材料力学-03.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 扭 转,31 扭转的概念和实例,32 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,33 纯剪切,34 圆轴扭转时的应力,35 圆轴扭转时的变形,3,6,非圆截面杆扭转的概念,目录,汽车方向盘,目录,一、工程实例,3,-1,扭转的概念和实例,对称扳手拧紧镙帽,传动轴,汽车传动轴,构件特征,：等圆截面直杆,圆轴,。,受力特征,：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。,变形特征,：纵向线倾斜一个角度,，称为,剪切角,(,或,称剪应变,),；两个横截面之间绕杆轴线发生相对,转动,，称为,扭转角,。,二、扭转的概念,直接计算3,-2,、外力偶矩 扭矩和扭矩图,1.,外力偶矩,3-2,目录,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知,轴转速,n,转,/,分钟,输出功率,P,千瓦,求：力偶矩,M,e,目录,3 扭矩的符号规定：,“,T,”,的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。,二、扭矩及扭矩图,1 扭矩：,构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“,T,”。,2,截面法求扭矩,m,m,m,T,x,目录,3-2,目录,扭 矩 的 符 号 规 定,4 扭矩,图,：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,扭矩变化规律；,|,T,|,max,值及其截面位置 强度计算（危险截面x,T,目录,已知圆轴受外力偶矩作,用，匀速转动。则,用截面法求内力：,1,1,扭矩,：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为,T,。,扭矩符号,：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面,外法线的指向一致，为正；反之为负。,n,n,（,+,）,n,n,（,-,）,截面,2-2,上的内力：,（,+,）,扭矩图,：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。,（,-,）,扭矩图,扭转,例1,已知：一传动轴，,n,=300r/min，,主动轮输入,P,1,=500kW，,从动轮输出,P,2,=150kW，,P,3,=150kW，,P,4,=200kW，,试绘制扭矩图。,n,A B C D,m,2,m,3,m,1m,4,解：计算外力偶矩,目录,扭转,n,A B C D,m,2,m,3,m,1,m,4,1,1,2,2,3,3,求扭矩（扭矩按正方向设）,目录,绘制扭矩图,BC,段为危险截面。,x,T,n,A B C D,m,2,m,3,m,1,m,4,4.78,9.56,6.37,目录,例,图示传动轴上，经由,A,轮输入功率,10KW,，经,由,B,、,C,、,D,轮输出功率分别为,2,、,3,、,5KW,。轴的转速,n=300r/min,，求作该轴的扭矩图。如将,A,、,D,轮的位置,更换放置是否合理？,A,C,B,D,A,C,B,D,经由,A,、,B,、,C,、,D,轮传递的外力偶矩分别为,解：,II,II,II,III,III,I,I,II,II,III,III,绘出扭矩图：,A,C,B,D,（,-,）,扭矩,T-,图,（,+,）,（在,CA,段和,AD,段）,将,A,、,D,轮的位置更换，则,A,C,B,D,扭矩,T-,图,（,-,）,（,AD,段）,因此将,A,、,D,轮的位置更换不合理。,3.3,纯剪切,纯剪切,若单元体各个面上只承受剪应力而没有正应力。,单元体,是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小的正立方体，以,表示几何上的一点,。,薄壁圆筒：,壁厚,（,r,0,：,为平均半径）,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线；,施加一对外力偶,m,。,目录,扭转,2.实验后圆周线不变；,纵向线变成斜直线。,3.结论：,圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改,变，只是绕轴线作了相对转动。,各纵向线均倾斜了同一微小角度,。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,目录,扭转,a,c,d,d,x,b,d,y,无正应力,横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力,，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,微小矩形单元体如图所示：,目录,扭转,一、薄壁圆筒剪应力,大小：,A,0,：,平均半径所作圆的面积。,目录,T,薄壁圆筒横截面,上的剪应力分布,薄壁圆筒纵截面上的剪应力,二、剪应力互等定理,M,ez,=0,(,d,dy,),dx,=(,d,dx),dy,=,剪应力互等定理：在相互,垂直,的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则同时,指向,或同时,背离,这一交线。,剪切虎克定律,A,C,D,B,其中,G,是材料的剪切弹性模量。,且,实验证明,：当剪应力不超过,材料的比例极限 时，剪,应力 与剪应变 成正比。,即,单位：,Mpa,、,Gpa,.,剪切虎克定律,A,B,C,D,dx,dy,剪切应变能,外力,位移,不计能量损耗，外力功转换为单元体内所积蓄的变形能，即,因此单元体的,剪切应变能密度,为,3.4,圆轴扭转时的应力,T,T,实验观察 假设 理论分析,研究方法：,1,、实验观察,横截面上的,应力分布,观察到的变形现象,A,B,C,D,（,1,）,横截面上存在剪应力,（,2,）圆周线大小、形状、间距保持不变，绕轴线产生相对转动。