第五章试验设计方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,第五章试验设计方法,5.1,概述,在工业生产和科学研究的实践中，所需要考察的因素往往很多，而且因素的水平数也常常多于,2,个，若对每个因素的每个水平都相互搭配进行全面实验，试验次数是惊人的，如：,对于,3,因素,4,水平的试验，若在每个因素的每个水平搭配上只作一次试验，就要做,次试验。,2,对于,4,因素,4,水平的试验，全面实验次数至少为 次，对于,5,因素,4,水平的全面实验次数至少为 次。可见，因素的增加，试验次数增加很快。用正交试验，可以大大减少，而且统计分析的计算也将变得简单。,正交试验设计简称正交设计，它是利用正交表科学地安排与分析多因素试验的方法，是最常用的试验设计方法之一。,3,1,、试验设计方法常用的术语：,试验指标：,作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如收率、纯度等），见下图。,因素：作为试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些原因。,如图所列的成分、温度等。常用,C,，,T,等符号表示。,4,水平：,试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。,举例,5,5.2,正交试验设计方法简介,正交试验设计方法的优点和特点：,用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。我国,60,年代开始使用，,70,年代得到推行。,6,此方法的特点：,完成试验要求所需的实验次数少。,数据上的分布很均匀；,可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。,7,例,5-1,某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表,5-1,）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件。,对此实例该如何进行试验方案的设计呢？,8很容易想到的是全面搭配法方案：,9,很容易想到的是全面搭配法方案：,10,此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达,次（指数,3,代表,3,个因素，底数,3,代表每因素有,3,个水平）。因素、水平数愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个,6,因素,3,水平的试验，就需 次实验，显然难以做到。因此需要寻找一种合适的试验设计方法。,11,常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计法等。可供选择的试验方法很多，各种试验设计方法都有其一定的特点。所面对的任务与要解决的问题不同，选择的试验设计方法也应有所不同。,12,5,3,正交试验设计方法的优点和特点,用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。其特点为：,完成试验要求所需的实验次数少。,数据点的分布很均匀。,可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。,13,f总n-1=27-1=26,混合水平正交试验设计:,17相差不多，也可取A1B1C3结果为7.,数据点的分布很均匀。,F（f因，fE）（通常叫临界值）,若各因素全是2水平，就选用L(2)表；,如果上述的因素T的数值和水平发生变化时，试验指标随因素p变化的规律也发生变化，或反过来，因素p的数值和水平发生变化时，试验指标随因素T变化的规律也发生变化。,10 混合水平的正交试验设计,S（AB）S（AB）1+S（AB）2,10 混合水平的正交试验设计,从例,1,可看出，采用全面搭配法方案，需做,27,次实验。那么采用简单比较法方案又如何呢？,先固定,T1,和,p1,，只改变,m,，观察因素,m,不同水平的影响，做了三次实验，发现,m,m2,时的实验效果最好，合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素,m,应取,m2,水平。,固定,T1,和,m2,，改变,p,的三次实验，发现,p,p,时的实验效果最好，因此认为因素,p,应取,p,水平。,固定,p,和,m2,，改变,T,的三次实验，发现因素,T,宜取,T2,水平。,14,因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为,T2p,m2,。