1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 定积分,定积分的有关知识是从17世纪出现和发展起来的，导致定积分出现的主要背景：一是几何上的面积，长度及体积；二是物理上的速度、距离和变力做功。本章从实际背景出发引进了定积分的定义，然后讨论它的性质和计算方法。,第一节 定积分的概念与性质,例1,求曲边梯形的面积,一、问题的提出（引例）,中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四,边形，梯形等规则图形面积的计算。,那么不规则图形的面积怎么来求呢,?,下面将介绍任,一图形面积的,计算方法，,例如：,X,A,a,b,a,b,A,2,a,b,曲边梯形（三条直边，一
2、条曲边,）,0,y,面积,A=A1-A2,故问题为求出两个曲边梯形的面积,如何去求曲边梯形的面积呢？下面将展开讨论：,1,设一曲边梯形由直线,x=a,x=b,y=0,及曲线,解：,step1：,分割 在,a,b,中任意插入,n-1,个分点,把,a,b,分成,n,个小区间,xi-1,xi(i=1n),区间长度为,(,i,=1n),所围成，求面积,A,其中,f(x),在,a,b,上连续。,step2:,近似,step3:,求和,step4:,取极限,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,例2,（求变速直线运动的路程）,思路,：,把整段时间分割成若干小段，每
3、小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1,）分割,部分路程值,某时刻的速度,（2,）求和,（3,）取极限,路程的精确值,上面两例可以看出：,两个不同问题所求的量，,采用了同样的计算方法，最终都归结为具有相同,结构的和式极限。,抛开这些问题的具体意义，在,数学上就抽象出定积分的概念。,二、定积分的定义,定义,被积函数,被积表达式,积分变量,记为,积分上限,积分下限,积分和,积分符号,注意：,由定积分定义，例,1,，例,2,分别为：,1,。极限存在指：任意分割，任一取点，和式,极限存在且相等。,2,。定积分是个数，与积分变量的符号无关，,即,3,。规定：,4,。,错误！为什么？,定理,1,定理,2,三、存在定理,且只有有限个间断点,（,第一类间断点），,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,曲边梯形面积的代数和,如图：,五、小结练习,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,分割,化整为零,求和,积零为整,取极限,精确值,定积分,求乘积,近似代替,练习,例1,解：由几何意义,例2,计算：,计算：,解：如图,例3,利用定义计算,解：,1,。将,0，1,n,等分，,2。,3,。求和,4,。,即,例4,解：,六 定积分的性质,中值定理得几何意义,
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