,横截面上不存在正应力,（,3,）圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。,假设,刚性平面截面假设，,即圆轴横截面象刚性圆盘一样绕轴线作相对转动,。,A,B,C,D,R,d,1.,几何关系：,dx,=,Rd,j,2.,物理关系,：,3.,静力关系,：,剪应力分布：,最大剪应力：,抗扭截面系数：,强度条件：,圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,(,称为许用剪应力。),强度计算三方面：,校核强度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,目录,圆轴：,空心圆轴：,圆轴：,空心圆轴：,薄壁杆：,薄壁杆,：,例：,无缝钢管的汽车传动轴，外径,D,90mm,，壁厚,t=2.5mm,，,最大扭矩,T=1.5kNm,。,材料的,=60MPa,，,试校核扭转强度。若用实心轴，强度要与空心轴相同，试确定直径,D,1,，,并比较二者重量。,解：,d/D=85/90=0.944,W,t,=D,3,(1,-,4,)/16=29400mm,3,max,=T/W,t,=51MPab,时，,=1/3,h,b,h,t,1,T,t,max,注意！,b,例,一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：,h,=100 mm，,b,=50mm,，,长度,L,=2m,，,杆的两端受扭转力偶,T,=4000Nm,的作用，钢的,G,=80GPa,，,=,100M Pa,，,=,1/m,，,试校核 此杆的强度和刚度。,解：,查表求,、,校核强度,目录,校核刚度,综上,此杆满足强度和刚度要求。,目录,1,、圆轴扭转的受力特点及变形特点；,2,、学会计算外力偶矩和扭矩、会画扭矩图；,3,、圆轴扭转时横截面上的应力分布规律和计算公式，扭转变形强度条件；,4,、扭转剪应力计算公式的适用条件；,5,、纯剪切的概念；,6,、圆轴扭转变形的变形量和扭转刚度条件；,7,、矩形截面杆扭转的特点；,本章重点,本章小结,一、,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,N(kW,),：,符号规则：,右手螺旋法则,与外法线同向“,+”,与外法线反向“”,二、,内力偶矩：扭矩,T,三、纯剪切,薄壁圆筒扭转时的剪应力,剪应力互等定理,t =t,剪切胡克定律,t,=,G,剪应力分布,：,抗扭截面系数：,最大剪应力：,强度条件：,四、圆轴扭转时的应力,五、圆轴扭转时的变形,1),两截面间的相对扭转角：,T,、,G,、,I,p,沿长度方向变化情况：,为常数：,分段常数：,为变量：,2),单位长度扭转角：,3),刚度条件：,1,、若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的,倍。,答案,刚度是原来的,16,倍,答疑,实心圆轴的单位长度扭转角,M/GIP180/,32M/Gd4180/,，若将直径增若将直径增大一倍，,M/GIP180/=32M/G(2d)4180/,/16,2,、图示圆截面轴的直径为,d,，,C,截面相对于,A,截面的扭转角为：,，整个圆轴的最大扭转剪应力为：,。,答案,C,截面相对于,A,截面的扭转角为,0,；整个轴内的最大剪应力为,max,=16M/d,3,.,答疑,由于,AB,、,BC,段的内力大小相等、符号相反，杆长相同,固,C,截面相对于,A,截面的扭转角为,=ML/GIP=Ma/GIP-Ma/GIP=0,；轴内的最大剪应力,max,=M/Wt=16M/d3,3,、直径为,25,毫米的圆钢杆，受轴向拉力,60KN,的作用，在标距为,20,厘米的长度内伸长了,0.122,毫米；受扭矩200Nm,的作用，相距,15,厘米的两横截面相对扭转了,0.55,度，则此钢材的弹性模量,E,，剪变模量,G,泊松比为,。,答案,E=200.48GPa,；,G=81.57GPa,；,=0.2288,答疑,在标距为,20,厘米的长度内伸长了,0.122,毫米,根据拉伸变形的虎克定律,L=NL/EA,有,0.122=6010002010/(Ed2/4),得到：,E=200.48GPa,；相距,15,厘米的两横截面相对扭转了,0.55,度,根据扭转变形的两截面间的相对转角,=ML/GIP,有：,0.55=2000.15/GIP180/,，得到：,G=81.57GPa,；各向同向材料之间满足,GE/2(1+,),，固泊松比,=0.2288,4,、图示中的轴,1,与套筒,2,牢固第结合在一起，两者的剪变模量为,G,1,、,G,2,，两端承受扭转力偶矩,M,，为使轴与套筒承受的扭矩相同，则必须满足的条件是,。,答案,抗扭刚度相等即,G,1,I,P1,=G,2,I,P2,答疑,轴与套筒的扭转角相同,1,=,2,而,1,=M,1,L/G,1,I,P1,、,2,=M,2,L/G,2,I,P2,所以有：,M,1,L/G,1,I,P1,M,2,L/G,2,I,P2,。固保证承担的扭矩相同必须有相同的抗扭刚度即,G,1,I,P1,=G,2,I,P2,5,、轴的半径为,R,，长为,L,，剪变模量,G受扭后圆轴表面的纵向线倾角为,则在线弹性小变形范围内,max,和单位长度扭转角,分别为：,A,：,max,=,G,=/L B:,max,=,G,=/R,C,：,max,=,GL,/R =/L D,：,max,=,GL,/R =/R,答案,正确选择：,B,答疑,受扭后圆轴表面的纵向线倾角,即为圆轴在边缘上点的角应变，所以圆轴的最大剪应力为,max,=,G,；而圆轴的右侧截面相对于左侧截面的相对转角为,=,L,/R,单位长度扭转角,=/L=/R,。,6,、材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，在相同扭矩的作用下，它们的最大剪应力之间和扭转角之间的关系是,。,A,：最大剪应力相等，扭转角相等；,B,：最大剪应力相等，扭转角不等；,C,：最大剪应力不等，扭转角相等；,D,：最大剪应力不等，扭转角不等。,答案,正确选择：,B,答疑,剪应力只与内力和横截面的尺寸有关，与材料无关，固二者的最大剪应力相等；扭转角与材料有关，固在相同扭矩的作用下、尺寸相同但材料不同的构件的扭转角不同。,