与全面搭配法方案相比，简单比较法方案的优点是实验的次数少，只需做,9,次实验。但必须指出，简单比较法方案的试验结果是不可靠的。,运用正交试验设计方法，不仅兼有上述两个方案的优点，而且实验次数少，数据点分布均匀，结论的可靠性较好。,15,正交试验设计方法：,正交试验设计方法是用正交表来安排试验的。对于例,1,适用的正交表是,L9,（,3,4,），其试验安排见表,5-2,。,16,17,所有的正交表与,L9,（,3,4,）正交表一样，都具有以下两个特点：,（,1,）在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同。在表L9,（,3,4,）中，每一列有三个水平，水平,1,、,2,、,3,都是各出现,3,次。,18,（,2,）表中任意两列并列在一起形成若干个数字对，不同数字对出现的次数也都相同。,在表,L9,（,3,4,）中，任意两列并列在一起形成的数字对共有,9,个：（,1,1,），（,1,2,），（,1,3,），（,2,1,），（,2,2,），（,2,3,），（,3,1,），（,3,2,），（,3,3,），每一个数字对各出现一次。,19,这两个特点称为,正交性,。正是由于正交表具有上述特点，就保证了用正交表安排的试验方案中因素水平是均衡搭配的，数据点的分布是均匀的。因素、水平数愈多，运用正交试验设计方法，愈发能显示出它的优越性，如上述提到的,6,因素,3,水平试验，用全面搭配方案需,729,次，若用正交表,L27,（,3,13,）来安排，则只需做,27,次试验。,20,在化工生产中，因素之间常有交互作用。如果上述的因素,T,的数值和水平发生变化时，试验指标随因素,p,变化的规律也发生变化，或反过来，因素,p,的数值和水平发生变化时，试验指标随因素,T,变化的规律也发生变化。这种情况称为因素,T,、,p,间有交互作用，记为,T,P,。,21,5.4,正交表,使用正交设计方法进行试验方案的设计，就必须用到正交表,.,各列水平数均相同的正交表,各列水平数均相同的正交表，也称单一水平正交表。这类正交表名称的写法举例如下：,22,什么是正交表？,正交表本身只是数学的含义,【,整齐可比性,】,：每一列中所有数字出现的次数是相等的。,【,均衡分散性,】,：任意两列间横向组合的数字对搭配次数也是相等的。,正交表是运用组合数学理论构造的一种规格化的表格。,23,关于正交的直观印象,数据点分布是均匀的；,每一个面都有,3,个点；,每一条线都有,1,个点；,24,正交表的记号及含义,正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。我们只介绍它的记号、特点和使用方法。,25,记号及含义,正交表的列数,（最多能安排的因素个数，,包括交互作用、误差等）,正交表的行数,（需要做的试验次数）,各因素的水平数,（,各因素的水平数相等）,q,正交表的代号,26,如,表示,？,表示各因素的水平数为,2,，,做,8,次试验，最多考虑,7,个,因素（含交互作用）的,正,交表,。,27,正交表的特点,1,、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；,表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀,分布的（每个因素的各水平出现的次数相同）,整齐可比性,2,、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数,对时，所有可能的数对出现的次数相同。,表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现,的次数相等,均衡分散性,这是设计正交试验表的基本准则,28,正交试验设计的基本步骤,确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；,2.,选用合适的正交表；,3.,按选定的正交表设计表头，确定试验方案；,4.,组织实施试验；,5.,试验结果分析。,29,一个例子,某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件,水平,因素,温度,压力,MPa,加碱量,kg,符号,T,p,m,1,2,3,T1(80),T2(100),T3(120),P1(5.0),P2(6.0),P3(7.0),M1(2.0),M2(2.5),M3(3.0),30,如何安排试验？,全组合方法,T1,T2,T3,P1,P2,P3,m1,m1,m1,27,组,31,如何安排试验？