第二章.点、直线、平面的投影.ppt

第一节 投影法的基本知识,第二节 点的投影,第三节 直线的投影,第四节 平面的投影,第五节 直线与平面、平面与平面的相对位置,第二章 点、直线、平面的投影,一、投影的概念,投影,空间物体在光线的照射下，在地上或墙上产生的影子，这种现象叫做投影。,投影法,在,投影面上作出物体投影,的方法,称为投影法。,2-1,投影法的基本知识,1,、中心投影法：,全部投影线都,从一点投射出。,H,特性：投影大小与物体和投影面之间距离有关,。,二、投影法的分类,投射中心,投射线,S,投影面,A,B,C,a,b,c,2,、平行投影法,：,所有投影线都相互平行。,1,）、正投影法：（主要学习此种投影方法）,投射线互相平行且垂直,于投影面,特性：投影大小与物体和,投影面之间距离无关。,投射方向,P,投影面,2,）、斜投影法：投影线倾斜于投影面,投射线互相,平行但不垂,直于投影面,P,特性：投影大小与物体和,投影面之间距离无关。,投射方向,三、正投影法的主要特性,1,、点的投影,：,A,H,a,点的投影,仍是一点。,2,、直线的投影,：,直线的投影一般情况下仍为直线，在特殊情况下聚为一点。,1,）、直线平形于投影面,a,b,A,B,H,在该面上的投影,ab,反映空间直线,AB,的真实长度。即：,ab,=AB,2,）、,直线,CD,垂直于投影面,在该面上的投影有,积聚性,，其投影为一点,H,C,D,c（d）,3,）直线,EF,倾斜于投影面,在该面上的投影长度,变短,，即：,ef,=EF,cos,E,F,e,f,H,3,、,平面的投影,平面的投影一般仍是相类似的平面图形，在特殊情况下积聚为直线。,1,）,平面平行于投影面,A,B,C,a,b,c,H,投影,abc,反映空,间平面,ABC,的,真实形状。,真实性,2,）、平面垂直于投影面,D,E,F,d,e,f,H,在投影面上的投,影积聚为直线。,积聚性,3,）,平面倾斜于投影面,K,L,M,K,l,m,H,投影,klm,面积变小。,类似性,四、投影的基本性质：,1,、真实性,2,、积聚性,3,、类似性,一个视图不能完整地反映物体的空间形状,五、物体的三面投影图,1,、三面投影图的形成,三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成,正立投影面,简称正面。,水平投影面,简称水平面。,侧立投影面,简称侧面。,两投影面的交线称为投影轴,OX,、,OY,、,OZ,。,V,H,W,X,Y,Z,O,2,、,物体在三投影面体系中的投影,正面投影,由前向后投影；,水平面投影,由上向下投影；,侧面投影,由左向右投影。,3,、三投影面的展开,V,H,W,O,X,Y,H,Z,Y,W,侧面,W,绕,OZ,轴向右旋转,90,。,水平面,H,绕,OX,轴向下旋转,90,。,规定：正面,V,保持不动。,V,H,W,X,Y,Z,O,俯,长,主,高,上,前,后,下,上,左,右,下,前,后,右,左,4,、位置关系和投影关系：,5,、方位关系,俯视图,在主视图的下方,左视图,在主视图的右方,主、俯视图,长对正（等长）,主、左视图,高平齐（等高）,俯、左视图,宽相等（等宽,）,主视图,反映物体的上下和左右,俯视图,反映物体的前后和左右,左视图,反映物体的前后和上下,注,：俯、左视图靠近主视图的一边，表示物体的后表面；远离主视图的一边，表示物体的前表面。,左,宽,主,左,俯,2-2,点的投影,一、点在两投影面体系中的投影,过,A,作垂直于,V,、,H,面的投射线,A a,、,Aa,，,分别与,H,面交于,a,，与,V,面交于,a,，,a,、,a,即为点,A,的两面投影。,VH,O,X,A,a,a,V,V,H,O,X,实际作图时不画投影面边框。,a,a,a,x,a,a,O,X,H,O,X,A,a,a,V,a,x,a,x,点的两面投影规律：,（,1,）、点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即,aa,ox,；,（,2,）、,点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离，即：,a,a,x,=,Aa,aa,x,=,Aa,二、,点在三投影面体系中的投影,a,V,H,W,O,X,Y,H,Y,W,Z,a,a,X,Y,H,Y,W,Z,O,a,a,a,规定：,空间点,A,用大写字母表示，在,H,面的投影用,a,，在,V,面的投影用,a,，在,W,面的投影用,a,表示。