MATLAB矩阵的数值运算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二讲,MATLAB,的数值计算,matlab,具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位,数值运算的功能,创建矩阵,矩阵运算,多项式运算,线性方程组,数值统计,线性插值,函数优化,微分方程的数值解,一、命令行的基本操作,1.,创建矩阵的方法,直接输入法,规则：,矩阵元素,必须用,括住；,矩阵元素,必须用,逗号,或,空格,分隔；,在,内矩阵的,行与行之间,必须用,分号,分隔。,a=3.3；b=4.4；,c=1，a，3,；,4，5，6,；,b，7，8,c=,1.0000 3.3000 3.0000,4.0000 5.0000 6.0000,4.4000 7.0000 8.0000,例,1,：,m=1 2 3;4 5 6,n=11 12 13;14 15 16,m=,1 2 3,4 5 6,n=,11 12 13,14 15 16,c=m+i*n,c=,1.0000+11.0000i 2.0000+12.0000i 3.0000+13.0000i,4.0000+14.0000i 5.0000+15.0000i 6.0000+16.0000i,例,2,：,其中符号的作用,:,逗号和分号的作用,逗号和分号可作为指令间的分隔符，,matlab,允许多条语句在同一行出现。,分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。,冒号的作用,用于生成等间隔的向量，默认间隔为,1,。,用于选出矩阵指定行、列及元素。,循环语句,Note,：,只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。,变量名尽可能不要重复，否则会覆盖。,当一个指令或矩阵太长时，可用,续行,例：,用,matlab,函数创建矩阵,空阵,matlab,允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。,rand(1,N),产生,0 1,上均匀分布的随机序列，长度为,N,randn(1,N),产生均值为,0,，,方差为,1,的高斯随机序列，即白噪声序列，长度,N,eye,单位矩阵,zeros,全部元素都为,0,的矩阵,ones,全部元素都为,1,的矩阵,此外，还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。,Note,：,matlab,严格区分大小写字母,，因此,a,与,A,是两个不同的变量。,matlab,函数名必须小写,。,2.,矩阵的修改,直接修改,可用,键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改,。,指令修改,可以用,A(,)=,来修改,。,例：,a=1 2 0;3 0 5;7 8 9,a=1 2 0,3 0 5,7 8 9,A=3 2 1;5 0.7 2;7 4 3;b=5;2;7;X=Ab,X=,2.2609,1.7391,-5.2609,a p a,自乘,p,次幂,方阵,1,的,整数,4.,矩阵乘方,an,，,ap,，,pa,P,0,，,结果为与,a,相同的矩阵，当,p,a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2,ans,=30 36 42,66 81 96,102 126 150,当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。,例：,a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a0.5,ans,=,0.4498+0.7623i 0.5526+0.2068i 0.6555-0.3487i,1.0185+0.0842i 1.2515+0.0228i 1.4844-0.0385i,1.5873-0.5940i 19503-0.1611i 2.3134+0.2717i,eig(a,),%,求矩阵,a,的特征值,ans,=,16.1168,-1.1168,-0.0000,inv(A),矩阵求逆,det(A,),矩阵,A,所对应的行列式的值,eig(A),矩阵的特征值及特征向量,diag(A),提取,A,对角元素或生成对角矩阵,sqrtm(A,),矩阵,A,的平方根,logm(A,),矩阵,A,的自然对数,expm,（,A,）,A,的矩阵指数函数,trace(A,),求矩阵的迹,rank,（,A,）,求矩阵的秩,5.,矩阵的其它运算,6.,矩阵的一些特殊操作,矩阵的变维,例：,a=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12,a=,1 2 3 4,5 6 7 8,9 10 11 12,b=,reshape,(a,4,3),%,把指定的矩阵改变形状，但是元素个数不变,b=,1 6 11,5 10 4,9 3 8,2 7 12,矩阵的旋转,例：,a=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12,a=,1 2 3 4,5 6 7 8,9 10 11 12,b=,rot90,(a),矩阵逆时针旋转,90,度,b=,4 8 12,3 7 11,2 6 10,1 5 9,矩阵的对称交换,例：,a=-4-1-2;-3 0-3;-2 1 4,a=,-4 -1 -2,-3 0 -3,-2 1 4flipud,(a,),上下对称交换,ans,=,-2 1 4,-3 0 -3,-4 -1 -2,fliplr,(a,),左右对称交换,ans,=,-2 -1 -4,-3 0 -3,4 1 -2,提取矩阵的上、下三角阵,例：,a=-4-1-2;-3 0-3;-2 1 4,a=,-4 -1 -2,-3 0 -3,-2 1 4,tril,(a,),提取,a,的下三角阵,ans,=,-4 0 0,-3 0 0,-2 1 4,triu,(a,),提取,a,的上三角阵,ans,=,-4 -1 -2,0 0 -3,0 0 4,求矩阵的维数（,size,）或向量的长度（,length,）,例：,a=1 4 7 10;2 5 8 11;3 6 9 12,a=,1 4 7 10,2 5 8 11,3 6 9 12,k=,size,(a,),k=,3 4,A=1 2 3 4 8 6;n=,length,(A),n=,6,矩阵的转置,运算符,可进行矩阵的共轭转置运算，运算符,.,可进行矩阵的转置运算，当矩阵元素为实数时，两者结果相同。,例、,A=1 2 3;4 5 6,A=,1 2 3,4 5 6,B=A,B=,1 4,2 5,3 6,7.,矩阵的关系运算,MATLAB,提供了,6,种关系运算符：,关系符号,意义,=,=,=,小于,小于或等于,大于,大于或等于,等于,不等于,它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。,关系运算符的运算法则为：,当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小若关系成立，关系表达式结果为,1,，否则为,0,。,当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由,0,或,1,组成。,当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由,0,或,1,组成。,c=(a ab,ans,=,0 0 0,0 0 1,1 1 1,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9,a=,1 2 3,4 5 6,7 8 9,b=10-a,b=,9 8 7,6 5 4,3 2 1,例：,8.,矩阵的逻辑运算,在逻辑运算中，确认非零元素为真，用,1,表示，零元素为假，用,0,表示。,设参与逻辑运算的是两个标量,a,和,b,，,那么，,a&b(,与,)a,b,全为非零时，运算结果为,1,，否则为,0,。,a|b,（,或）,a,b,中只要有一个非零，运算结果为,1,。,a,（,非）,当,a,是零时，运算结果为,1,；当,a,非零时，运算结果为,0,。,MATLAB,提供了,3,种逻辑运算符：,&(,与,),、,|(,或,),和,(,非,),。,逻辑运算的运算法则为：,若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由,1,或,0,组成。,在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。,若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由,1,或,0,组成。,a=-3 0 1;2 4-5;-7-8 9,a=,-3 0 1,2 4 -5,-7 -8 9,x=a,等价于,not(a),元素为,0,时，结果为,1,，否则为,0,x0 1 0,0 0 0,0 0 0,例：,x1=(a0),x1=,1 1 0,0 0 1,1 1 0,x2=a-2&aa=1 2 3;4 5 6;7 8 9;,b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;,a,.,*b,ans=,2 8 18,4 15 30,49 72 90,例：,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;,b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;,a*b,ans=,25 37 46,55 85 109,85 133 172,数组相乘,矩阵相乘,a./b=b.a,a.b=b./a,给出,a,b,对应元素间的商,.,a./b=b.a ,都是,a,的元素被,b,的对应元素除,例a=1 2 3;b=4 5 6;c1=a.b,c2=b./a,c1=4.0000 2.5000 2.0000,c2=4.0000 2.5000 2.0000,数组乘方,(.),元素对元素的幂,例：,a=1 2 3,b=4 5 6,a=,1 2 3,b=,4 5 6,a.2,ans,=,1 4 9,a.b,ans,=,1 32 729,三、数据统计处理,1,、,求向量的最大值和最小值,格式：,y=,max(X,),：,返回向量,X,的最大值存入,y,，如果,X,中包含复数元素，则按模取最大值。,y,I,=,max(X,),：,返回向量,X,的最大值存入,y,，最大值的序号存入,I,，如果,X,中包含复数元素，则按模取最大值。,求向量,X,的最小值的函数是,min,(X,),，用法和,max(X,),完全相同。,例,1,、求向量,x,的最大值。,x=-43,72,9,16,23,47;,y=,max(x,),%,求向量,x,中的最大值,y,l,=,max(x,),%,求向量,x,中的最大值及其该元素的位置,2,、,求矩阵的最大值和最小值,求矩阵,A,的最大值的函数常用有,2,种调用格式：,max(A,),：,返回一个行向量，向量的第,i,个元素是矩阵,A,的第,i,列上的最大值。,Y,U=max(A),：,返回行向量,Y,和,U,，,Y,向量记录,A,的每列的最大值，,U,向量记录每列最大值的行号。,求矩阵,A,的最小值的函数是,min,(X,),，用法和,max(X,),完全相同。