2024-2025学年广东省广州市白云区七年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市白云区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果上升50米，记作+50米，那么下降100米，记作（　　）
A．﹣100米 B．﹣10米 C．﹣90米 D．﹣1000米
2．（3分）计算（﹣2024）×（﹣1）的结果为（　　）
A．2024 B．﹣2024 C．12024 D．-12024
3．（3分）化简整式﹣（x﹣3）的结果为（　　）
A．x﹣3 B．x+3 C．﹣x﹣3 D．﹣x+3

4．（3分）下列运用等式性质变形一定正确的是（　　）
A．若a＝b，则a﹣c＝b+c B．若a＝b，则2a＝3b
C．若a＝b，则ac＝bc D．若ac＝bc，则a＝b
5．（3分）如图，已知油用去一半时，桶和油的质量一共是a kg．当再次装满油时，桶和油的质量一共是b kg，则桶的重量是（　　）

A．2（a﹣b） B．（2a﹣b） C．（2b﹣a） D．2（b﹣a）
6．（3分）下列图形中，不是正方体的展开图的为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，则第n个图形中三角形的个数是（　　）

A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n
8．（3分）如图所示的是某月的月历，任意选取“工”型框中的7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和可能是（　　）

A．49 B．60 C．84 D．105
9．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（　　）
甲：设人数为x人，可列方程5x+45＝7x+3；
乙：设羊价为y元，可列方程为y+455=y+37．
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
10．（3分）如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝70°，则∠BOE的度数为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）﹣2﹣|﹣3|＝　 　 ．
12．（3分）体育课上全班女生进行了50米测试，达标成绩为10.6s，下面是某小组8名女生的成绩记录：﹣0.1，+0.8，0，﹣1.6，﹣0.8，﹣0.3，+1.5，﹣0.6，其中“+”号表示成绩大于10.6s，“0”号表示成绩等于10.6s，“﹣”号表示成绩小于10.6s，该小组达标的女生共有 　 　 人．
13．（3分）若﹣2axbx﹣y与5a2b5是同类项，则x＝ 　 　 ，y＝ 　 　 ．
14．（3分）如果4x﹣20与3x-42的值互为相反数，则x＝ 　 　 ．
15．（3分）计算：32°19'+16°53'16''＝ 　 　 ．
16．（3分）如图，射线OD是∠BOC的平分线，射线OE是∠AOC的平分线，∠AOB：∠BOC＝3：2．若∠BOE＝13°，则∠DOE的度数为 　 　 ．

三、解答题（共有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（4分）计算：（﹣12）+13+（﹣18）．
18．（4分）解方程：2（3﹣4x）＝1﹣3（2x﹣1）．
解：去括号，得6﹣4x＝1﹣6x﹣1，（第一步）
移项及合并同类项，得2x＝﹣6，（第二步）
系数化为1，得x＝﹣3．（第三步）
以上解方程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程．
19．（6分）先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2．其中a＝1，b＝﹣3．
20．（6分）如图，已知点A、B、O、M，请按下列要求作图并解答．
（1）连接AB；
（2）画射线OM；
（3）在射线OM上取点C，使得OC＝2AB（尺规作图，保留作图痕迹）；

21．（8分）如图所示，某长方形广场的四角都有一块半径相同的14圆形的草地，已知圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米．
（1）请列式表示广场空地的面积；
（2）若长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，计算广场空地的面积（计算结果保留π）．

22．（10分）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：
（1）求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？

23．（10分）用同样规格的黑白两种颜色的正方形地砖，按如图所示的方式组成图案：

（1）根据排列规律，第4个图案中有　 　 个黑色正方形地砖，有 　 　 个白色正方形地砖；
（2）请写出第n（n为正整数）个图案中黑色正方形地砖数和白色正方形地砖数（用含n的代数式表示）．
24．（12分）已知有理数a、b在数轴上的对应点如图所示．
（1）已知a＝﹣2.3，b＝0.4，计算|a+b|﹣|a|﹣|1﹣b|的值；
（2）已知有理数a、b，计算|a+b|﹣|a|﹣|1﹣b|的值．

