信号与系统教案第3章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,信号与系统,电子教案,第三章 离散系统的时域分析,3.1,LTI,离散系统的响应,一、差分与差分方程,二、差分方程,的经典解,三、,零,输入响应和零状态响应,3.2,单位序列响应和阶跃响应,一、单位序列响应,二、,阶跃响应,3.3,卷积和,一、序列分解与卷积和,二、,卷积的图解,三、不进位乘法,四、卷积和的性质,点击目录 ，进入相关章节,连续时间信号、连续时间系统,连续时间信号,：,f,(,t,),是连续变化的,t,的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都是具有平滑曲线的形状一般也称模拟信号。,连续时间系统：,系统的输入、输出都是连续的时间信号。,模拟信号,抽样信号,量化信号,第三章 离散系统的时域分析,离散时间信号：,时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻有确定的值，在其他时间没有定义。,离散时间系统：,系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字计算机。,离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。,第三章 离散系统的时域分析,离散时间系统的优点,便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性；,容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决于位数；,可靠性好；,存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；,易消除噪声干扰；,数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大大改善了系统的灵活性和通用性；,易处理速率很低的信号。,第三章 离散系统的时域分析,量化,幅值量化,幅值只能分级变化。,采样过程,就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程,得到离散信号。,数字信号：,离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。,第三章 离散系统的时域分析,离散时间系统的困难和缺点,高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由模拟转化为数字要牺牲带宽。,应用前景,由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，被数字（更多是模数混合）系统所代替；,人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。,数字信号处理,技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新境界。,第三章 离散系统的时域分析,混合系统：,连续时间系统与离散时间系统联合应用。如自控系统、数字通信系统。需要,A/D,、,D/A,转换。,不能认为数字技术将取代一切连续时间系统的应用,人类在自然界中遇到的待处理信号相当多的是连续时间信号，需经,A/D,、,D/A,转换。,当频率较高时，直接采用数字集成器件尚有一些困难，有时，用连续时间系统处理或许比较简便。,最佳地协调模拟与数字部件已成为系统设计师的首要职责。,混合系统,第三章 离散系统的时域分析,系统分析,连续时间系统,微分方程描述,离散时间系统,差分方程描述,差分方程的解法与微分方程类似,第三章 离散系统的时域分析,注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。和前几章对照，温故而知新。,学习方法,第三章 离散系统的时域分析,第三章 离散系统的时域分析,3.1,LTI,离散系统的响应,一、差分与差分方程,设有序列,f(k),，则,，,f(k+2),，,f(k+1),，,，,f(k-1),，,f(k-2),等称为,f(k),的,移位序列,。,仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的,差分,运算。,1.,差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：,3.1,LTI,离散系统的响应,（,1,）,一阶前向差分定义,：,f(k)=f(k+1)f(k),（,2,）,一阶后向差分定义,：,f(k)=f(k)f(k 1),式中，,和,称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为,差分,。