第二章 平面力系.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 平面力系,General Force System,1,平面汇交力系,2,平面力对点之矩,平面力偶,3,平面任意力系的简化,4,平面任意力系的平衡条件和平衡方程,5,物体系的平衡,静定和超静定问题,6,平面简单桁架的内力计算,1,平面汇交力系,The planar system of concurrent forces,1,、平面汇交力系合成的几何法、,力多边形法则,即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过原汇交点。,力多边形自行封闭,2,、平面汇交力系平衡的几何条件,平面汇交力系平衡的充要条件是：,1),图解法：,按比例画出封闭的力多边形，量得所要求的未知数,2),几何法：,根据图形的几何关系，利用三角公式计算出未知力,求解平面汇交力系平衡的方法：,已知：简支梁,AB,，在中点作用力,，方向如图，求反力,A,B,F,h,R,O,P,图示,石磙重,P,=20kN,，半径,R,=0.6m,，障碍物高,h,=0.08m,。,求（1）水平力,F,=5kN,时磙对地面和对,障碍物的压力；（,2,）欲将磙拉过障碍物,F,沿什么方向拉最省力，此力为多大？,例,:,解：,(1),首先受力分析,cos,=(,R-h,)/,R,=0.866,故,=30,再画力多边形,F,A,F,B,按比例量得：,F,A,=11.4,kN,，,F,B,=10kN,F,P,P,F,B,F,min,F,min,=,P,sin,=,P,/2=10kN,(2),例,2-1,（续）,F,B,F,A,F,B,1,）力在坐标轴上的投影,3,、平面汇交力系合成的解析法,由合矢量投影定理，得合力投影定理,则合力的大小为：,方向为：,作用点为力系的汇交点。,求：此力系的合力。,解：用解析法,例,2-1,已知：图示平面共点力系；,2,）平面汇交力系的平衡方程,平衡条件,平衡方程,两坐标轴不一定相互垂直。,力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解,在两轴相互不正交时，分力在数值上不等于投影。,例,:,求图示结构支座,A,、,B,的反力。各杆的自重忽略，且,ABC,=,BAC,=,30,。,C,A,B,P,F,F,B,F,A,解：,法 一，取坐标轴如图并做受力分析,X,=0,F,A,cos 30,F,B,cos 30+,F,=0,Y,=0,(,F,A,+,F,B,)Sin30,P,=0,y,x,F,B,F,A,F,B,F,A,F,B,F,A,C,A,B,P,F,F,B,F,A,法 二，取坐标轴如图,x,X,=0,F,B,cos30,P,cos30,F,cos60=0,Y,=0,F,A,cos30+,F,cos60,P,cos30=0,y,显见，,x,和,y,轴并不相互正交，而求解反而方便了。,已知：,求：系统平衡时杆,AB,、,BC,受力。,例,2-2,不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，,P,=20kN,；,解：取,B,，画受力图。,例,2-3,求：平衡时，压块,C,对工件与地面的压力，,AB,杆受力。,已知：,F,=3kN,l,=1500mm,h,=200mm.,忽略自重；,解：取销钉,B,。,解得,选压块,C,F,q,24cm,6cm,A,C,B,D,O,(a),E,例题,图,a,所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力,F,=212 N,，,方向与水平面成,45,角。当平衡时,DA,铅,直,BC,水平，试求拉杆,BC,所受的力。已知,EA,=24cm,，,DE,=6cm,点,E,在铅直线,DA,上,，,又,B,，,C,，,D,都是光滑铰链，机构的,自重不计。,A,B,D,(b),O,q,F,F,B,F,D,E,J,F,D,K,F,B,F,I,q,(c),1.,取制动蹬,ABD,作为研究对象，并画出受力图。,2.,作出相应的力三角形。,几何法,解：,3.,由图,b,几何关系得：,4.,由力三角形图,c,可得：,O,q,F,F,D,x,y,F,B,A,B,D,1.,取制动蹬,ABD,作为研究对象。,2.,画出受力图,.,解,:,3.,列出平衡方程：,联立求解得,已知,：,用解析法求解,梯长,AB,=,l,，重,P,=100 N,，重心假设在中点,C,，梯子的上端,A,靠在光滑的端上，下端,B,放置在与水平面成,40,角的光滑斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以及梯子和水平面的夹角,。