25．（12分）如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，∠COD＝90°；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．

2024-2025学年广东省广州市白云区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D．
C
B
A
D
D
A
D

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果上升50米，记作+50米，那么下降100米，记作（　　）
A．﹣100米 B．﹣10米 C．﹣90米 D．﹣1000米
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果上升50米，记作+50米，那么下降100米，记作﹣100米．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
2．（3分）计算（﹣2024）×（﹣1）的结果为（　　）
A．2024 B．﹣2024 C．12024 D．-12024
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：（﹣2024）×（﹣1）＝+（2024×1）＝2024．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．
3．（3分）化简整式﹣（x﹣3）的结果为（　　）
A．x﹣3 B．x+3 C．﹣x﹣3 D．﹣x+3
【分析】根据去括号的法则直接求解即可．
【解答】解：﹣（x﹣3）＝﹣x+3．
故选：D．
【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号．
4．（3分）下列运用等式性质变形一定正确的是（　　）
A．若a＝b，则a﹣c＝b+c B．若a＝b，则2a＝3b
C．若a＝b，则ac＝bc D．若ac＝bc，则a＝b
【分析】等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘以同一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时除以同一个不为零的数字或式子，等式仍然成立．
【解答】解：根据等式的性质分析判断得：
A、若a＝b，则a﹣c＝b﹣c，变形不正确，不符合题意；
B、若a＝b，则2a＝2b，变形不正确，不符合题意；
C、若a＝b，则ac＝bc，变形正确，符合题意；
D、若ac＝bc，则a＝b（c≠0），变形不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
5．（3分）如图，已知油用去一半时，桶和油的质量一共是a kg．当再次装满油时，桶和油的质量一共是b kg，则桶的重量是（　　）

A．2（a﹣b） B．（2a﹣b） C．（2b﹣a） D．2（b﹣a）
【分析根据题意可知，b﹣a是半桶油的质量，用a﹣（b﹣a）即可得到桶的质量．
【解答】解：由题意可得，
桶的重量是a﹣（b﹣a）＝a﹣b+a＝（2a﹣b）kg，
故选：B．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
6．（3分）下列图形中，不是正方体的展开图的为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图逐项判断即可．
【解答】解：A．根据正方体的展开图特征，选项A不是正方体的展开图，故选项A符合题意；
B．根据正方体的展开图特征，选项B是正方体的展开图，故选项B不符合题意；
C．根据正方体的展开图特征，选项B是正方体的展开图，故选项C不符合题意；
D．根据正方体的展开图特征，选项B是正方体的展开图，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了正方体几种展开图的识别，熟练掌握正方体展开图的特征是解题的关键．
7．（3分）如图，则第n个图形中三角形的个数是（　　）

A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n
【分析】根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形中三角形的个数为：4＝1×4；
第2个图形中三角形的个数为：8＝2×4；
第3个图形中三角形的个数为：12＝3×4；
…，
所以第n个图形中三角形的个数为4n个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形总数的变化规律是解题的关键．
8．（3分）如图所示的是某月的月历，任意选取“工”型框中的7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和可能是（　　）