,V,H,W,X,Y,Z,O,a,a,a,A,a,x,a,z,a,y,点的三面投影规律：,（,1,）、点的投影连线垂直于投影轴。,即：,a,aox,，,a,a,oz,（,2,）、,点的投影到投影轴的距离，等于该点的 坐标，也就是该点到相应投影面的距离。,三、点的三面投影与直角坐标的关系,：,将投影面体系当作空间直角坐标系，把,V,、,H,、,W,当作坐标面，投影轴,ox,、,oy,、,oz,当作坐标 轴，,o,作为原点。,点,A,的空间位置可以用直角坐标（,x,，,y,，,z,）,来表示。,点,A,的,x,坐标值,=,oa,x,=,aa,y,=,a,a,z,=,Aa,反映点,A,到,W,面的距离。,Y,坐标值,=,oa,y,=,aa,x,=,a,a,z,=,Aa,反映,点,A,到,V,面的距离。,Z,坐标值,=,oa,z,=a,a,x,=a,a,y,=,Aa,反映点,A,到,H,面的距离。,O,a,a,yw,X,Y,H,Y,W,Z,a,a,a,x,a,z,a,yh,x,y,z,a,由点,A,的,x,、,y,值确定，,a,由点,A,的,x,、,Z,确定，,a,由点,A,的,y,、,z,值确定。,V,H,W,X,Y,Z,O,a,a,a,A,a,x,a,z,a,y,例,1,、已知点的坐标值为：,A,（,20,，,10,，,15,）和,B,（,0,，,15,，,20,）,求它们的三面投影图。,解1,）量取坐 标值；,X,O,Y,H,Y,W,Z,a,a,a,b,b,b,（,2,）作点的 投影。,10,20,10,例,2,、已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点对投影面的相对位置。,a,b,c,点,A,的三个坐标值均不为,0,，,A,为一般位置。,点,B,的,Z,坐标为,0,，故点,B,为,H,面上的点。,点,C,的,x,、,y,坐标为,0,，故点,C,为,z,轴上的点。,b,b,c,c,x,y,H,y,w,z,o,a,a,z,四、两点的相对位置和重影点,：,1,、两点的相对位置,要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据,这,两,点在每个的面投影关系和坐标差,来确定。,例：由投影图判断,A,、,B,两点的空间位置。,a,a,b,b,X,O,Y,H,Y,W,Z,a,b,（,1,）由,A,、,B,两点,V,、,H,面投影可确定点,A,在点,B,左方。,（,2,）由,A,、,B,的,H,、,W,面投影可确定,A,在,B,前方。,（,3,）由,A,、,B,的,V,、,W,面投影可确定,A,在,B,下方。,因此,点,A,位于点,B,左、前、下方,。,2,、重影点,重影点,空间两点在一个面的投影重合于一点叫做,重影点,。,如图：,C,、,D,两点的水平投影证明影为一点。,O,X,c,（d）,c,d,又因点,C,在点,D,的正上方，,C,点可见，,D,点被遮盖。,作图时不可见点加括号。,结论,：,如果两个点的某面投影重合时，则对该投影面的投影坐标值大者为可见，小者为不可见。,例：已知点,D,的三面投影，点,C,在点,D,的正前方,15mm,，,求作点,C,的三面投影，并判别其投影的可见性。,解：,由已知条件知：,X,C,=X,D,Z,C,=Z,D,Y,C,-Y,D,=15mm,点,C,、,D,在,V,面上的投影重影。,c,c,c,又,YC YD,C,的,V,面投影为可见点，则,D,的,V,面投影为不可见点。