1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、连续函数的概念,二、初等函数的连续性,三、闭区间上连续函数的性质,第三节函数的连续性,连续变化的曲线对应的函数为连续函数,如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映,0,x,y,1.函数的增量,一、连续函数的概念,设函数 在点 附近有定义,把 附近的点 记为 ,则称 为自变量由 变到 的增量.,为,函数在点 的增量.,2,函数连续性的定义,定义,1-9,设函数 在点 及其附近有定义,如果 时,也有,即,注意,故
2、定义中,1-9,的极限式等价于,则称函数 在点 处连续,称 为 的连续点,.,因此，函数在一点连续的充分必要条件是,例,1-29,讨论函数 在 的连续性,解,所以 在 连续,单侧连续,显然,即：,解,例,1-30,设 在点 处连续,问,、,应满足什么关系,?,连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的,连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例1-31,证明,3函数的间断点,函数的不连续点称为函数的,间断点,即满足下列三个条件之一的点 为函数 的间断点.,跳跃间断点,例1-32,解,可去间断点,例1-33,在 的连续性,解,注意,
3、可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如例1-33中,跳跃间断点,与,可去间断点,统称为,第一类间断点.,特点,第二类间断点,例,1-34,解,这种情况称为,无穷间断点,解,1,-1,-,0.5,0.5,y,x,例1-35,这种情况称为,振荡间断点,第一类间断点:,可去型,跳跃型.,第二类间断点:,无穷型,振荡型.,间断点,可去型,第一类间断点,o,y,x,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,o,y,x,o,y,x,o,y,x,二、初等函数的连续性,(,1)一切基本初等函数在其有定义的点都是连续的.,(2)若函数 与 在点 连续,则函数,在 连续.,(3)若函数
4、在点 处连续,设 ,而函数 在点 处连续,则复合函数 在点 处连续.,由以上可知:初等函数在其定义域内都是连续的.,故对初等函数,求极限就是求这一点的函数值,例1-36,由于函数在其连续点 满足,解,解,例1-38,例1-37,解,而函数 在点 连续,所以,三、闭区间上连续函数性质,a,b,定理1-3,（最值定理）若函数,闭区间 上连续，则 在闭区间 上必有最大值和最小值,推论,（有界性定理）若函数,闭区间 上连续，则 在闭区间 上必有界,a,b,f(a),f(b),定理,1-4,（介值定理）若函数,闭区间 上连续，则对介于 和 之间的任何数 ，至少存在一个 ，使得,其几何意义为,连续曲线弧 与水平直线,至少相交于一点,推论,（根的存在定理）若函数,闭区间 上连续，且 与 异号（即,),，则至少存在一个 ，使得,即为方程 的根,注：,根不一定唯一,b,a,例,1-39,证明,在0，1内至少有一个根.,证明,在0 1上连续,而,由根的存在定理知，存在,(0 1),使得,在0，1内至少有一个根.,即,1函数连续的定义,2间断点,类型,：,第一类,第二类,可去型,跳跃型,无穷,振荡,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,主要内容,
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