,40,A,C,B,P,例题,梯子受三力平衡，由三力汇交定理可知,它们交于,D,点。,1.,求约束力。,解：,列平衡方程：,联立求解，考虑到,=5,，得,F,A,=83.9N,，,F,B,=130.5N,y,x,F,A,F,B,P,A,C,E,B,D,40,40,角,可由三力汇交的几何关系求出。,已知,C,是,AB,中点，,DE,是平行四边形,ADBE,的对角线，所以,C,也是,DE,的中点。,2.,求角,。,由直角三角形,BEC,和,BED,，有,y,x,F,A,F,B,P,A,C,E,B,D,40,40,车间用的悬臂式简易起重机可简化为如图所示的结构。,AB,是吊车梁，,BC,是钢索，,A,端支承可简化为铰链支座。设已知电葫芦和提升重物,P=5kN,AB,与,BC,间夹角为,25,o,AD=a=2m,AB,=,l,=2.5m,。如吊车梁的自重可略去不计，求钢索,BC,和铰,A,的约束力。,A,B,C,D,P,例题,选择吊车梁为研究对象，在吊车梁上总共有三个不平行的力作用，根据三不平行力的平衡条件，可以肯定铰,A,的约束力,F,A,必通过力,P,与,F,B,的交点,O,。,解：,A,B,D,P,O,a,l,F,A,F,B,A,B,C,D,P,解联立方程求得,F,A8.63 kN,F,B,=9.46 kN,列平衡方程：,tan,j,=0.,117,式中角,可由图,b,中的几何关系求得,O,x,P,F,A,F,B,（,a,）,y,q,(,b,),A,B,D,P,O,a,l,F,A,F,B,2,平面力对点的矩 平面力偶,一、平面力对点之矩（力矩）,1,、定义：,大小：力,F,与力臂的乘积,正负：逆正顺负,The moment of force about a co-planar point,The theory of coplanar force couples,性质：,1,）力沿力的作用线传递时，力对点的矩不变。,2,）力的作用线过矩心时，该力对点的矩为零。,3,）大小相等、方向相反、力的作用线相重合的两个力对同一点的力矩和为零,2,、汇交力系的合力矩定理,3,、,力矩与合力矩的解析表达式,为了便于计算力对点之矩，将力分解成两个正交分力，如图所示，再利用合力矩定理求得。即,上式为平面内力矩的,解析形式,。注意，,式中各量应以代数量代入,。,O,y,x,A,y,x,F,y,F,x,F,q,合力,F,R,对点,O,之矩的解析表达式为,例,2-4,求,:,解,:,按合力矩定理,已知,:,F,=1400N,直接按定义,二,.,力偶和力偶矩,1.,何谓力偶,?,由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的,力系称为力偶，记作,F,1,F,2,3,）力偶矩：度量力偶对物体的转动效应。,1,）力偶作用面：力偶中两力所在平面。,2,）力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离。,2.,几个概念：,由两个因素决定：,1,）力偶矩的大小：力与力偶臂乘积,2,）力偶在作用面内的转向,：,逆正顺负,3,、力偶的性质,1,）组成力偶的两个力在任意坐标轴上的投影和等于零，但两力不相互平衡。,2,）力偶不能合成一个力，故力偶也不能用一个力来平衡。,4,、同平面内力偶的等效定理：,在同平面内的两个力偶，若力偶矩相等，则两个力偶彼此等效。,=,=,=,F,F,d,F,1,F,1,d,1,F,2,F,2,d,2,M,5,、平面力偶系的合成与平衡,(1),平面力偶系的合成,F,1,F,1,d,1,F,2,F,2,d,2,(a),F,3,A,F,4,B,d,F,4,F,3,(b),F,A,B,d,F,(c),（,2,）平面力偶系的平衡,若力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。即,上式是平面力偶系平衡的充要条件，即,平面力偶系的平衡方程,。只有一个独立方程，只能求解一个求知数。,三铰刚架由两,直角,刚架组成，,AC,部分上作用一力偶，其力偶矩为,M,，自重不计，且,a,:,c,=,b,:,a,，求,A,、,B,支座的反力。,例,M,A,C,M,b,c,a,A,C,B,C,B,AC,为对象，,M,=0,考虑,CB,部分为二力构件，得：,解：由,a,:,c,=,b,:,a,知：AC,CB,，,受力分析,C,B,A,图示机构自重不记。圆轮上的销子,A,放在摇杆,BC,上的光滑导槽内。,M,1,=2kNm,，,OA,=,r,=0.5m,。图示位置,OA,OB,，,=30,，且系统平衡。求作用于摇杆,BC,上力偶的矩,M,2,及,O,、,B,支座的反力。