,Y,H,d,O,X,Y,W,Z,d,d,(),Y,W,Z,V,H,X,O,Aa,a,a,Bb,b,V,H,W,X,Y,Z,b,B,A,b,b,a,a,a,WV,H,X,Y,O,Z,A,B,a,b,a,b,(b),a,X,Y,W,Y,H,Z,a,a,b,b,c,c,c,a,b,1,、点,A,在,V,面上，故,Y,A,=0,2,、点,B,在,X,轴上，故,Z,B,=,Y,B,=0,3,、点,C,在,原点上，故,Z,c,=,Y,c,=,X,c,=0,X,Y,W,O,Y,H,Z,a,a,b,b,a,b,X,Y,W,O,Y,H,Z,a,a,b,b,a,（b）,点,A,在点,B,的上方（,Z,A,Z,B,),点,A,在点,B,的右方（,X,A,X,B,),点,A,在点,B,的前方（,Y,A,Y,B,),点,A,在点,B,的正前方,(X,A,=X,B,Z,AZ,B,Y,A,Y,B,),点,A,和点,B,称为,V,面上的重影点。,2-3,直线的投影,一、直线的投影：,直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面投影连线确定。,例：已知直线,AB,端点坐标为,A,（,20,，,15,，,5,）,B,（,5,，,5,，,15,）,作,AB,的三面投影。,O,X,Y,H,Y,W,Z,a,a,a,b,b,b,二、各种位置直线的投影特性,1,、一般位置直线,Y,W,O,X,Y,H,Z,a,a,a,b,b,b,直线的三面投影长度均小于实长，三面投影均倾斜于投影轴，但不反映空间直线对投影面倾角的大小。,V,H,W,X,Y,Z,A,B,a,b,a,b,a,b,2投影面平行线,O,X,Y,H,Y,W,Z,a,a,a,b,b,b,1,）、水平线：平行于,H,面，对,V,、,W,面倾斜,水平投影,ab=AB,正面投影,abOX,，,侧面投影,abOY,w,ab,与,OX,、,OY,H,的夹角,、,等于,AB,对,V,、,W,面的倾角,。,V,H,W,X,Y,Z,b,A,b,b,a,a,a,B,2,）、正平线：平行于,V,，对,H,、,W,倾斜,O,X,Y,H,Y,W,Z,c,d,c,d,c,d,正面投影,cd=CD,水平投影,cdOX,侧面投影,cdOZ,cd,与,OX,、,OZ,的夹角,、,等于,CD,对,H,、,W,面的倾角。,Y,W,Z,V,H,X,c,D,d,c,d,c,d,3,）、侧平线：平行于,W,面，对,V,、,H,面倾斜,侧面投影,ef=EF,水平投影,efOY,H,，,正面投影,efOZ,。,ef,与,OY,W,、,OZ,的夹角,、,等于,EF,对,V,、,H,面的倾角。,O,X,Y,H,Y,W,Z,e,f,e,f,e,f,W,V,H,X,Y,O,Z,F,E,f,e,f,e,e,f,1,、,ab=AB=,实长,2,、,abOX,轴,a b OZ,轴,3,、,=0,、,反映,实际大小,1,、,ab=AB=,实长,2,、,ab OX,轴,a b OY,W,轴,3,、,=0,、,反映,实际大小,Y,W,Z,V,H,X,a,A,Bb,a,b,a,b,正平线,V,H,W,X,Y,Z,b,A,b,b,a,a,a,B,水平线,X,Y,W,Y,H,Z,a,a,b,b,a,b,O,X,Y,W,O,Y,H,Z,a,a,b,b,a,b,W,V,H,X,Y,O,Z,A,B,a,b,a,b,b,a,侧平线,X,Y,W,O,Y,H,Z,a,a,b,b,a,b,1,、,a b=AB=,实长,2,、,ab OZ,轴,ab OY,H,轴,3,、,=0,、,反映,实际大小,投影面平行线的投影特性,1,、直线在所平行的投影面上的投影反映直线的实际长度。,2,、直线在另外两个投影面上的投影平行于相应的轴（所平行投影面,上的坐标轴）。,3,、投影面垂直线,1,）、铅垂线：直线,H,面，,V,、,W,面。,O,X,Y,H,Y,W,Z,a,（b）,a,b,a,b,水平投影积聚为一点。,ab=ab=AB,ab OX，ab OY,W,2,）、正垂线：直线,V,面，,H,、,W,面。,O,X,Y,H,Y,W,Z,c,d,c,(d),c,d,正面投影积聚为一点。,cd,=cd=CD,cdOX,，,cdOZ,3,）、侧垂线：直线,W,面，,H,、,V,面。,O,X,Y,H,Y,W,Z,e,f,e,f,e,（f）,侧面投影积聚为一点。,ef,=ef=EF,efOY,H,，,efOZ,。,1,、,V,面投影积聚为一点。