5.3-诱导公式.pptx

第五章 三角函数,5.3,诱导公式（第一课时）,设,是一个任意角，,R,，它的终边与单位圆相交于点,P,(,x,，,y,),(1),把点,P,的纵坐标,y,叫做,的,正弦函数,，,记作,sin,，即,y,=sin,；,(2),把点,P,的横坐标,x,叫做,的,余弦函数,，,记作,cos,，即,x,=cos,；,(3),把点,P,的纵坐标和横坐标的比值 叫做,的,记作,即,(,x,0).,终边相同的角的对应三角函数相同：,cos(+,2,k,),=cos,tan(+,2,k,),=tan,sin(+,2,k,),=sin,其中,k,Z,三角函数的概念,前面我们利用圆的几何性质（三角函数的定义）得到了同角,三角函数之间的基本关系,我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（奇偶性）也是函数的重要性质,由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性,如图，在直角坐标系内，设任意角,的,终边与单位圆交于点,P,1,，,（,1,）作,P,1,关于原点的对称点,P,2,，以,OP,2,为,终边的角与角,有什么关系？角，,的三,角函数值之间有什么关系？,（,2,）如果作,P,1,关于,x,轴（或,y,轴）的对称点,P,3,（或,P,4,），那么又可以得到什么结论？,探究,P,2,P,1,P,4,P,3,+,P,2,P,1,如图，以,OP,2,为终边的角,都是与角,终边相同的角，即,=2k,(,)(,k,Z),因此只需要研究角,和角,的三角函数关系即可,设,P,1,(,x,1,，,y,1,),，,P,2,(,x,2,，,y,2,),因为,P,1,是,P,2,关于原点的对称点，所以,x,1,=,x,2,，,y,1,=,y,2,根据三角函数的定义，得,公式二,sin,(+,),=,-,sin,cos(+,),=,-,cos,tan(+,),=,tan,从而得,-,P,1,P,3,根据三角函数的定义，得,公式三,sin,(,-,),=,-,sin,cos(,-,),=,cos,tan(,-,),=,-,tan,从而得,根据三角函数的定义，得,公式四,sin,(,-,),=,sincos(,-,),=,-,cos,tan(,-,),=,-,tan,从而得,-,P,1,P,4,对于公式一,四的概括：,【1】,+2k,，,-,，,(),的三角函数值（终边关于原点、,x,轴、,y,轴对称的角），在绝对值上等于,的同名函数值，正负取决于把,看成锐角时原函数值的符号,.,即“,函数名不变，符号看象限,.,”,【2】,对于正弦与余弦的诱导公式，,可以为任意角；对于正切的诱导公式，,的终边不能落在,y,轴上,;,【3】,诱导公式即可以用弧度制表示，也可以用角度制表示,.,【例,1,】利用公式求下列三角函数,值：,练习,1,：,利用诱导公式化简的一般思路：,切化弦，负化正、大化小；异名化同名，异角化同角,.,练习,2,：,诱导公式,锐角的,三角函数,0,2,的角,的三角函数,任意正角的,三角函数,任意负角的,三角函数,【,利用诱导公式一,四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤,】,用公式一或公式三,用公式二或公式四,用公式一,公式四,:,sin(,-,),=,sin;,cos(,-,),=,-,cos;,tan(,-,),=,-,tan.,公式三,:,sin(,-,),=,-,sin;,cos(,-,),=,cos;,tan(,-,),=,-,tan.,公式二,:,sin(+,),=,-,sin;,cos(+,),=,-,cos;,tan(+,),=,tan.,公式一,:,sin(2,k,+,),=,sin;,cos(2,k,+,),=,cos;,tan(2,k,+,),=,tan.,作,P,1,关于直线,y,=,x,的对称点,P,5,，以,O,P,5,为终边的角,与角,有什么关系？角,与角,的三角函数值之间有什么关系？,探究,根据三角函数的定义，得：,以,O,P,5,为终边的角,都是与角 终边相同的角，即 ，,P,1,P,5,公式五,以,OP,6,为终边的角为 ，,根据三角函数的定义，得：,从而得,公式六,作,P,5,关于,y,轴的对称点,P,6,，又能得到什么结论？,探究,可得,公式五,公式四,公式五,公式二,尝试由,公式二,，,公式五,，证明以下结论,.,公式六,公式二,尝试由,公式二,，,公式六，证明以下结论,.,对于公式一,六都叫做诱导公式,.,【4】,这些规律对任何三角函数,(,只要存在，有意义,),都成立,【1】,诱导公式都是,的三角函数与 的三角函数之间的转化，记忆口诀是：,奇变偶不变，符号看象限,【2】,“奇变偶不变”,：,角,前面的是 ，如果,k,是奇数，那么得到的三角函数名要发生变化，即,正弦变余弦，余弦变正弦；如果,k,是偶数，那么得到的三角函数名不变化,【3】,“符号看象限”,：,将角,看成一个锐角,(,为了判断符号，实际,可以不是锐角,),，此时判断,所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号是正还是负4】,这些规律对任何三角函数,(,只要存在，有意义,),都成立,【1】,诱导公式都是,的三角函数与 的三角函数之间的转化，记忆口诀是：,奇变偶不变，符号看象限,【2】,“奇变偶不变”,：角,前面的是 ，如果 是 的奇数倍，那么得到的,三角函数名要发生变化，即正弦变余弦，余弦变正弦；如果 是 的偶数倍，,那么得到的三角函数名不变化,【3】,“符号看象限”,：将角,看成一个锐角,(,为了判断符号，实际,可以不是锐角,),，,此时判断 所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号,是正还是负,.,sin,4,cos,4,cos,4,sin,4,(sin,2,cos,2,),2,2sin,2,cos,2,0,练习,4.,如,图，在平面直角坐标系,xOy,中，单位圆的圆心的初始位置在,(0,，,1),，此时圆上一点,P,的位置在,(0,，,0),，圆在,x,轴上沿正向滚动,.,当圆滚动到圆心位于,C,(2,，,1),时，点,P,的坐标为,_,_,_.,(,2,-,sin,2,，,1,-,cos,2),解析,如图，过圆心,C,作,x,轴的垂线，垂足为,A,，过,P,作,x,轴的垂线与过,C,作,y,轴的垂线交于点,B,.,