,正交试验设计用正交表,L,9,（,3,4,）,序号,列号,1,2,3,4,A,B,C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,1,1,2,2,2,3,3,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,2,3,1,3,1,2,1,2,3,3,1,2,2,3,1,32,正交表本身只是数学的含义,【,整齐可比性,】,：每一列中所有数字出现的次数是相等的,【,均衡分散性,】,：任意两列间横向组合的数字对搭配次数也是相等的,正交表是运用组合数学理论构造的一种规格化的表格,33,三因素三水平，选用正交表,L,9,（,3,4,）,T1,T2,T3,P1,P2,P3,m1,m1,m1,？,？34,用正交表安排试验,正交试验设计用正交表,L,9,（,3,4,）,试验号,列号,1,2,3,4,因素,T,P,m,（空缺）,1,2,3,4,5,6,7,8,9,T1,T1,T1,T2,T2,T2,T3,T3,T3,P1,P2,P3,P1,P2,P3,P1,P2,P3,m1,m2,m3,m2,m3,m1,m3,m1,m2,1,2,3,3,1,2,2,3,1,9,组,35,列 号试验号,1,2,3,试验指标,yi,1,2,3,4,1,1,2,2,1,2,1,2,1,2,2,1,Y,1,Y,2,Y,3,Y,4,K1,j,K2,j,n,K1=K1,j,/,n,K2=K2,j,/,n,极差,Y,1Y,2,Y,3,+Y,4,2,K,1,/n,K,1,/n,max-min,Y,1,+Y,3,Y,2,+Y,4,2,K,2,/n,K,2,/n,max-min,Y,1,+Y,4,Y,2,+Y,3,2,K,3,/n,K,3,/n,max-min,36,各列水平均为,2,的常用正交表有：,L,4,（,2,3,），,L,8,（,2,7,），,L,12,（,2,11,），,L,16,（,2,15,），,L,20,（,2,19,），,L,32,（,2,31,）。,各列水平数均为,3,的常用正交表有：,L,9,（,3,4,），,L,27,（,3,13,）。,各列水平数均为,4,的常用正交表有：,L,164,5,）,各列水平数均为,5,的常用正交表有：,L,25,（,5,6,）,37,5.5,混合水平正交表,各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一个混合水平正交表名称的写法：,L,8,（,4,1,2,4,）常简写为,L,8,（,42,4,）。此混合水平正交表含有,1,个,4,水平列，,4,个,2,水平列，共有,1,4,5,列。,38,5.6,选择正交表的基本原则,一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选择适用的,L,表。在确定因素的水平数时，主要因素宜多安排几个水平，次要因素可少安排几个水平。,（,1,）先看水平数。若各因素全是,2,水平，就选用,L(2,),表；若各因素全是,3,水平，就选,L(3,),表。若各因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表。,39,（,2,）每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。要看所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考虑的因素和交互作用。为了对试验结果进行方差分析或回归分析，还必须至少留一个空白列，作为,“,误差,”,列，在极差分析中要作为,“,其他因素,”,列处理。,（,3,）要看试验精度的要求。若要求高，则宜取实验次数多的,L,表。,40,（,4,）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时间都比较紧张，则不宜选实验次数太多的,L,表。,（,5,）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，若无正好适用的正交表可选，简便且可行的办法是适当修改原定的水平数。,41,（,6,）对某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握的情况下，选择,L,表时常为该选大表还是选小表而犹豫。若条件许可，应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留到方差分析进行显著性检验时再做结论。这样既可以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。