,2,、,a b=,ab,=AB=,实长,3,、,abOX,轴,a b OZ,轴,=90,、,=0,X,Y,W,Y,H,Z,a,a,b,b,O,a,b,(),V,H,W,X,Y,Z,A,b,b,a,a,B,铅垂线,a(b),1,、,H,面投影积聚为一点。,2,、,a b=,ab,=AB=,实长,3,、,ab OX,轴,a b OY,W,轴,=90,、,=0,X,Y,W,O,Y,H,Z,a,b,a,b,a(b),X,Y,W,O,Y,H,Z,a,b,a,b,a,(,b,),W,V,H,X,Y,Z,A,B,a,b,b,a,侧垂线,a,(,b,),1,、,w,面投影积聚为一点。,2,、,ab,=,ab,=AB=,实长,3,、,abOY,H轴,ab,OZ,轴,=90,、,=0,Y,W,Z,V,H,X,a,A,B,b,a,b,正垂线,A,B,a,b,(),投影面垂直线的投影特性,1,、直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。,2,、直线在另外两个投影面上的投影垂直于相应的轴（所垂直投影面上的坐标轴），且反映实际长度。,三、直线上的点,1,、从属性,：,点在直线上，,点的各面投影必定在该直线的同面投影上；,反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则该,点必在此直线上。,O,X,Y,H,Y,W,Z,a,a,a,b,b,b,k,k,k,2,、定比性：,直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。,O,X,Y,H,Y,W,Z,a,a,a,b,b,b,k,k,k,即：,AK:KB=,ak,:kb=ak:kb=ak:kb,例,1,、试在直线,AB,上取一点,C,，使,AC:CB=1:2,，,求作,C,点。,解：分点,C,的投影必在,AB,的同面投影上。,且,ac:cb,=ac:cb,=1:2,O,X,a,b,a,b,1,2,3,c,c,例,2,、已知直线,CD,及点,M,的两面投影，判断,M,是否在,CD,上。,解,1,、,O,X,c,d,c,d,m,m,作侧平线,CD,和点,M,的侧面投影，,由作图知点,M,的侧面投影不在,cd,上，所以,M,不在,CD,上。,c,d,m,z,Y,H,Y,W,解2、,在,H,面作任一直线,cE,使,cE,=cd,。,并截取,cM,1,=cm,E,M,1,连,dE,，过,M,1,作,dE,的平行线与,cd,交于,m,1,m,O,X,c,d,c,d,m,m,1,因为,m,1,与,m,不重合，所以,M,不在,CD,上。,四、两直线相对位置,空间两直线的相对位置分为,平行,、,相交,、,交叉,1,、平行两直线,：,投影特性：,空间两直线相互平行，它们的各组同面投影必定相互平行,。,A,B,C,D,a,b,c,d,反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定平行。,平行的两直线是共面的直线。,2,、相交两直线,a,b,c,d,A,B,C,D,K,k,K,是两直线的共有点，,K,在平面上的投影,k,必在,ab,上，又必在,cd,上。,交点,K,的三面投影符合点的投影规律。,相交的两直线是共面的直线。,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,b,c,d,k,a,b,c,d,k,a,b,c,d,k,3,、交叉两直线,在空间即不平行也不相交的两直线为,交叉两直线,。,同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。,如图示,a,a,b,b,c,c,d,d,AB,两面投影的交点,连线不,OX,轴，,为交叉两直线。,交叉的两直线是异面的直线。,a,a,b,b,c,c,d,d,投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。,对重影点应区分其可见性，即根据重影点对同一投影面的坐标值大小来判断坐标值大者为可见点，小者为不可见点。