3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示.ppt

3.1.4,空间向量的正交分,解及其坐标表示,共线向量定理,:,复习：,共面向量定理,:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,x,y,o,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,空间向量基本定理：,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组,x,，,y,，,z,，使,都叫做,基向量,（,1,）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,特别提示：,对于基底,a,b,c,除了应知道,a,b,c,不共面，,还应明确：,（,2,）,由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。,（,3,）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。,一、空间直角坐标系,单位正交基底：,如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为,1,，则这个基底叫做,单位正交基底,常用,e,1,e,2,e,3,表示,空间直角坐标系：,在空间选定一点,O,和一个单位正交基底,e,1,e,2,e,3,以点,O,为原点，分别以,e,1,e,2,e,3,的正方向建立三条数轴：,x,轴、,y,轴、,z,轴，它们都叫做坐标轴,.,这样就建立了一个空间直角坐标系,O-xyz,点,O,叫做原点，向量,e,1,e,2,e,3,都叫做,坐标向量,.,通过每两个坐标轴的平面叫做,坐标平面,。,给定一个空间坐标系和向量,且设,e,1,e,2,e,3,为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组,(x,y,z),使,p=xe,1,+ye,2,+ze,3,有序数组,(x,y,z),叫做,p,在空间直角坐标系,O-xyz,中的坐标，记作,.P=(x,y,z),二、空间向量的直角坐标系,x,y,z,O,e,1,e,2,e,3,在空间直角坐标系,O-xyz,中，对空间任一点，,A,对应一个向量,OA,，于是存在唯一的有序实数组,x,y,z,，使,OA=xe,1,+ye,2,+ze,3,在单位正交基底,e,1,e,2,e,3,中与向量,OA,对应的有序实数组,(x,y,z),，叫做点,A,在此空间直角坐标系中的坐标，记作,A(x,y,z),，其中,x,叫做点,A,的横坐标，,y,叫做点,A,的纵坐标，,z,叫做点,A,的竖坐标,.,x,y,z,O,A(x,y,z),e,1,e,2,e,3,1,向量 的坐标就是点,A,的坐标,2,向量坐标等于终点的坐标减去起点的坐标,.,F,E,C,1,B,1,A,1,D,1,D,A,B,C,F,E,C,1,B,1,A,1,D,1,D,A,B,C,1,、建系（,利用,三条交于一点两两垂直的直线）,2,、写（或设）出与向量有关的点的坐标,3,、利用,终点的坐标减去起点的坐标,得到有关向量的坐标,F,E,C,1,B,1,A,1,D,1,D,A,B,CX,轴上的点：,(x,0,0),y,轴上的点：,(0,y,0),z,轴上的点：,(0,0,z),xoy,平面的点：,(x,y,0),yoz,平面的点,:,(0,y,z),xoz,平面的点:,(x,0,z),练习：,1、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为,.,2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为,，关于原点的对称点为,，关于,X,轴的对称点为,关于,Y,轴的对称点,关于,Z,轴的对称点,关于谁对称谁不变，其余变相反,例题,已知空间四边形,OABC,，其对角线为,OB,，,AC,，,M,，,N,，分别是对边,OA,，,BC,的中点，点,P,，,Q,是线段,MN,三等分点，用基向量,OA,，,OB,，,OC,表示向量,OP,OQ.,B,O,A,C,P,N,M,Q,空间向量模的坐标运算公式,在空间直角坐标系中，已知、,，则,空间两点间的距离公式,两个向量夹角计算公式,例,1,如图，在正方体中，,，求与所成的角的余弦值。,解：设正方体的棱长为,1,，如图建,立空间直角坐标系，则,例,1,如图，在正方体中，,，求与所成的角的余弦值。,变式练习,C,1,B,1,A,1,D,1,D,A,B,C,Q,P,如图，在正方体 中，点,Q,是,AD,的中点，点,P,是,B,1,C,1,的中点,求,A,1,P,与,D,1,Q,所成角的余弦值。,这是本题最后答案吗？,如果不是，答案应是多少？,(0,0,2),1/5,注意：,向量坐标法解决立几问题步骤,1,、建系（利用三条交于一点两两垂直的直线）,2,、写（或设）出与向量有关的点的坐标,3,、利用,终点的坐标减去起点的坐标,得到有关向量的坐标,4,、利用向量坐标运算解决相关问题。,F,E,C,1,B,1,A,1,D,1,D,A,B,C,Y,X,Z,A,B,C,D,E,F,变式练习,:,在正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别是,BB,1,、,CD,的中点 ，求证：,D,1,F,平面,ADE,