,A,O,例,M,2,M,1,B,A,C,B,A,C,O,r,M,2,M,1,解：受力分析,A,B,A,O,续例,2-5,先以轮为对象，,M,=0,，,M,1,-,F,A,r,sin,=0,M,2,B,A,C,A,O,M,1,再以摇杆为研究对象，由力偶平衡条件,M,=0,，,M,2,=4,M,1,=8kNm,M,1,=2kNm,，,OA=r,=0.5m,在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为,M,1,=,M,2,=,M,3,=,M,4,=15N,m,。,求工件的总切削力偶矩和,A,、,B,端约束力。,解,:,总切削力偶矩为,因力偶只能与力偶平衡，故力,F,N,A,与力,F,N,B,必组成一力偶。,例题,横梁,AB,长,l,，,A,端用铰链杆支撑，,B,端为铰支座。梁上受到一力偶的作用，其力偶矩为,M,，如图所示。不计梁和支杆的自重，求,A,和,B,端的约束力。,A,B,D,M,l,A,B,M,F,B,F,A,例题,选梁,AB,为研究对象。梁所受的主动力为一力偶，,AD,是二力杆，因此,A,端的约束力必沿,AD,杆。梁,AB,受力如图。,解得,解,列平衡方程：,如图所示的铰接四连杆机构,OABD,，在杆,OA,和,BD,上分别作用着矩为,M,1,和,M,2,的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知,OA,=,r,，,DB,=2,r,，,q,=30,，不计杆重，试求,M,1,和,M,2,间的关系。,B,O,D,q,M,1,M,2,A,例题,写出杆,OA,和,DB,的平衡方程：,M,=0,B,D,M,2,F,D,F,BA,O,M,1,F,O,F,AB,A,解：,因为,所以求得,B,O,D,q,M,1,M,2,A,3,平面任意力系的简化,Reduction of a general coplanar force system to a given point,一,力的平移定理,作用在刚体上点,A,的力,F,可以平行移动（简称平移）到任一点,O,上，但必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原来力,F,对新作用点,B,的矩。,O,M,F,F,d,位置由,M,的转向确定,。,逆过程：,平面内的一个力和一个力偶总可以等效地被同平面内的一个力替换，但作用线平移一段距离,二平面任意力系向作用面内一点简化,主矢与主矩,(c),F,R,:,平面汇交力系的合力，其大小和方向称为原力系的主矢。,M,O,：平面力偶系的合力偶，它是原力系的主矩。,主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指明力系是对于哪一点的主矩。,结论：平面任意力系向作用面内任一点,O,简化,可得一个作用线通过简化中心的力和一个相对于简化中心的主矩。该主矩等于原力系对简化中心的矩。,能否称 为合力？,能否称 为合力偶？,大小,方向余弦,主矩,它们的解析表达式为,即主矢,R,=0,这样可知主矩与简化中心,D,的位置无关，以,B,点为简化中心有：,M,D,=M,B,=,M,-,F,3,1=1 N m,，主矩,M,D,=1 N m,一平面力系如图，已知 ，,M,=2(N m),，,求该力系向,D,点的简化结果。,例,F,2,F,3,F,1,M,A,B,C,D,3m,1 m,1 m,1 m,1 m解：,固定端约束及其约束力,A,A,A,A,A,简化图形,A,F,A,X,A,Y,A,M,A,M,A,X,A,Y,A,M,A,X,A,Y,A,M,A,X,A,Y,A,M,A,三、,平面任意力系的简化结果分析,（,1,）,F,R,=0,，,M,O,0,；（,2,）,F,R,0,，,M,O,=0,；,（,3,）,F,R,0,，,M,O,0,；（,4,）,F,R,=0,，,M,O,=0,。,进一步分析有以下三种情形,:,（,1,）简化为一个力偶,当,F,R,=0,，,M,O,0,则原力系合成为合力偶，其矩为,此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即,简化为一个合力,a,、当,F,R,0M,O,=0,原力系合成为合力，其作用线恰好通过选定的简化中心,O,，即,F,R,=,F,R,b,、,当,F,R,0,，,M,O,0,则原力系合成为合力，合力矢等于主矢，即,F,R,=,F,R,但合力作用线不通过简化中心,O,，而到点,O,的距离,d,为,至于作用线在点,O,哪一侧，需根据主矢方向和主矩转向确定。,平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。即,平衡,当,F,R,=0,，,M,O,=0,则原力系平衡。