,1,1,2,2,3,3,4,4,(),(),例,1,、判断两直线的相对位置,O,X,a,a,b,b,c,c,d,d,O,X,a,a,b,b,c,c,d,d,O,X,a,a,b,b,c,c,d,d,交点的连线垂直于,OX,，,且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两直线。,ab,与,cd,在一直线上，而,abcd,，,两直线平行。,CD,为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。为交叉两直线。,E,m,k,例,2,、过,C,点作水平线,CD,与,AB,相交。,d,d,先作,CD,的正面投影,k,k,a,a,b,b,c,c,例,3,、已知：两直线,AB,、,CD,的投影及点,M,的水 平投影,m,，,试作一直线,MNCD,并与直线,AB,相交于,N,点。,a,a,b,b,c,c,d,d,m,O,X,n,n,m,作图：过,m,作,mncd,，,并与,ab,交于,n,；由,n,求出,n,；,过,n,作,nmcd,，,求得,m,。,点与直线的投影特性，,尤其是特殊位置直线的投影特性。,点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。,点分割直线成定比,定比定理,。,小 结,2-4,平面的投影,一、平面的表示法,用几何元素表示平面,不在同一直线上的三点。,a,a,b,b,c,c,a,a,b,b,c,c,一直线和线外一点。,c,c,aa,b,b,相交两直线。,b,b,a,a,c,c,d,d,平行两直线。,b,b,a,a,c,c,任意平面形。,二、各种位置平面的投影,铅垂面,正垂面,侧垂面,水平面,正平面,侧平面,平行于某一投影面,垂直于某一投影面,特殊位置平面,对三个投影面都倾斜,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,1,、投影面垂直面,垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个投影面的平面为投影面垂直面。,垂直的投影面上投影有积聚性,其余两投影面的,投影为类似形,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,1,、,V,面投影积聚成一条直线，且反映,、,的,真实大小。,=90,2,、,H,、,W,投影均为原平面的类似形,Y,W,Z,V,H,X,a,A,B,b,a,b,正垂面,C,D,c,d,a,(,d,),b,(,c,),c,d,1,、,H,面投影积聚成一条直线，且反映,、,的,真实大小。,=90,2,、,V,、,W,投影均为原平面的类似形,X,Y,W,Y,H,Z,a,a,b,b,O,c,d,c,a,(,d,),b,(,c,),d,V,H,W,X,Y,Z,A,b,b,a,a(c),a,B,铅垂面,b(d),C,D,c,d,Y,W,X,O,Y,H,Z,a(c),a,b,a,b,c,d,c,d,b(d),W,V,H,X,Y,Z,A,B,a,b,b,a,侧垂面,d,C,D,c,c,d,a(c),bd),1,、,W,面投影积聚成一条直线，且反映,、,的真实大小。,=90,2,、,V,、,H,投影均为原平面的类似形,X,Y,W,O,Y,H,Z,a,b,a,b,c,d,c,d,b(d),a(c),投影面垂直面的投影特性,：,平面在,所垂直,的投影面上的投影,积聚,为直线；,其余两投影面仍为原形的,类似形,，,但比实形小；,平面具有积聚性的投影与投影轴的 夹,角，分别反映,平面与相应投影面,的倾角。,2,、投影面平行面,平行于某一个投影面的平面称为投影面平行面，该平面必然垂直于其余两个投影面。