,例：,A=2 8 16;0-2 30;3 61 4,A=,2 8 16,0 -2 30,3 61 4,max(A,),ans,=,3 61 30,y,u=max(A),y=,3 61 30,u=,3 3 2,sum(X,),：,返回向量,X,各元素的和。,prod(X),：,返回向量,X,各元素的乘积。,sum(A),：,返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的,元素和。,prod(A,),：,返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的,元素乘积。,3,、求和与求积,数据序列求和与求积的函数是,sum,和,prod,，其使用方法类似。设,X,是一个向量，,A,是一个矩阵，函数的,调用格式,为：,sum(A,dim,),：,当,dim,为,1,时，该函数等同于,sum(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元,素是,A,的第,i,行的各元素之和。,prod(A,dim,),：,当,dim,为,1,时，该函数等同于,prod(A,),；当,dim,为,2,时，返回一个列向量，其第,i,个元,素是,A,的第,i,行的各元素乘积。,例：,A=2 8 16;0-2 30;3 61 4,A=,2 8 16,0 -2 30,3 61 4,sum(A),ans=,5 67 50,prod(A),ans=,0 -976 1920,4,、统计分布的数字特征,mean,(X,),返回向量,X,的算术平均值,mean(A,),返回一个行向量，其第,i,个元素是,A,的第,i,列的算,术平均值。,std,(X,),返回向量,X,的样本标准差,std(A,),返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵,A,各列或,各行的标准差。,var,(X,),返回向量,X,的样本方差,var(A,),返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵,A,各列或,各行的标准方差。,corrcoef,(X,),返回从矩阵,X,形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X,一样。它把矩阵,X,的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。,X=randn(10000,5);,M=mean(X),D=std(X),R=,corrcoef(X,),例、,生成满足正态分布的,100005,随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这,5,列随机数据的相关系数矩阵。,M=,0.0011 0.0066 0.0009 0.0264 0.0101,D=,1.0011 1.0036 1.0049 1.0058 1.0061,R=,1.0000 0.0119 0.0051 -0.0114 -0.0011,0.0119 1.0000 0.0093 -0.0012 0.00710.0051 0.0093 1.0000 0.0048 0.0095,-0.0114 -0.0012 0.0048 1.0000 -0.0017,-0.0011 0.0071 0.0095 -0.0017 1.0000,运行结果：,5,、排序,格式：,sort(X,),函数返回一个对,X,中的元素按升序排列的新向量。,sort,函数也可以对矩阵,A,的各列或各行重新排序，其调用格式为：,Y,I=,sort(A,dim,),其中,dim,指明对,A,的列还是行进行排序。若,dim=1,，则按列排；若,dim=2,，则按行排。,Y,是排序后的矩阵，而,I,记录,Y,中的元素在,A,中位置。,matlab,语言把多项式表达成一个行向量，该向,量中的元素是按多项式降幂排列的。,P(x)=a,n,x,n,+a,n-1,x,n-1,+a,1,x+a,0,可用系数行向量表示：,P=a,n,a,n-1,a,1,a,0,四、多项式运算,1.,多项式的表达方式,Note,：,多项式中系数为,0,的项不能忽略，,p,中相应元素应置为,0,。,p=3,5,1,7,或,p=3 5 1 7,p1=3,0,2,4,或,p1=3 0 2 4,2.,多项式因式分解,多项式方程求根,利用函数,roots,（）,求多项式方程的根，从而因式分解。,例：求多项式,的根。,在,MATLAB,中表示为：,例：多项式,，,用,MATLAB,语言：,p=1,-20.5,137,-297.5;,r=,roots,(p),r=,8.5000,7.0000,5.0000,多项式因式分解：,3.P,poly,(ar,),产生特征多项式系数向量,若,ar,是方阵，,P,就是多项式系数向量；,若,ar,ar1 ar2,arn,，,ar,的元素是多项式,P,的根,满足,(x-ar1)(x-ar2)(,x-arn,)=a,n,x,n,+a,n-1,x,n-1,+a,0,。,例：展开多项式 。,ar,=20 7-5;,p=,poly,(ar,),p=,1 -22 5 700,多项式展开：,例,:,求,3,阶方阵,A,的特征多项式。,A11 12 13;14 15 16;17 18 19;,PA=poly(A),A,的特征多项式,PA=,1.0000 -45.0000 -18.0000 0.0000,PB=poly2str(PA,x),以,x,作为自变量，返回三次多项式,PB=,x3-45 x2-18 x+1.8303e-014,Note,：,poly2str,是,一个函数文件。,n,阶方阵的特征多项式系数存放为,1,(n,1),的一维数组。