,水平梁,AB,受三角形分布的载荷作用。载荷的最大集度为,q,，,梁长,l,。试求合力作用线的位置。,例题,A,B,qx,l,在梁上距,A,端为,x,的微段,d,x,上，作用力的大小为,q,d,x,，,其中,q,为该处的载荷集度，由相似三角形关系可知,因此分布载荷的合力大小,解：,x,A,B,q,x,d,x,h,l,F,x,A,B,q,x,d,x,h,l,F,设合力,F,的作用线距,A,端的距离为,h,，根据合力矩定理，有,将,q,和,F,的值代入上式，得,思考题,水平梁,AB,受梯形分布载荷作用，载荷的最小载荷集度为,q,1,，载荷的最大载荷集度为,q,2,，梁长,l,。求合力,F,R,作用线的位置。,l,A,B,q,1,q,2,F,R,见后续,l,A,B,q,1,q,2,F,R,1,F,R,2,F,R,将梯形分布载荷分解为均布载荷和三角形分布载荷。,均布载荷,三角形载荷,梯形载荷的合力,由合力矩定理，有,即,平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。,它的解析式为,所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意一点的矩的代数和也等于零。有三个独立方程，可以求解三个未知数。,4,平面任意力系的平衡条件和平衡方程,Conditions and equations for the equilibrium of a general coplanar force system,外伸梁的尺寸及载荷如图所示，,F,1,=2 kN,，,F,2,=1.5 kN,M,=1.2 kN,m,，,l,1,=1.5 m,，,l,2,=2.5 m,，试求铰支座,A,及支座,B,的约束力。,F,1,A,B,l,2,l,1,l,l,F,2,M,例题,取梁为研究对象，受力分析如图。由平衡方程,解方程。,解：,F,Ax,A,B,x,y,F,Ay,F,1,F,By,F,2,M,如图所示为一悬臂梁，,A,为固定端，设梁上受强度为,q,的均布载荷作用，在自由端,B,受一集中力,F,和一力偶,M,作用，梁的跨度为,l,，求固定端的约束力。,A,B,l,q,F,M,例题,由平衡方程,解方程得,取梁为研究对象，受力分析如图,解,：,q,A,B,x,y,M,F,F,Ay,M,A,l,F,Ax,（,1,）二力矩形式的平衡方程,两个力矩式和一个投影式，但必须注意，,x,轴不得垂直于,A,、,B,的连线。,其它形式：,为什么会有二力矩形式的平衡方程呢,？,这是因为，如果力系对点,A,的主矩等于零，则系统有两种可能：,（,2,）,经过,A,点的一个力。,如果力系对点,B,的主矩也同时等于零，则系统仍有两种可能：,（,2,）,经过,A,点，同时又通过,B,点的一个力,。,如果再加上,X,=0,，那么力系如有合力则力垂直于,x,轴，当附加轴不允许垂直于连线,AB,时，,系统必为平衡力系。,（,1,）,平衡。,（,1,）,平衡。,A,B,x,思考：平面任意力系的平衡方程能否用三个投影方程而不用矩方程。,(2),三力矩形式的平衡方程,三个力矩式。但必须注意：,A,、,B,、,C,三点不得共线。其证明从略。无论是二矩式还是三矩式，都是一组独立的平衡方程。,3.,平面平行力系的平衡方程,两个独立平衡方程，只能求解两个未知数。,上式是平面平行力系平衡方程的基本形式，它的二矩式是,但,A,、,B,两点的两线不得与力作用线平行。,平面平行力系平衡方程为,P,2,F,A,P,1,P,3,P,F,B,A,B,3.0 m,2.5 m,1.8 m,2.0 m,例题,一种车载式起重机，车重,P,1,=26 kN,，起重机伸臂重,P,2,=4.5 kN,，起重机的旋转与固定部分共重,P,3,=31 kN,。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量,P,max,。,取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。,由平衡方程。,解：,P,P,2,F,A,P,1,P,3,F,B,A,B,3.0 m,2.5 m,1.8 m,2.0 m,不翻倒的条件是：,F,A,0,，,故,最大起吊重量为,P,max,=7.5 kN,联立求解,所以由上式可得,5,物体系的平衡,静定和超静定问题,对应于每一种力系，其独立的平衡方程数目都是一定的。,平面汇交力系和平面平行力系各有,2,个，,平面任意力系有,3,个，,平面力偶系只有,1,个。,因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的。