,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,在所平行的投影面上的投影反映实形,积聚为直线，,并平行于相,应的投影轴,V,面投影反映实形，,H,、,W,投影积聚成一条直线，且分别平行与,OX,轴、,OZ,轴,Y,W,X,Y,W,Y,H,Z,a,b(c),b,O,a,b,c,a(c),V,H,W,X,Y,Z,A,b,a,a,B,水平面,b,C,c,a(c),d,b,(,c,),c,b,(,c,),X,O,Y,H,Z,a,b,a,d,b,a(c),H,面投影反映实形，,V,、,W,投影积聚成一条直线，且分别平行与,OY,W,轴、,OX,轴,Y,W,Z,V,H,X,A,B,b,a,b(c),正平面,C,d,a,b,c,d,a(c),C,c,a,(,c,),W,V,H,X,Y,ZA,B,a,b,侧平面,C,a,b,b(c),c,X,Y,W,O,Y,H,Z,a,b,b,a,b(c),a,(,c,),c,W,面投影反映实形，,V,、,H,投影积聚成一条直线，且分别平行与,OY,H,轴、,OZ,轴,投 影 特 性,平面在所,平行,的投影面上的投影反映,实形,；,其余两投影,积聚为直线,，并分别平,行于相应的投影轴。,3,、一般位置平面,对三个投影面都倾斜的平面。,其特性为：,1,、它的各面投影均不反映实形，也不具有积聚性。,2,、不直接反映该平面与投影面的倾角。,O,X,Y,W,Y,H,Z,a,a,a,b,b,b,c,c,c,三、平面上的点和直线,1,、平面上的点和直线,定理一,：,若点在平面内，它必在平面内的一条直线上。,定理二,：,若一直线过平面内的一点，且平行于该 平面上另一直线，则此直线在该平面内。,定理三,：,若直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,例,1,、已知,ABC,平面内点,K,的,V,面投影,k,，,求作,K,的,H,面投影。,解1,O,X,a,a,b,b,c,c,O,X,a,a,b,b,c,c,解2,d,d,k,k,k,m,m,k,例,2,、已知四边形,ABCD,的,V,面投影及,AB,、,BC,的,H,面投影，完成,H,面投影。,解1,O,X,a,a,b,b,c,c,d,d,e,e,O,X,a,a,b,b,c,c,d,解2,e,ed,2,、平面上的投影面平行线,凡在平面上且,平行于某一投影面,的直线，称为平面上的投影面平行线。,平面内的水平线,直线在平面内，又平行于水平面的直线。,平面内的正平线,直线在平面内，又平行于正面的直线。,平面内的侧平线,直线在平面内，又平行于侧面的直线。,例,3,、作,ABC,平面内的正平线，它距,V,面为,8mm,。,O,X,a,a,b,b,c,c,因为正平线的水平投影平行于,OX,，,先作,34OX,，,使其距,V,面,8mm,，,再求出,34,。,3,4,8,3,4,例,4,、在,ABC,内取一点,K,，,使点,K,距,V,面,8mm,，距,H,面,12mm,。,O,X,a,a,b,b,c,c,解：,12,8,1,2,2,1,3,3,4,4,k,k,四、特殊位置圆的投影,1,、与投影面平行的圆,当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的投影仍为圆，其余两投影积聚为直线，其长度等于圆的直径，且平行于相应的投影轴。,O,X,Y,H,Y,W,Z,2,、与投影面垂直的圆,当圆与投影面垂直时，圆在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线，其余两投影为椭圆,。,X,O,a,a,b,b,c,c,d,d,2-5,直线与平面、平面与平面 之间的相对位置,一、直线与平面、平面与平面平行,1,、直线与平面平行,定理,：,直线平行于平面上的某一条直线。,即：如果直线平行于平面，则,直线的各面投影,必与,平面上一直线的同面投影,平行。,例,1,、过点,M,作直线,MN,平行于平面,ABC,。,解：,a,a,b,b,c,c,m,m,有多少解？,n,n,无数解,例,2,、过点,M,作直线,MN,平行于,V,面和,ABC,。,解：,正平线,a,b,c,m,m,a,b,c,ABC,为正垂面，直线,MN,的正面投影,mn,必定平行于,abc,。,又,MN,为正平线，,mn,平行于,OX,轴。,n,n,有唯一解,有,多少解？,当直线与垂直于投影面的平面平行时，在平面垂直的投影面上，直线的投影,平行,于平面有积聚性的同面投影。,2,、平面与平面平行,几何条件,：,1,）、若一个,平面上的两相交直线,分别,平行于另一平面上的两相交直线，,则两平面相互平行。,2,）、若两投影面,垂直面相互平行,，则它们,具有积聚性的那组投影,必相互平行。