,（,3,）,差分的线性性质,：,af,1,(k)+bf,2,(k)=a f,1,(k)+b f,2,(k),（,4,）,二阶差分定义,：,2,f(k)=f(k)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1),=f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)=,f(k)2 f(k-1)+f(k-2),（,5,）,m,阶差分,:,m,f(k)=,f(k)+b,1,f(k-1)+,b,m,f(k-m,),因此，可定义：,3.1,LTI,离散系统的响应,2.,差分方程,包含未知序列,y(k),及其各阶差分的方程式称为,差分方程,。将,差分,展开为,移位序列,，得一般形式,y(k)+a,n-1,y(k-1)+a,0,y(k-n)=,b,m,f(k,)+b,0,f(k-m),差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。,例,：若描述某系统的差分方程为,y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k),已知初始条件,y(0)=0,y(1)=2,激励,f(k)=2,k,(k),求,y(k),。,解,：,y(k)=3y(k 1)2y(k 2)+f(k),y(2)=3y(1)2y(0)+f(2)=2,y(3)=3y(2)2y1)+f(3)=10 ,一般不易得到解析形式的,(,闭合,),解。,3.1,LTI,离散系统的响应,二、差分方程的经典解,y(k)+a,n-1,y(k-1)+a,0,y(k-n)=,b,m,f(k,)+b,0,f(k-m),与微分方程经典解类似，,y(k)=,y,h,(k,)+,y,p,(k,),1.,齐次解,y,h,(k,),齐次方程,y(k)+a,n-1,y(k-1)+a,0,y(k-n)=0,其,特征方程,为,1+a,n-1,1,+a,0,n,=0,，,即,n,+a,n-1,n 1,+a,0,=0,其根,i,(i=1,，,2,，,，,n),称为差分方程的,特征根,。,齐次解的形式取决于特征根,。,当特征根,为,单根,时，齐次解,y,n,(k,),形式为：,C,k,当特征根,为,r,重根,时，齐次解,y,n,(k,),形式为：,(C,r-1,k,r-1,+C,r-2,k,r-2,+C,1,k+C,0,),k,3.1,LTI,离散系统的响应,2.,特解,y,p,(k,):,特解的形式与激励的形式雷同,(r1,）,。,（,1,）激励,f(k)=k,m,(m0,）,所有特征根均不等于,1,时,;,y,p,(k,)=,P,m,k,m,+P,1,k+P,0,有,r,重等于,1,的特征根时,;,y,p,(k,)=,k,r,P,m,k,m,+P,1,k+P,0,（,2,）,激励,f(k)=a,k,当,a,不等于特征根时,;,y,p,(k,)=Pa,k,当,a,是,r,重特征根时,;,y,p,(k,)=,（,P,r,k,r,+P,r-1,k,r-1,+P,1,k+P,0,)a,k,（,3,）,激励,f(k)=,cos(k,),或,sin(k),且,所有特征根均不等于,e,j,；,y,p,(k,)=,Pcos(k)+Qsin(k,),例,：,若描述某系统的差分方程为,y(k)+4y(k 1)+4y(k 2)=f(k),已知初始条件,y(0)=0,，,y(1)=1,；,激励,f(k)=2,k,，,k0,。,求方程的全解。,解,：,特征方程为,2,+4+4=0,可解得特征根,1,=,2,=2,，,其齐次解,y,h,(k,)=(C,1,k+C,2,)(2),k,特解为,y,p,(k,)=P(2),k,k0,代入差分方程得,P(2),k,+4P(2),k 1,+4P(2),k2,=f(k)=2,k,，,解得,P=1/4,所以得特解：,y,p,(k,)=2,k2,k0,故全解为,y(k)=,y,h,+y,p,=(C,1,k+C,2,)(2),k,+2,k2,k0,代入初始条件解得,C,1,=1,C,2,=1/4,3.1,LTI,离散系统的响应,3.1,LTI,离散系统的响应,三、零输入响应和零状态响应,y(k)=,y,zi,(k,)+,y,zs,(k,),也可以,分别,用经典法求解。,y(j)=,y,zi,(j,)+,y,zs,(j,),j=0,1,2,n 1,设,激励,f(k),在,k=0,时接入系统,，,通常以,y(1),y(2),，,y(n),描述系统的,初始状态,。,y,zs,(1)=,y,zs,(2)=,y,zs,(n)=0,所以,y(1)=,y,zi,(1),y(2)=,y,zi,(2),，,y(n)=,y,zi,(n),然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的,初始值,y,zi,(j,),和,y,zs,(j,)(j=0,1,2,，,n 1),3.1,LTI,离散系统的响应,例,：若描述某离散系统的差分方程为,y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k),已知激励,f(k)=2,k,k0,，,初始状态,y(1)=0,y(2)=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解,：（,1,）,y,zi,(k,),满足方程,y,zi,(k,)+3y,zi,(k 