,Th,e equilibrium of a body system The concepts of statically,determinate and statically indeterminate problems,若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。,若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题称为超静定（或静不定）问题。,图（,a,）,图（,b,）,图（,c,）,图（,d,）,图（,e,）,图（,f,）,图（,a,）,图（,b,）,图c,）,在下面各图中，并没有给出结构的主动载荷的形式，试问主动载荷会对结构的静定与否产生影响吗？指出哪些是静定，哪些是超静定，并给出超静定的次数。,图（,d,）,需要指出的是，超静定问题并不是不能求解的问题，而只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题。如果考虑到物体受力后的变形，在平衡方程外，加上足够的补充方程也可求出全部未知约束力。这将在材料力学、结构力学等课程中加以研究。,工程上很多结构都是超静定的。由于结构增加了多余约束后，使结构具有更大的刚度，更经济地利用材料，使安全更可靠。,l,/8,q,B,A,D,M,F,C,H,E,l,/4,l,/8,l,/4,l,/4,例题,组合梁,AC,和,CE,用铰链,C,相连，,A,端为固定端，,E,端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：,l,=8 m,，,F,=5 kN,，均布载荷集度,q,=2.5 kN/m,，力偶矩的大小,M,=5 kN,m,，试求固端,A,，铰链,C,和支座,E,的约束力。,C,E,1,.,取,CE,段为研究对象。,解：,联立求解。,F,E,=2.5 kN,，,F,C,=,2.5 kN,F,1,M,3,l,/8,H,l,/8,F,C,F,E,由,平衡方程,列平衡方程。,联立解之。,F,A,=15 kN,，,M,A,=,2.5 kN,m,M,A,F,2,l,/4,I,A,F,C,H,l,/8,l,/8,F,A,再,取AC,段为研究对象。,已知各杆均铰接，,B,端插入地内，,P,=1000N,，,AE,=,BE,=,CE,=,DE,=1m,，杆重不计。,求,AC,杆内力？,B,点的反力？,例,例,3-7,附属,2,a,2,a,2,a,2,a,a,a,A,B,C,D,X,A,Y,A,M,A,p,q,Q,P,N,B,例,:,静定组合梁如图，已知,Q,=10kN,，,P,=20kN,，,p,=5kN/m,，,q,=6kN/m,和,2,a,=1m,。梁自重不计，求,A,，,B,的支座反力。,解：,1,、以,CD,为对象,例,3-7(,续,1),B,D,C,q,Q,N,B,2,a,2,a,a,X,C,Y,C,X,=0,，,X,C,=0,M,C,(,F,)=0,，,Q,a,N,B,2,a,+,N,B,=,Q,2 +4,qa,3 =9,（,kN),M,B,(,F,)=0,Y,C,2,a,Q,a,+,Y,C,=,Q,2,-qa,3 =4,（,kN),Q,=10kN,，,q,=6kN/m,2,a,=1m,N,B,Y,C,X,C,N,B,X,C,Y,C,例,3-7(,续,2),2,、再以,AC,为对象,A,C,2a,2a,a,P,X,A,Y,A,M,A,p,Y,C,X,C,由（,1,）知,X,C,=0,Y,C,=4 kN,X,=0,，,X,A,=0,Y,=0,，,Y,A,P,p,2,a,Y,C,=0,Y,A,=,P,+,p,2,a,+,Y,C,=29(kN),M,A,(,F,)=0,，,M,A,P,a,p,2,a,3,a,Y,C,4,a =0,M,A,=10+7.5+8=25.5(kN m),P,=20kN,，,p,=5kN/m,，,2,a,=1m,X,A,Y,A,M,A,X,A,Y,A,M,A,A,C,校验：以整体为研究对象,例,3-7(,续,3),Y,A,P,p,2,a,Q,+,N,B,q,a,=29,20,5,10 +9,3=0,M,A,P,a,p,2,a,3,a,Q,5,a+N,B,6,a,20,qa,2,/,3,=,25.5,10,7.5,25+27,10=0,Y,=0,，,?,M,A,(,F,)=0,，,?,?,?,?,?,满 足,2,a,2,a,2,a,2,a,a,a,A,B,C,D,X,A,Y,A,M,A,p,q,Q,P,N,B,(1),保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重,P,3,应为多少,?(2),当平衡荷重,P,3,=180 kN,时，求满载时轨道,A,，,B,给起重机轮子的约束力？,例题,塔式起重机如图所示。