,42,5,7,正交试验的操作方法,（,1,）分区组。对于一批试验，如果要使用几台不同的机器，或要使用几种原料来进行，为了防止机器或原料的不同而带来误差，从而干扰试验的分析，可在开始做实验之前，用,L,表中未排因素和交互作用的一个空白列来安排机器或原料。,与此类似，若试验指标的检验需要几个人（或几台机器）来做，为了消除不同人（或仪器）检验的水平不同给试验分析带来干扰，也可采用在,L,表中用一空白列来安排的办法。这样一种作法叫做分区组法。,43,（,2,）因素水平表排列顺序的随机化。如在例,5-1,中，每个因素的水平序号从小到大时，因素的数值总是按由小到大或由大到小的顺序排列。按正交表做试验时，所有的,1,水平要碰在一起，而这种极端的情况有时是不希望出现的，有时也没有实际意义。因此在排列因素水平表时，最好不要简单地按因素数值由小到大或由大到小的顺序排列。从理论上讲，最好能使用一种叫做随机化的方法。所谓随机化就是采用抽签或查随机数值表的办法，来决定排列的。,44,（,3,）试验进行的次序没必要完全按照正交表上试验号码的顺序。为减少试验中由于先后实验操作熟练的程度不匀带来的误差干扰，理论上推荐用抽签的办法来决定试验的次序。,（,4,）在确定每一个实验的实验条件时，只需考虑所确定的几个因素和分区组该如何取值，而不要（其实也无法）考虑交互作用列和误差列怎么办的问题。交互作用列和误差列的取值问题由实验本身的客观规律来确定，它们对指标影响的大小在方差分析时给出。,45,（,5,）做实验时，要力求严格控制实验条件。这个问题在因素各水平下的数值差别不大时更为重要。例如，例,5-1,中的因素（加碱量）,m,的三个水平：,m1,2.0,，,m2=2.5,，,m3=3.0,，在以,m,m2=2.5,为条件的某一个实验中，就必须严格认真让,m2=2.5,。若因为粗心和不负责任，造成,m2=2.2,或造成,m2=3.0,，那就将使整个试验失去正交试验设计方法的特点，使极差和方差分析方法的应用丧失了必要的前提条件，因而得不到正确的试验结果。,46,5,8,正交试验结果分析方法,正交试验方法之所以能得到科技工作者的重视并在实践中得到广泛的应用，其原因不仅在于能使试验的次数减少，而且能够用相应的方法对试验结果进行分析并引出许多有价值的结论。因此，有正交试验法进行实验，如果不对试验结果进行认真的分析，并引出应该引出的结论，那就失去用正交试验法的意义和价值。,47,5.9,极差分析方法,正交试验结果的极差分析方法，极差指的是各列中各水平对应的试验指标平均值的最大值与最小值之差。用极差法分析正交试验结果可引出以下几个结论：,48,（,1,）在试验范围内，各列对试验指标的影响从大到小的排队。某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，使试验指标数值的变化最大。所以各列对试验指标的影响从大到小的排队，就是各列极差,D,的数值从大到小的排队。,49,（,2,）试验指标随各因素的变化趋势。为了能更直观地看到变化趋势，常将计算结果绘制成图。,（,3,）使试验指标最好的适宜的操作条件（适宜的因素水平搭配）。,（,4,）可对所得结论和进一步的研究方向进行讨论。,50,用正交表安排试验,正交试验设计用正交表,L,9,（,3,4,）,试验号,列号,1,2,3,4,因素,T,P,m,（空缺）,1,2,3,4,5,6,7,8,9,T1,T1,T1,T2,T2,T2,T3,T3,T3,P1,P2,P3,P1,P2,P3,P1,P2,P3,m1,m2,m3,m2,m3,m1,m3,m1,m2,1,2,3,3,1,2,2,3,1,9,组,51,52,53,由以上两点看出，每个因素的各水平之间的搭配也是均衡的。,B3粒度第3水平8,交互作用列和误差列的取值问题由实验本身的客观规律来确定，它们对指标影响的大小在方差分析时给出。,（1）总离差的平方和ST,K2=K2/n k3=K3/n,将各因素的平均离差的平方和与误差的平方和相比，得出F值，这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度的大小。,某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，使试验指标数值的变化最大。,（2）每两列各种不同的水平搭配出现的次数是相同的。,若因为粗心和不负责任，造成m2=2.,很容易想到的是全面搭配法方案：,若条件许可，应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的列。,用直观分析法对试验结果进行了必要的分析，直观分析法的优点：简单、直观、易做、计算量少。,2水平4因素，并考虑A、B的交互作用，选用,因素（含交互作用）的正,表的使用：第1列号是（）的，从左向右看，第2个列号是不带括号的。