1)+2y,zi,(k 2)=0,其初始状态,y,zi,(1)=y(1)=0,y,zi,(2)=y(2)=1/2,首先递推求出初始值,y,zi,(0),y,zi,(1),y,zi,(k,)=3y,zi,(k 1)2y,zi,(k 2),y,zi,(0)=3y,zi,(1)2y,zi,(2)=1 ,y,zi,(1)=3y,zi,(0)2y,zi,(1)=3,方程的特征根为,1,1,，,2,=2,，,其解为,y,zi,(k,)=C,zi1,(1),k,+C,zi2,(2),k,将初始值代入 并解得,C,zi1,=1,C,zi2,=2,所以,y,zi,(k,)=(1),k,2(2),k,k0,3.1,LTI,离散系统的响应,y,zs,(k,)+3y,zs,(k 1)+2y,zs,(k 2)=f(k),初始状态,y,zs,(1)=,y,zs,(2)=0,递推求初始值,y,zs,(0),y,zs,(1),，,y,zs,(k,)=3y,zs,(k 1)2y,zs,(k 2)+2,k,k0,y,zs,(0)=3y,zs,(1)2y,zs,(2)+1=1,y,zs,(1)=3yzs,(0)2y,zs,(1)+2=1,分别求出齐次解和特解,，得,y,zs,(k,)=C,zs1,(1),k,+C,zs2,(2),k,+,y,p,(k,),=C,zs1,(1),k,+C,zs2,(2),k,+(1/3)2,k,代入初始值,求得,C,zs1,=1/3 ,C,zs2,=1,所以,y,zs,(k,)=(1),k,/3+(2),k,+(1/3)2,k,k0,（,2,）,零状态响应,y,zs,(k,),满足,3.2,单位序列响应和阶跃响应,3.2,单位序列响应和阶跃响应,一、单位序列响应,由单位序列,(k),所引起的,零状态响应,称为,单位序列响应,或,单位样值响应,或,单位取样响应,，或简称,单位响应,，记为,h(k),。,h(k)=T0,(k),例,1,已知某系统的差分方程为,y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k),求单位序列响应,h(k),。,解,根据,h(k),的定义 有,h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k),（,1,）,h(1)=h(2)=0,（,1,）,递推求初始值,h(0),和,h(1),。,3.2,单位序列响应和阶跃响应,h(k)=h(k 1)+2h(k 2)+(k),h(0)=h(1)+2h(2)+(0)=1,h(1)=h(0)+2h(1)+(1)=1,(2),求,h(k),。,对于,k 0,，,h(k),满足齐次方程,h(k)h(k 1)2h(k 2)=0,其特征方程为,(+1)(2)=0,所以,h(k)=C,1,(1),k,+C,2,(2),k,，,k0,h(0)=C,1,+C,2,=1,h(1)=C,1,+2C,2,=1,解得,C,1,=1/3 ,C,2,=2/3,h(k)=(1/3)(1),k,+(2/3)(2),k,k0,或写为,h(k)=(1/3)(1),k,+(2/3)(2),k,(k),方程（,1,）移项写为,3.2,单位序列响应和阶跃响应,例,2,：若方程为：,y(k)y(k 1)2y(k 2)=f(k)f(k 2),求单位序列响应,h(k),解,h(k),满足,h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)k 2),令只有,(k),作用时，系统的单位序列响应,h,1,(k),它满足,h,1,(k)h,1,(k 1)2h,1,(k 2)=(k),根据线性时不变性，,h(k)=h,1,(k)h,1,(k 2)=(1/3)(1),k,+(2/3)(2),k,(k)(1/3)(1),k 2,+(2/3)(2),k2,(k 2),3.2,单位序列响应和阶跃响应,二、阶跃响应,g(k)=T,(k),0,由于,，,(k)=(k)(k 1)=,(k),所以,，h,(k)=,g,(k),(k,2,k,1,),两个常用的求和公式：,3.3,卷积和,3.3,卷积和,一、卷积和,1,.,序列的时域分解,任意离散序列,f(k),可表示为,f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2),+f(,i,)(k,i,)+,3.3,卷积和,2,.,任意,序列作用下的零状态响应,y,zs,(,k,),f,(,k,),根据,h(k),的定义：,(,k,),h,(,k,),由时,不变性：,(,k,-,i,),h,(,k,-,i,),f,(,i,)(,k,-,i,),由,齐次性：,f,(,i,),h,(,k,-,i,),由,叠加性：,f,(,k,),y,zs,(,k,),卷积和,3.3,卷积和,3,.,卷积和的定义,已知定义在区间（,，,）上的两个函数,f,1,(k),和,f,2,(k),，,则定义和,为,f,1,(k),与,f,2,(k),的,卷积和,，简称,卷积,；记为,f(k)=f,1,(k)*f,2,(k),注意,：求和是在虚设的变量,i,下进行的，,i,为,求和变量，,k,为参变量。