,：,1,2,n,的过渡阵为,P,，,T,在两组基下的矩阵分别为,A,和,B,，则,证：,T(,1,，,2,，,，,n,)=(,1,，,2,，,，,n,)A,T(,1,2,n,)=(,1,2,n,)B,右边,=(,1,，,2,，,，,n,)PB,左边,=T(,1,，,2,，,，,n,)P,),=(T(,1,，,2,，,，,n,)P,=(,1,2,，,，,n,)AP,AP=PB,即,B=P,-1,AP,B=P,-1,AP,第七章 线性空间与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,(,续,10),:,1,=(2,2,1),T,2,=(1,1,-1),T,3,=(-1,0,1),T,例,2,中,:,1,=(1,0,0),T,2,=(0,1,0),T,3,=(0,0,1),T,求,在,基,下的矩阵,A,和,B.,解,:,设,(,1,2,3,)=(,1,2,3,)P,得,到,的过渡阵,又,第七章 线性空间与线性变换,5,线性变换及其矩阵表示,(,续,11),例,3 Px,3,中,g,1,=1-x-x,2,g,2,=3x-2x,2,g,3,=1-2x,2,为基,(,),，,求,(f(x,)=,f,/,(x,),在此,基的矩阵,.,解,:,在,基,:,1,x,x,2,下的矩阵,到,的过渡阵,P=,即,(g,1,g,2,g,3,)=(1,x,x,2,)P,在,基,下的矩阵,