,【均衡分散性】：任意两列间横向组合的数字对搭配次数也是相等的。,2，FAB50/2.,17相差不多，也可取A1B1C3结果为7.,正交试验结果分析,极差分析法,极差指的是各列中各水平对应的试验指标平均值的最大值与最小值之差,列 号试验号,1,2,3,试验指标,yi,1,2,3,4,1,1,2,2,1,2,1,2,1,2,2,1,Y1,Y2,Y3,Y4,以,L,4,（,2,3,）为例,54,列 号试验号,1,2,3,试验指标,yi,1,2,3,4,1,1,2,2,1,2,1,2,1,2,2,1,Y,1,Y,2,Y,3,Y,4,K,j1,K,j2,n,K,j1,/,n,K,j2,/,n,极差,Y,1,+Y,2,Y,3,+Y,4,2,I,1,/K,II,1,/K,max-min,Y,1,+Y,3,Y,2,+Y,4,2,I,2,/K,II,2,/K,max-min,Y,1,+Y,4,Y,2,+Y,3,2,I,3,/K,II,3,/K,max-min,55,极差分析法,:,某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，使试验指标数值的变化最大。所以各列对试验指标的影响从大到小的排队，就是各列极差,D,的数值从大到小的排队,试验指标随各因素的变化趋势。为了能更直观地看到变化趋势，常将计算结果绘制成图。,56,一个实例,项目：研究某种钢质工件的热处理工艺,.,任务：提高钢材硬度,.,水平,因素,淬火温度,回火温度,回火时间,min,符号,T1,T2,t,1,2,3,840,850,860,410,430,450,40,60,80,57,正交表安排试验,试验号,列号,1,2,3,4,硬度,因素,T1,T2,t,y,j,1,2,3,4,5,6,7,8,9,840,840,840,850,850,850,860,860,860,1,2,3,1,2,3,1,2,3,410,430,450,430,450,410,450,410,430,40,60,80,80,40,60,60,80,40,190,200,175,165183,212,196,178,187,58,正交试验结果分析,直观分析：第,6,组 淬火温度,850,，回火温度,410,，回火时间,60min,的效果最好，指标硬度最高,.,59,正交试验结果分析,K,1,K,2,K,3,n,K,1,=K,1,/,n,K,2,=K,2,/,n k,3,=K,3,/,n,极差,D,565,560,561,3,188.333,186.667,187,1.666,551,561,574,3,183.667,187,191.333,7.666,580,552,554,3,193.333,184,184.667,9.333,560,608,518,3,186.667,202.667,172.667,30,回火时间,t,2,回火温度,T2,1,淬火温度,T1,1,60,min,410,840,60,1,、单试验指标正交实验,例,1,某炼铁厂为了提高铁水的温度，需要通过试验选择最好的生产方案。经初步分析，主要有,3,个因素影响铁水的温度，它们是焦比、风压和底焦高度，每个因素都考虑,3,个水平，具体见下表。问对这,3,个水平如何安排，才能获得最高的铁水温度？,61,62,63,64,65,66,67,2,、正交试验多指标分析法,综合分析法：,例,2,：,为了提高某产品质量，要对生产该产品的原料进行配方试验，要检验,3,项指标；抗压强度、落下强度和裂纹度。前两个指标越大越好，第,3,个指标越小越好，根据以往的经验，配方中有,3,个重要因素；水份，粒度和碱度。它们各有,3,个水平，试进行试验分析，找出最好的配方方案。,68,69,70,71,72,73,抗压强度：,B3 C1 A2,落下强度：,B3 C2 A3,裂 纹 度：,A2 C1 B3,这个方案不完全相同，对一个指标是好方案，而对另一个指标却不一定是好方案，如何找出对各个指标都较好的一个共同方案呢？这正是我们要解决的，,74,通过各因素对各指标影响的综合分析，得出较好的试验方案是：,B3,粒度第,3,水平,8,C1,碱度第,1,水平,1.1,A2,水份第,2,水平,9,75,综合平衡法：,分析多指标的分析方法是：先分别考察每个因素对各指标的影响，然后进行分析比较，确定出最好的水平从而得出最好的试验方案，这种方法叫综合平衡法。,对多指标的问题，要做到真正好的综合平衡，有时是很困难的，这是综合平衡法的缺点。综合评分法，在某种意义上可以克服这个缺点。,76,综合评分法,综合评分法：就是根据各个指标的重要性的不同，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验的总指标（一个指标！），根据这个总指标（分数），利用上例（直观分析法）作进一步的分析，从而选出较好的试验方案。