结果仍为,k,的函数。,3.3,卷积和,例,：,f,(,k,)=a,k,(,k,),h,(,k,)=b,k,(,k,),，,求,y,zs,(,k,),。,解,：,y,zs,(,k,)=,f,(,k,)*,h,(,k,),当,i,k,时，,(k-,i,)=0,(,k,)*,(,k,)=(k+1),(,k,),3.3,卷积和,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为,四步,：,（,1,）,换元k,换为,i,得,f,1,(,i,),，,f,2,(,i,),（,2,）,反转平移,：由,f,2,(,i,),反转,f,2,(,i,),右移,k f,2,(k,i,),（,3,）,乘积,：,f,1,(,i,)f,2,(k,i,),（,4,）,求和,：,i,从,到,对乘积项求和,。,注意：,k,为参变量。,下面举例说明。,3.3,卷积和,例,：,f,1,(k),、,f,2,(k),如图所示，已知,f(k)=f,1,(k)*f,2,(k),，求,f(2)=,？,解,：,（,1,）换元,（,2,）,f,2,(,i,),反转得,f,2,(,i,),（,3,）,f,2,(,i,),右移,2,得,f2,(2,i,),（,4,）,f,1,(,i,),乘,f,2,(2,i,),（,5,）求和，得,f(2)=4.5,f,2,(,i,),f,2,(2,i,),3.3,卷积和,三、不进位乘法求卷积,f(k)=,所有两序列序号之和为,k,的那些样本乘积之和。,如,k=2,时,f(2)=+f,1,(-1)f,2,(3)+f,1,(0)f,2,(2)+f,1,(1)f,2,(1)+f,1,(2)f,2,(0)+,例,f,1,(k)=0,，,f,1,(1),，,f,1,(2),，,f,1,(3),，,0,f,2,(k)=0,，,f,2,(0),，,f,2,(1),，,0,=+f,1,(-1)f,2,(k1)+f,1,(0)f,2,(k)+f,1,(1)f,2,(k-1)+f,1,(2)f,2,(k-2),+f,1,(,i,)f,2,(k,i,)+,3.3,卷积和,f,1,(1),，,f,1,(2),，,f,1,(3),f,2,(0),，,f,2,(1),f,1,(1)f,2,(0)，f,1,(2)f,2,(0)，f,1,(3)f,2,(0),f,1,(1)f,2,(1)，f,1,(2)f,2,(1)，f,1,(3)f,2,(1),+,f,1,(3)f,2,(1),f,1,(2)f,2,(1)+f,1,(3)f,2,(0),f,1,(1)f,2,(1)+f,1,(2)f,2,(0),f,1,1)f,2,(0),f(k)=0，f,1,(1)f,2,(0)，f,1,(1)f,2,(1)+f,1,(2)f,2,(0),f,1,(2)f,2,(1)+f,1,(3)f,2,(0)，f,1,(3)f,2,(1)，0,排成,乘法,3.3,卷积和,例,f,1,(k)=0,，,2,，,1,，,5,，,0,k=1,f,2,(k)=0,，,3,，,4,，,0,，,6,，,0,k=0,3，4，0，6,2，1，5,解,15，20，0，30,3，4，0，6,6，8，0，12,+,6，11，19，32，6，30,求,f(k)=f,1,(k)*f,2,(k),f(k)=,0，6，11，19，32，6，30,k1,教材上还提出一种列表法，本质是一样的。,3.3,卷积和,四、卷积和的性质,1.,满足乘法的三律,：,(1),交换律,(2),分配律,(3),结合律,.,2.f(k)*(k)=f(k)，f(k)*(k k,0,)=f(k k,0,),3.f(k)*(k)=,4.f,1,(k k,1,)*f,2,(k k,2,)=f,1,(k k,1,k,2,)*f,2,(k),5.,f,1,(k)*f,2,(k)=,f,1,(k)*f,2,(k)=f,1,(k)*,f,2,(k),求卷积和是本章的重点。,3.3,卷积和,例,1,如图复合系统由三个子系统组成，其中,h,1,(k)=(k),，,h,2,(k)k 5),，,求复合系统的单位序列响应,h,(k),。,解,根据,h(k),的,定义，有,h(k)=(k)*h,1,(k)(k)*h,2,(k)*h,1,(k),=h,1,(k)h,2,(k)*h,1,(k),=h,1,(k)*h,1,(k)h,2,(k)*h,1,(k),=(k)*(k)(k 5)*(k),=(k+1)(k)(k+1 5)(k 5),=(k+1)(k)(k 4)(k 5),3.3,卷积和,例,2,如图复合系统由两个子系统级联组成，其中,h,1,(k)=2cos(k),，,h,2,(k)=,a,k,(k,),，,激励,f(k)=(k)a(k-1),，,求复合系统的零状态响应响应,y,zs,(k),。,解,y,zs,(k)=f(k)*h,1,(k)*h,2,(k),=2cos(k)*,a,k,(k,)*(k)a(k-1),=2cos(k)*,a,k,(k,)-,a,k,(k,-1),=2cos(k)*(k),=2cos(k),