,特征多项式系数向量的第一个元素必是,1,。,4.,conv,多项式乘运算,例,:a(x)=x,2,+2x+3;b(x)=4x,2,+5x+6;,求：,c(x)=a(x)*b(x),a1 2 3;b=4 5 6;,c=,conv,(a,b,),%,计算两多项式相乘后系数,c=,4 13 28 27 18,p=poly2str(c,x),p=,4 x4+13 x3+28 x2+27 x+18,5.,deconv,多项式除运算,例：,6.,多项式微分,matlab,提供了,polyder,函数求多项式的微分。,命令格式：,polyder(p,):,求,p,的微分,polyder(a,b,):,求,多项式,a,b,乘积的微分,p,q=,polyder(a,b,):,求,多项式,a,b,商的微分,例：,五、函数的极值,1.,固定区间单变量函数的最小值,利用,fminbnd,函数求固定区间单变量函数的最小值。用法：,fun,：,单变量函数的函数名，,x1 x2,为给定的计算区间，,x,fval,为最小值点的位置和最小值。,例：求 在区间,0,，,2,的最小值,f=,inline,(x.3-2*x.2-5,x);,采用内联函数表示测试函数,x=0:0.1:2;plot(x,f(x),x,y=,fminbnd,(f,0,2),x=,1.3333,y=,-6.1852,或：,f=x.3-2*x.2-5,2.,固定区间多变量函数的最小值,利用,fminsearch,函数求,固定区间多变量函数的最小值。用法：,从函数,fun,的给定点开始搜索附近的最小值点,x,，,fval,为最小值点对应的最小值。,例：求 在区间,x=0.3,y=0.7,附近的最小值点。,f=,inline,(p(1).2+p(2).2+7,p);,采用内联函数表示测试函数,minpoint,minval,=,fminsearch,(f,0.3,0.7),minpoint,=,1.0e-004*,-0.1766 -0.1636,minval,=,7.0000,六、代数方程求解,求,非线性方程式的根的步骤：,定义方程式（形式,），,可用,inline,函数定义；,代入适当范围的,x,及其对应,f(x),值，画出方程函数曲线，了解该方程式根的大致位置；,由图中决定,f(x),与,x,轴相交的大致位置,x,0,，,通过,fzero,函数求出在,x,0,附近的根。,例：求方程,f=,inline,(2*exp(x).*sin(2*pi*x)-0.5,x)；,x=0:0.1:2;y=f(x);plot(x,y),r=,fzero,(f,0.5),r=,0.4752,r=,fzero,(f,1),r=,1.0144,r=,fzero,(f,1.5),r=,1.4910,七、数值积分与微分,数值积分基本原理,求解定积分的,数值方法,多种多样，如简单的梯,形法、辛普生,(Simpson),法、牛顿柯特斯,(Newton-,Cotes),法等都是经常采用的方法。,它们的基本思想都是将整个积分区间,a,b分成,n,个子区间,x,i,x,i+1,，,i=1,2,n,，,其中,x,1,=a,，,x,n+1,=b,。,这样求定积分问题就分解为求和问题。,数值积分的实现方法,变步长辛普生法,基于变步长辛普生法，,MATLAB,给出了,quad,函数来求定积分。该函数的调用格式为：,I n=,quad(fname,a,b,),其中,fname,是被积函数名。,a,和,b,分别是定积分的下限和上限。返回参数,I,即定积分值。,n,为被积函数的调用次数。,例：求定积分。,f=,inline,(exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);,%,定义被积函数,s=,quad,(f,0,3*pi),s=,0.9008,n=,77,牛顿柯特斯法,基于牛顿柯特斯法，,MATLAB,给出了,quad8,函数来求定积分。该函数的调用格式为：,I n=quad8(fname,a,b),其中参数的含义和,quad,函数相似，该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于,quad,函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。,例：,分别用,quad,函数和,quad8,函数求定积分的近似,值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用,次数。,f=,inline,(exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);,%,定义被积函数,s,n,=,quad8,(f,0,3*pi),s=,0.9008,n=,33,例：求定积分。,f=,inline,(x.*sin(x)./(1+cos(x).*,cos(x,);,s=,quad8,(f,0,pi),s=,2.4674,n=,33,二重定积分的数值求解,使用,MATLAB,提供的,dblquad,函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：,I=,dblquad(f,a,b,c,d,),该函数求,f(x,y),在,a,bc,d,区域上的二重定积分。,例：,数值法：,z=,inline,(,x.y,x,y),z=,Inline function:,z(x,y)=x.y,s1=,dblquad,(z,0,1,1,2),s1=,0.4055,s1=,dblquad,(z,1,2,0,1),s1=,1.2293,小 结,本节介绍了,matlab,语言的数值运算,功能，通过学习应该掌握：,如何创建矩阵、修改矩阵,符号的用法,矩阵及数组运算,多项式运算,非线性方程求解,