柱的纵向受力变形分析.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2010/9/19,#,短柱,承受轴向力之变形,短柱（即,L/d,较小时）承受轴向外力或负载时，仅仅会表现出压缩的变形，如下图，横截面面积为,A,的短柱此时的压缩应力很容易得到。,f=P/A,P,短柱,承受偏心外力的变形,当短柱受到偏心距离,e,的外力或负载作用时，不仅有压缩的变形，还会弯曲。这是在分析应力是就应该是两者之和。,剖面等值分布应力为,f0=P/A,剖面弯曲应力,fb=P*e*y/I,则距离,y,y1,y2,各层的合成应力分别为,f=f0+fb;f1=P/A+P*e*y1/I=f0(1+e*y1/k2),f2=f0(1-e*y2/k2),上几式中,I=k2A,其中,I,为剖面二次矩，,k,为回转半径,e,y,y1,y2,P,长柱的稳定性概念、临界压力,在工程中，构件除了因为强度或刚度不够而发生断裂、变形过大而无法正常工作时，还存在另外一种破坏形式，即构件丧失稳定性而失去承载能力。例如一条长钢锯，横截面为,10mm2,钢的许用应力为,300MPa,，则此钢锯能承受的轴向压力为,3KN,。但在轴向压力不到,30N,时，锯条就会被明显压弯而无法正常工作。,由此可见，长柱即细长压杆的承载能力并不取决于轴向抗压强度，而取决于长柱受压时是否能保持直线形态的平衡。若将外加压力考虑成与轴线重合的理想长柱力学模型，则将长柱由直线稳定平衡转化为不平衡时所受到的轴向压力的极限值称为,临界压力,。,长柱的临界压力分析,现在以两端圆端的长柱为例来推导临界压力的计算公式。,x,方向的弯矩方程为,M=-Pw(w,为挠度，符号与,M,相反,),当为小变形时，根据挠曲线的近似微分方程,记,i2=P/EI,则有,后一个微分方程通解为：,w=Asinix+Bcosix,根据长柱边界条件：,x=0,和,x=L,时，,w=0,可得,B=0,Asanix=0,即,iL=n,，,i,=n/,L,得到,P=n22EI/L2,当,n=1,时，得到最小的压力即临界压力,P=2EI/L2,，即此类长柱的,欧拉公式,。,其中,I为横截面最小的二次矩。,P,x,L,w,其它端点条件长柱的临界压力,对于端点束缚为其它条件的长柱临界压力除了可以采用之前挠曲线微分方程来推导以为，大部分还可以采用,类比,的方法来得到。例如一端固定，一端自由的长柱,(a),，其挠曲线形状和长度为,2L,两端圆端的长柱,(b),上,半段,AC,相同则根据前面的推理,(a),所示长为,L,长柱的临界压力和,(b),所示长为,2L,的长柱临界压力,相同，将,2L,带入其欧拉公式得到：,P=2EI/4L2,L,2L,A,C,A,C,B,(a),(b),长柱临界压力公式的统一形式,由以上的推理和类比法,可知虽然长柱的两端的约束条件各不相同,但是其欧拉公式是基本相同的,差别只是在一个常系数上,于是得到长柱临界压力公式的统一形式,:,P=n*2EI/L2,其中,n,便是不同束缚条件下的常系数，其值可以用挠曲线微分方程推理或者查表得到。,长柱的临界应力公式,将临界压力,P,除以长柱的横截面面积,A,求得的应力，称为长柱的临界压力：,=n*2EI/A*L2,将,I=k2*A,带入，并记,2=n(k/L)2,则得到,=(,)2*E,其中,为一无量纲参数，称为长柱的柔度或,c,长细比，反映了长柱长度、约束条件、截面形状和尺寸对临界应力的影响。,因注意的是欧拉公式只有在临界压力不超过材料的比例极限时才是正确的。,提高长柱稳定性的措施,1.,选择合理的截面从欧拉公式看，截面的二次矩,I,越大，即回转半径,k,越大，临界压力,P,就越大。即增加截面面积，或者在截面面积不变的情况下仅可能把材料放在离截面形心较远的地方，可以提高其稳定性。例如在截面面积不变的情况下，空心环形截面就比实心圆型截面更加合理。当然也不能一味增加其环形截面而并减小其壁厚，这有可能将造成局部失稳。,提高长柱稳定性的措施,2.,改变长柱的约束条件和合理选择长柱,从欧拉公式看，长柱的支座和约束条件可以影响其系数,n,的大小，当合理选择约束条件使,n,较大时，稳定性明显提高，比如两端固定的长柱的临界压力就比两端圆端的长柱提高了,4,倍。,3.,合理选择材料,由公式可知，在材料弹性模量,E,较大时，长柱的稳定性明显提高。但对于各种钢材其,E,值大致相等，所以对于受到轴向外力的长柱，选择优质钢材和低碳钢差别不大。,