,77,举例说明：,例,3,：某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度和回收率，这两个指标都是越大越好，有影响的因素有,4,个，各有,3,个水平，具体情况见下表，试通过试验找出较好方案，使产品的核酸含量和回收率都有所提高。,78,79,这个方法的关键是如何评分，下面着重介绍评分的方法。在这个试验中，两个指标的重要性是不同的，根据实验经验知道，纯度的重要性要比回收重要性大，如果化成数量来看，可认为纯度是回收率的,4,倍，也就是说若将回收率看成,1,，纯度就,4,，这个,4,和,1,分别叫两个指标的权，按这个权给出每个试验的总分为：,总分,4,纯度,+1,回收率,算出每个试验的分数，列在表的最右边，再根据这个分数，用直观分析,80,81,82,5.10,混合水平的正交试验设计,实际问题中，有时各因素的水平数是不相同的，这就是混合水平的多因素试验问题，解决这类问题一般比较复杂，有两种方法：,（,1,）直接利用混合水平的正交表；,（,2,）拟水平法，把水平不同的问题化成水平数相同的问题来处理。,83,混合水平正交表及其用法,混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。,例如：,L8,（,4,2,4,）表示做,8,次试验，最多可安排,5,个因素，其中,1,个是,4,水平的（第,1,例），,4,个是,2,水平的（第,2,列到第,5,列）。,84,85,L8,（,42,4,）表有两个重要特点：,（,1,）每一列中不同数字出现的次数是相同的。,例如：第,1,列中有,4,个数字，,1,2,，,3,4,，它们各出现2,次，第,2,列到第,5,列中，都只有两个数字,1,2,，它们各出现,4,次。,86,（,2,）每两列各种不同的水平搭配出现的次数是相同的。但要注意，每两列不同水平的搭配的个数是不完全相同的。,例如：第,1,列是,4,水平的列，它和其它任何一个水平的列数在一起，由行组成的不同的数对一共有,8,个：（,1,1,），（,1,2,），（,2,1,），（,2,2,），（,3,1,），（,3,2,），（,4,1,），（,4,2,）它们各出现一次；,2,列到第,5,列都是,2,水平列，它们之间任何两列的不同水平的搭配共有,4,个：（,1,1,），（,1,2,），（,2,1,），（,2,2,）它们各出现两次。,87,由以上两点看出，每个因素的各水平之间的搭配也是均衡的。其它常用的混合水平正交表还有：,L12,（,3,1,2,4,），,L16,（,4,1,2,12,），,L16,（,4,3,2,8,），,L18,（,2,1,3,7,）,88,例,4,：,某农科站进行品种试验，共有,4,个因素：,A,（品种）、,B,（氮肥量）、,C,（氮、磷、钾肥比例），,D,（规格）。,因素,A,是,4,水平的，另外,3,个因素都是,2,水平的，具体数值见下表，试验指标是产量，数值越大越好，试用混合正交表安排试验，找出最好的试验方案。,89,90,91,92,5.11,拟水平法,例,5,今有某一试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好，这个试验有,4,个因素,A,，,B,，,C,，,D,，其中,C,是,2,水平的，其余,3,个因素都是,3,水平的，见下表，试安排试验，并对试验结果进行分析，找出最好的方案。,93,94,拟水平法实际是将水平少的因素归入水平数多的正交表中的一种处理问题的方法。在没有合适的混合水平正交表可用时，拟水平法是一种比较好的处理多因素混合水平试验的方法，可以对一个因素虚拟水平，也可以对多个因素虚拟水平。,96,97,98,小结,极差分析法,单试验指标正交试验设计,多试验指标正交试验设计,综合分析,:,综合平衡法,;,综合评分法,;,混合水平正交试验设计,:,直接利用混合水平的正交试验设计表,;,拟水平法,.,有交互作用正交试验设计,方差分析法,5.12,有交互作用的正交试验设计,在多因素试验中，各因素不仅各自独立地在起作用，而且各因素还经常联合起来作用。即，不仅各个因素的水平改变时对试验指标有影响，而且各因素的联合搭配对指标也有影响，这就是交互作用。,100,例,6,有,4,块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物，现将氮肥，磷肥采用不同的方式分别加在,4,块地里，收获后算出平均亩产，记在下表中。,101,102,从表中可以看出,（,1,）不加化肥时，平均亩产仅有,200,，只加,2,磷肥时，平均为,225,，增加,25/,亩。