机架重,P,1,=700 kN,，作用线通过塔架的中心。最大起重量,P,2,=200 kN,，最大悬臂长为,12 m,，轨道,AB,的间距为,4 m,。平衡荷重,P,3,到机身中心线距离为,6 m,。试问：,A,B,2 m,2 m,6 m,12 m,P,1,P,2,P,3,(1),满载时不绕,B,点翻倒，临界情况下,F,A,=0,，可得,空载时，,P,2,=0,，不绕,A,点翻倒，临界情况下,F,B,=0,，可得,取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。,则有,75 kN,P,3,350 kN,解：,A,B,2 m,2 m,6 m,12 m,P,1,P,2,P,3,(2),取,P,3,=180 kN,，求满载时轨道,A,B,给起重机轮子的约束力。,列平衡方程,解方程得,A,B,2 m,2 m,6 m,12 m,P,1,P,2,P,3,齿轮传动机构如图所示。齿轮,的半径为,r,，自重,P,1,。,齿轮,的半径为,R,=2,r,，其上固定一半径为,r,的塔轮,，轮,与,共重为,P,2,=2,P,1,。,齿轮压力角为,q,=20,被提升的物体,C,重为,P,=20,P,1,。求,：（,1,）,保持物,C,匀速上升时，作用于轮上力偶的矩,M,；,（,2,）光滑轴承,A,，,B,的约束力。,A,B,r,r,R,M,C,P,P,1,P,2,例题,(,1).,取,，,轮及重物为研究对象，受力分析如图所示。,解方程得,列平衡方程,解：,A,B,r,r,R,M,C,P,P,1,P,2,C,B,K,P,F,Bx,F,By,F,n,P,2,2.,再取,轮为研究对象，受力分析如图所示。,解方程得,由平衡方程,A,B,r,r,R,M,C,P,P,1,P,2,A,K,M,P,1,F,Ax,F,Ay,已知重力,P,，,DC=CE=AC=CB,=2,l,；定滑轮半径为,R,，动滑轮半径为,r,，且,R=,2,r=l,=45,。试求：,A,，,E,支座的约束力及,BD,杆所受的力。,D,K,C,A,B,E,P,例题,D,K,C,A,B,E,1.,选取,整体,研究对象。由平衡方程,解平衡方程,F,A,P,F,Ex,F,Ey,解：,2.,选取,DEC,研究对象。列平衡方程,E,C,K,D,解平衡方程,F,K,F,Ey,F,Ex,显然,例,:,三铰刚架如图，自重不计，求支座,A,、,B,和中间铰,C,的约束反力。,p,Q,a,a,a,A,C,B,解：以整体为研究对象,例,3-9,（续,1,）,p,Q,a,a,a,A,C,B,X,A,Y,A,X,B,Y,B,M,A,(,F,)=0,Y,B,2,a,p,a,3,a,2,Q,a,=0,Y,B,=,Q,2+3,pa,4,M,B,(,F,)=0,Y,A,2,a,p,a,a,2+,Q,a,=0,Y,A,=,pa,4,Q,2,X,=0,X,A,+,X,B,+,Q,=0,X,B,=-(,Q,+,X,A,),以,AC,为研究对象,例,3-9,（续,2,）,Q,a,a,A,C,X,A,Y,A,X,c,Y,c,M,C,(,F,)=0,Y,A,a,X,A,a,=0,X,A,=,Y,A,=,pa,4,Q,2,由前页，,XB,=-(,Q,+,X,A,),得：,X,B,=-(,pa,4+,Q,2),Q,a,a,A,C,X,A,Y,A,X,c,Y,c,X,=0,X,A,+,X,C,+,Q,=0,X,C,=-(,Q,2+,pa,4),Y,=0,Y,A,+,Y,C,=0,Y,C,=,pa,4,Q,2,仍对,AC,刚架结构，其中,A,，,B,和,C,都是铰链。试求,A,，,B,，,C,三铰链处的约束力。,P,q,A,B,C,b,a,a,/,2,a,/,2,M,例题,A,B,C,x,y,qb,P,M,F,Ax,F,Ay,F,Bx,F,By,1.,取整体为研究对象。由平衡方程,解方程得,解,：,2.,再取,AC,为研究对象受力分析如图所示。由平衡方程,A,C,x,y,qb,F,Ax,F,Ay,F,Cy,F,Cx,解方程得,例 一组合梁,ABC,的支承及载荷如图示。已知,F,1,KN,，,M,0.5,KN.m,，求固定端,A,的约束力。,DE,、,DF,、,DG,杆为二力杆,E,F,G,整体受力分析,A,为固定端,D,受水平力,以,BC,杆为对象,以节点,D,为对象,回到整个系统,例：,AB,、,BC,、,DE,三杆铰接后支承如图示。求当,DE,杆的一端有一力偶作用时，杆上,D,与,F,两点所受的力。设力偶矩的大小为,1,KN,.,m,，杆重不计。,B,D,A,F,E,C,M,45,因为只要求,D,、,F,的内力，可以不求其他约束反力。,分析,AB,杆的受力,再以,DE,杆为对象,例、图示结构由,AG,、,CB,、,DE,三杆连接而成,，,杆重不计,。