,c,a,a,b,b,c,d,d,e,e,f,f,g,g,例,3,、过点,K,作平面平行于,ABC,解：,a,a,b,b,c,c,k,k,分析：按几何条件，只要过点,K,作两相交直线,KL,、,KH,对应地平行于已知平面的一对相交直线，此平面即为所求。,作图：,KLAB,，,KHBC,。,l,l,h,h,例,4,、判别如图所示的两平面是否平行。,解：,1,1,2,(2),3,3,4,(4),a,a,b,b,c,c,因两平面均为铅垂面，在,H,面的投影互相平行，所以两平面平行。,二、直线与平面、平面与平面相交,1,、直线与平面相交,交点是直线与平面的共有点。,讨论：（,1,）求直线与平面的交点；,（,2,）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。,1,）、一般位置直线与特殊位置平面相交,例,1,、求直线,AB,与铅垂面,DEF,的交点,K,，,并判别可见性。,分析：因,DEF,的水平投影,def,有积聚性，交点,K,是,DEF,内的点，它必在,def,上，又因,K,是,AB,上的点，它的水平投影,k,必在,ab,上，因此,k,就是,K,的水平投影。由,k,可求得,k,。,a,a,b,b,d,d,e,e,ff,k,k,1,1,(2),2,例,2,、求直线,AB,与水平面的交点,K,，,并判别 可见性,。,a,a,b,b,k,k,由图知：圆平面是水平面，其正面投影有积聚性，可先求出,V,面的投影,k,，,再求出,H,面投影,k,。,由于,ak,在水平面的上方，故水平投影,ak,可见，,kb,被圆遮住的部分为不可见。,2,）、特殊位置直线（垂直线）与一般位置 平面相交,例,3,、求铅垂线,DE,与,ABC,的交点,K,，,并判别可见性。,a,a,b,b,c,c,d,e,(e),d,(k),借助于辅助线的方法求出交点。,n,n,判别可见性：由,V,面的,bc,与,de,的重影点,1(2),求出,H,面的,1,在直线,DE,上，,2,在,BC,上，,1,的,Y,坐标大于,2,，所以,dk,可见,，,ke,被遮住部分不可见,。,k,1,(2),1,2,例,4,、求直线,MN,与平面,ABC,的交点。,a,a,b,b,c,c,n,m,(m),n,k,d,d,k,作图：连,ck,与,ab,交于,d,，由,d,求出,d,，连,cd,交,mn,于,k,。,k,为所求。,判别可见性：在,H,面中,mn,与,ac,的交点,1,（,2,），即是直线,MN,与平面上,AC,边对,H,面的重影点，求出,1,、,2,；因,1,的,Z,坐标大，所以,kn,可见。,1,1,(2),2,2,、,平面与平面相交,两平面相交，其交线为,直线,，交线是两平面的,共有线,，同时交线上的点是两平面的共有点。,讨论：,A,、,求两平面的交线（方法）,1,）、确定两平面的两个共有点；,2,）、确定一个共有点及交线的方向,。,B,、,判别可见性。,只讨论有一个平面处于特殊位置的情况。,分析：,ABC,与,DEF,交线的正面投影为,mn DEF,的,DE,、,EF,的正面投影,df,、,ef,与,ABC,的正面投影的交点，由,mn,求出,m,、,n,，,mn,为可见与不可见的分界线。,判别可见性：,V,面,mnf,在,abc,的上方，,mnf,可见,，,demn,被,ABC,遮挡部分为不可见。,m,m,n,n,a,a,b,b,c,c,d,d,e,e,f,f,例,5,、平面,ABC,为投影面平行面与一般位置平面,DEF,相交，求交线并判别可见性。,例,6,、求平面,ABC,与铅垂面,DEF,的交线,KL,，,并判别可见性。,a,a,b,b,c,c,d,d,e,e,f,f,k,l,分析：,DEF,是铅垂面，其水平投影有积聚性。可直接求出,k,、,l,，,再由,k,、,l,求出,k,、,l,，,交线是可见与不可见的分界线。,k,l,小 结,掌握：,1,、平面投影特性，尤其是,特殊位置平面,的投影特性；,2,、如何在平面上确定,直线和点,；,3,、两平面,平行的条件,；,4,、直线与平面、平面与平面相交的解题思路：空间及投影分析，其目的找出交点或交线的已知投影；判别可见性,