,（,2,）只加,3,氮肥时，平均亩产,215,，增加,15/,亩这两种情况下的总增产值合计为,40,。,（,3,）但是同时加,2,磷肥，,3,氮肥时，平均为亩产,280,增加,80/,亩，比前两种情况的总增产量又增加,40,。,103,（,4,）显然这后一个,40,，就是,2,磷肥，,3,氮肥联合起来所起的作用，叫做磷肥，氮肥这两个因素的交互作用。有下式：,氮肥磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的总效果（只加氮肥的效果只加磷肥的效果）,交互作用是多因素试验中经常遇到的问题。,104,交互作用表,安排有交互作用的多因素试验，必须使用交互作用表。,105,106,在安排试验时，交互作用占一列，称为交互作用列。,表的使用：第,1,列号是（的，从左向右看，第,2,个列号是不带括号的。比如要查第,2,列和第,4,列交互作用列，先找到（,2,），从左往右查，再从表的最上端的列号中找到,4,从上往下查看，两者交叉处的数字是,6,，它表示第,2,列和第,4,列的交互作用就是第,6,列。,107,第二步 表头设计,查交互作用表,表示位于第二、第四列的两因素的交互作用要放于第六列。,如,L,8,（,2,7,）的交互作用表,列号,1 2 3 4 5 6 7,1,（,1,）,3 2 5 4 7 6,2,（,2,）,1 6 7 4 5,3,（,3,）,7 6 5 4,4,（,4,）,1 2 3,5,（,5,）,3 2,6,（,6,）,1,注意：主效应因素尽量不放交互列。如,A,、,B,因素已放,C1,、,C2,列，则,C,因素就不放,C3,列。,108,水平数相同的有交互作用的正交试验,例,7,一个,3,因素,2,水平的有交互作用,某产品的产量取决于,3,个因素,A,、,B,、,C,，每个因素都有,2,个水平，数值见下图。每两个因素之间都有交互作用，必须考虑。试验指标为产量，越高越好。试安排试验，并分析试验结果。,109,110,解：,3,因素,2,水平的试验，,3,个因素,A,、,B,、,C,要占,3,列，它们之间的交互作用,AB,，,BC,，,AC,占,3,列，共占,6,列，可用正交表,L8,（,2,7,），来安排实验，若,A,B,分别放在第,1,、,2,列，从表中查出,AB,就在第,3,列，因此,C,就不能放在第,3,列。现将,C,放在第,4,列，由正交表,AC,应放在第,5,列，,BC,应在第,6,列。,111,112,113,从极差大小看出，影响最大的因素是,C,，以,2,水平为好；其次是,AB,，以,2,水平为好，第三是因素,A,，以,1,水平为好，第四是因素,B,，以,1,水平为好。由于因素,B,影响较小，,1,水平和,2,水平差别不大，但考虑到,AB,是,2,水平为好，它影响比,B,大，所以因素,B,取,2,水平为好。（,AC,），（,BC,）的极差很小，对试验的影响很小，忽略不计。,114,综合分析考虑，最好的方案应当是,C2A1B2,，从试验结果看出，这个方案确实是,8,个试验中最好的一个试验。,C2,（,AB,）,2,A1B1,，结果,C2A1B2,注：,4,号实验，产量为,75kg,小结：,用直观分析法对试验结果进行了必要的分析，直观分析法的优点：简单、直观、易做、计算量少。,115,5.13,正交试验设计的方差分析,上一章介绍了单因素，双因素方差分析，对于更多因素方差分析把上面实验结果推广就行了。,方差分析的步骤和格式,设用正交表安排,m,个因素的试验，试验总数为,n,，试验结果分别为,x1,，,x2,，,，,x,n,，假定每个因素有,n,a,个水平，每个水平做,a,次试验，则,n=,a,n,a,。,116,1,、计算离差的平方和,（,1,）总离差的平方和,S,T,记：,117,记为：,S,T,Q,T,P,118,S,T,反映了试验结果的差异，它越大，说明各次试验结果之间的差异越大，试验的结果之所以会有差异，一是因素水平的变化所引起的，二是因为有试验误差，因此差异是不可避免的。,119,（,2,）各因素离差的平方和,下面以计算因素,A,的离差的平方和,S,A,为例来说明，设因素,A,安排在正交表的某列，可看作单因素试验。用,X,ij,表示因素,A,的第,i,个水平的第,j,个试验的结果（,i=1,2,n,a,;j=1,2,a,）,则有：,120,则有：,121,记为：S,A,Q,A,P,其中,:,Ki,表示因素的第,i,个水平,a,次试验结果的和,.,122,S,A,反映了因素,A,的水平变化时所引起的试验结果的差异，即因素,A,对试验结果的影响。用同样的方法可以计算其它因素的离差的平方和。