,已知,：,Q,=4,2,0.5,kN,，,M,=10,kN,m,，,l,=1m,，,=,45,。,试求,：,1),支座,A,、,B,的约束力,；,2),铰链,C,、,D,的约束力,。,解：以整体为研究对象,以,ACDG,为研究对象,以,BC,为研究对象,再次以,ACDG,为研究对象,A,，,B,，,C,，,D,处均为光滑铰链，物块重为,P,，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆,AB,的,E,点，各构件自重不计，试求,B,处的约束力。,例题,P,F,Ay,F,Ax,F,C,x,F,Cy,P,解,：,取整体为研究对象。受力分析如图，由平衡方程。,解得,F,B,x,F,Ay,F,Ax,F,B,y,F,E,再取杆,AB,为研究对象，受力分析如图。,由平衡方程,联立求解可得,6,平面简单桁架的内力计算,工程中，屋架、桥架、电视塔、起重机、输电线塔等结构物常用桁架结构。,Analysis of internal force of simple plane truss,海洋石油钻井平台,桥 梁,房屋建筑,通 讯,国 防,机 械,桁架是由一些杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构。桁架中杆件铰链接头称为节点。所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。,桁架的优点是：每根杆件只承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用，节省材料，减轻结构的自重。,为简化桁架的计算，工程实际中采用以下几个假设：,（,1,）桁架中各杆件都是直杆；,（,2,）杆件用光滑铰链连接或可以简化为铰链连接；,（,3,）所受外力都作用在桁架平面内，而且都作用在节点上；,（,4,）杆件自重不计，或平均分配在杆件两端的节点上。,据此假设，桁架中每根杆件都可以视为二力杆,工程上把几根直杆连接的地方称为节点,榫,(sun),接,木桁架节点,钢桁架节点,铆接,焊接,钢筋混凝土桁架节点,刚接,各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心,各杆件都用光滑铰链相连接,所有外力，包括荷载及支座约束力都作用在节点上,本节只研究平面静定桁架，如图所示。以基本三角形,ABC,为基础，每增加一个节点，需要增加两根轴线不平行的杆件，依次类推所构成的桁架称为平面简单桁架。如果两支承点是简支的，很容易证明此桁架是静定的。,节点,杆件,无余杆桁架,从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。,无余杆桁架附属,1,从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。,无余杆桁架,无余杆桁架附属,2,从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。,无余杆桁架,无余杆桁架附属,3,从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。,无余杆桁架,无余杆桁架附属,4,从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。,除去几根杆后结构不变形,有余杆桁架,无余杆桁架,桁架的计算就是二力杆内力的计算。如果桁架是平衡的，则假想地截取桁架的一部分为分离体也是平衡的。求解桁架内力常用的方法有两种：节点法，截面法。,若分离体只包含一个节点，称为节点法，为平面汇交力系的平衡；常用来求所有杆的内力。,例题,如图平面桁架，求各杆内力。已知,F,C,=4 kN,，,F,E,=2 kN,。,a,a,a,a,F,C,A,C,D,B,E,F,F,E,解：,节点法,先取整体为研究对象。由平衡方程,联立求解得,F,Ax,=,2 kN,F,Ay,=2 kN,F,B,=2 kN,a,a,a,a,F,C,A,B,D,C,E,F,F,E,F,Ay,F,B,F,Ax,取节点,A,，受力分析如图。由平衡方程,解得,F,Ax,F,Ay,A,F,AC,F,AF,F,FE,F,FA,F,FC,F,解得,取节点,F,，受力分析如图。由平衡方程,F,CF,F,CA,F,C,C,F,CD,F,CE,取节点,C,，受力分析如图。由平衡方程,解得,F,DE,F,DC,D,F,DB,解得,取节点,D,，受力分析如图。由平衡方程,F,B,B,F,BD,F,BE,解得,取节点,B,，受力分析如图。由平衡方程,若分离体包含两个以上的节点，称为截面法，为平面任意力系的平衡，常用来求某几根杆的内力。,例题,a,a,a,a,F,C,A,C,D,B,E,F,F,E,如图平面桁架，求,FE,，,CE,，,CD,杆内力。已知铅垂力,F,C,=4 kN,，水平力,F,E,=2 kN,。,截面法,解：,a,a,a,a,F,C,A,B,D,C,E,F,F,E,F,Ay,F,B,F,Ax,先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程,联立求解得,F,Ax,=,2 kN,F,Ay,=2 kN,F,B,=2 kN,作一截面,m-m,将三杆截断，取左部分为分离体，受力分析如图。,m,a,a,a,a,F,C,A,B,D,C,E,F,F,E,F,Ay,F,B,F,Ax,m,由平衡方程,联立求解得,F,FE,F,CD,a,F,C,A,C,F,F,Ay,F,Ax,D,E,F,C,E,注意：,（,1,）一般要先求支座反力；,（,2,）所有杆件的内力最好先设为拉力，计算结果为负，说明该杆为压力；,（,3,）用节点法时，节点上的未知力一般不能多于两个，用截面法时，节点上的总未知力一般不能多于三个，否则不能全部解出；,（,4,）若只要求桁架中某几个杆件的内力时，可以适当地选取一截面截取某一部分为分离体，选择适当的力矩方程，可较快地求得某些杆的内力。,判别零力杆的方法：,图（,a,）中节点上不受力，杆,1,、,2,均为零杆。,图（,b,）中节点上不受力，杆,3,为零杆。,图（,c,）中，在节点上沿杆,1,方向作用力,F,，则杆,2,为零杆。,1,2,(a),1,2,3,(b),F,1,2,(c),F,2,=0,F,3,=0,F,1,=,F,2,=0,例 已知,P d,求：,a.b.c.d,四杆的内力？,解：由零杆判式,研究,A,点：,例,:,图,a,所示一桁架，,F,=5kN,，,b,=1.5m,。求杆,1,、,2,与,6,的内力。,悬臂式桁架如图所示。,a,=2 m,，,b,=1.5 m,，试求杆件,GH,，,HJ,，,HK,的内力。,a,a,a,a,b,b,F,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,例题,m,m,解：,先 用截面,m-m,将杆,HK,，,HJ,，,GI,，,FI,截断，取右半桁架为研究对象，受力分析如图。,A,B,C,D,F,G,H,I,m,m,F,F,HK,F,GI,F,HJ,F,FI,由平衡方程,解得,用截面,n-n,将杆,EH,，,EG,，,DF,，,CF,截断。,由平衡方程,解得,A,B,C,D,E,F,n,n,F,F,EH,F,DF,F,EG,F,CF,n,n,取右半桁架为研究对象，受力分析如图。,a,a,a,a,b,b,F,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,最后 取节点,H,为研究对象，受力分析如图。,由平衡方程,H,F,HK,F,HJ,F,EH,F,GH,解得,a,a,a,a,b,b,F,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,第三章结束,重力坝受力情况如图所示。设,P,1,=450kN,，,P,2,=200kN,，,F,1,300 kN,，,F,2,=70 kN,。求力系的合力,F,R,的大小和方向余弦,合力与基线,OA,的交点到,O,点的距离,x,，以及合力作用线方程。,例题,将力系向,O,点简化，得,主矢和主矩，,如右图所示。,解：,A,O,C,M,O,9m,3m,1.5m,3.9m,5.7m,3m,x,y,A,B,C,O,F,1,P,1,P,2,F,2,主矢的投影,9m,3m,1.5m,3.9m,5.7m,3m,x,y,A,B,C,O,F,1,P,1,P,2,F,2,所以力系合力,F,R,的大小,A,O,C,M,O,x,y,方向余弦,则有,因为力系对,O,点的主矩为,A,O,C,M,O,x,y,其中,故,解得,所以由合力矩定理得,设合力作用线上任一点的坐标为（,x,，,y,),，将合力作用线过此点，则,可得合力作用线方程,或,A,O,C,F,R,F,R,y,F,R,x,x,y,x,三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链,C,连接起来，又用铰链,A,，,B,与基础相连接。已知每段重,P,=,40 kN,，重心分别在,D,，,E,处，且桥面受一集中载荷,F,=10 kN,。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示。,例题,解：,先取,整体,为研究对象。受力分析如图。,F,Ay,=42.5 kN,F,By,=47.5 kN,再取,AC,段为研究对象。受力分析如图。,A,C,D,F,Cx