,对于两因素的交互作用，我们把它当成一个新的因素看待，如果交互作用占两列，则交互作用的离差的平方和等于这两列的离差的平方和之和。,比如：,S,AB,S,（,AB,）,1,+S,（,AB,）,2,123,（,3,）试验误差的离差的平方和,S,E,设,S,(,因,+,交,),为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和，,因为：,S,T,S,(,因,+,交,),+S,E,S,E,为试验误差的离差平方和,所以：,S,E,S,T,S,(,因,+,交,),124,2,、计算自由度,试验的总自由度：,f,总,试验总次数,1,n,1,各因素的自由度：,f,因,因素的水平数,1,两因素交互作用的自由度等于两因素的自由度之积,如：,f,（,AB,）,=f,A,f,B,记,f,E,为试验误差的自由度，因为：,f,总,f,（因,+,交）,+f,E,所以：,f,E,f,总,f,（因,+,交）,125,3.,计算平均离差平方和（均方）,有：,126,4.,求,F,比,将各因素的平均离差的平方和与误差的平方和相比，得出,F,值，这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度的大小。,127,5.,对因素进行显著性检验,对给出的检验水平,，从,F,颁布表中查出,F,（,f,因,，,f,E,）（通常叫临界值）,F,F,（,f,因，,f,E,），说明该因素对试验结果的影响显著，两数差别越大，说明该因素的显著性越大；,若,F,F,（,f,因,，,f,E,），说明该因素对试验结果的影响不显著。,128,3,水平的方差分析,3,水平正交设计是最一般的正交设计，它的方差分析方法最具有代表性。,例,8,为提高某产品的产量，需要考虑,3,个因素：反应温度，反应压力和溶液浓度，每个因素都取,3,个水平，见下表，考虑因素之间的所有一级交互作用，试找出较好的工艺条件。,129,130,解：,3,因素,3,水平的试验，每两个因素的交互作用要占的两列，,3,个因素的所有一级交互作用共有,3,个，共占,6,列，连同,3,个因素,A,，,B,，,C,，在正交表中共占,9,列，先,L,27,（,3,13,），按该表安排,3,因素的表头设计，见下表进行试验,131,132,133,134,135,首先,136,137,138,由此得出：,S,A,Q,A,P,2.04,S,B,Q,B,P,1.16,S,C,Q,C,P,155.87,S,（,AB,）,S,（,AB,）,1+S,（,AB,）,2,Q,（,AB,）,1,P+Q,（,AB,）,2,P,Q,（,AB,）,1+Q,（,AB,）,2,2P,1.32,139,S,（,AC,）,Q,（,AC,）,1+Q,（,AC,）,2,2P,0.28,S,（,BC,）,Q,（,BC,）,1+Q,（,BC,）,2,2P,0.18,最后计算实验误差的差离平方和，有：,SE,ST,S,因,+,交,ST,（,SA+SB+SC+SAB+SBC+SAC,）,0.34,140,自由度：,f,A,=f,B,=f,C,=3-1=2,F,（,AB,）,=f,（,AC,）,=f,（,BC,）,=22=4,f,总,n-1=27-1=26,f,E,=f,总,f,因,+,交,26,18,8,（,23+43,）,=18,141,计算平均离差的平方和（均方），然后求,F,。,取,0.01,，,通常：,FF0.01,（,f,因，,f,E,）该因素的影响是最显著的,“,*,”,FF0.05,（,f,因，,f,E,）,则称该因素的影响是显著的,“,*,”,FF0.05,（,f,因，,f,E,），则该因素的影响是不显著的。,142,143,可以看出，因素,A,，,B,，,C,和交互作用,AB,对试验结果的影响是显著的，从大小看，因素,C,最显著，依次,A,，,B,，,AB,，试验的指标为产品的产量，越大越好，所以最优方案应取各因素中,K,的最大值所对应的水平。,从表看出：,A1,，,B3,，,C3,为最好，交互作用,AB,也是显著的。但,AB,占两列，直观分析法有困难。有必要把,A,和,B,的各种组合的试验结果对照分析。,144,145,从表中，可以看出当,A,取第,1,水平,B,取,3,水平时，结果为,13.17,是所有结果的最大值，于是最优方案可取,A1B3C3,而,A1B1,的试验结果为,13.16,与,13.17,相差不多，也可取,A1B1C3,结果为,7.23,，,A1B3C3,结果为,7.07.,A1B1C3,比,A1B3C3,还要好。是因为我们分析计算本身是有误差的，真正的最优方案要经实践检验后确定。,146,2,水平的方差分析,一般分析法,2,水平正交设计，各因素离差平方和为,因为,:n=2a,147,所以上式可简化为,:,这里,2,水平设计计算平方和