A．49 B．60 C．84 D．105
【分析】设中间的数为x，然后即可表示出这七个数字之和，再令它们的和等于各小题的数学，求出相应的x，然后对照日历表进行判定即可求解．
【解答】解：设中间的数为x，则上一行3个数分别是x﹣8，x﹣7，x﹣6，下一行3个数分别是x+6，x+7，x+8，所以这7个数的和为7x．
A．若7x＝49，则x＝7，不符合题意；
B．若7x＝60，则x=607，不符台题意：
C．若7x＝84，则x＝12，不符合题意；
D．若7x＝105，则x＝15，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，列出方程是解答关键．
9．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（　　）
甲：设人数为x人，可列方程5x+45＝7x+3；
乙：设羊价为y元，可列方程为y+455=y+37．
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
【分析】根据“每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．”设人数为x人，可列方程5x+45＝7x+3；设羊价为y元，可列方程为y-455=y-37，即可作答．
【解答】解：依题意，设人数为x人，可列方程5x+45＝7x+3；甲对，
设羊价为y元，可列方程为y-455=y-37，
则乙错了；
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，能列出方程是解题的关键．
10．（3分）如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝70°，则∠BOE的度数为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°
【分析】设∠DOE＝x，则∠BOE＝3x，根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可．
【解答】解：设∠DOE＝x，则∠BOE＝3x，
∵∠COE＝70°，
∴∠DOC＝70°﹣x，
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOD＝2•∠DOC＝140°﹣2x，
由∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°得：
140°﹣2x+x+3x＝180°，
解得x＝20°，
∴∠BOE＝60°．
故选：D．
【点评】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）﹣2﹣|﹣3|＝　﹣5　 ．
【分析】根据绝对值的性质和有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：﹣2﹣|﹣3|，
＝﹣2﹣3，
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了有理数的减法运算法则和绝对值的性质，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
12．（3分）体育课上全班女生进行了50米测试，达标成绩为10.6s，下面是某小组8名女生的成绩记录：﹣0.1，+0.8，0，﹣1.6，﹣0.8，﹣0.3，+1.5，﹣0.6，其中“+”号表示成绩大于10.6s，“0”号表示成绩等于10.6s，“﹣”号表示成绩小于10.6s，该小组达标的女生共有 　6　 人．
【分析】根据正数和负数的实际意义即可求得答案．
【解答】解：由题意可得达标的有﹣0.1，0，﹣1.6，﹣0.8，﹣0.3，﹣0.6，共6人，
故答案为：6．
【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键．
13．（3分）若﹣2axbx﹣y与5a2b5是同类项，则x＝ 　2　 ，y＝ 　﹣3　 ．
【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
【解答】解：由同类项的定义可知x＝2，x﹣y＝5，
解得x＝2，y＝﹣3．
故答案为：2，﹣3．
【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
14．（3分）如果4x﹣20与3x-42的值互为相反数，则x＝ 　4　 ．
【分析】根据相反数的定义，得4x-20+3x-42=0，解方程即可．
【解答】解：根据题意，得4x-20+3x-42=0，
去分母，得8x﹣40+3x﹣4＝0，
移项，合并同类项，得11x＝44，
解得x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了相反数，一元一次方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键．
15．（3分）计算：32°19'+16°53'16''＝ 　49°12′16″　 ．
【分析】利用度分秒之间的进率计算即可．
【解答】解：原式＝48°72′16″＝49°12′16″，
故答案为49°12′16″．
【点评】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键．
16．（3分）如图，射线OD是∠BOC的平分线，射线OE是∠AOC的平分线，∠AOB：∠BOC＝3：2．若∠BOE＝13°，则∠DOE的度数为 　39°　 ．

【分析】首先设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x，再根据角平分线性质可得∠AOE=12∠AOC=52x，再根据角的和差关系可得∠BOE=∠AOB-∠AOE=3x-52x=12x，进而得到12x=13°，再解方程即可得到x＝26°，进而得到答案
【解答】解：∵∠AOB：∠BOC＝3：2，
∴设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．
∵射线OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE=12∠AOC=52x，
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=3x-52x=12x，
∵∠BOE＝13°，
∴12x=13°，
解得，x＝26°，
∵射线OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD=12∠BOC=x=26°，
∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝26°+13°＝39°，
故答案为：39°．
【点评】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，解答本题的关键是注意分析角之间的和差关系．
三、解答题（共有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（4分）计算：（﹣12）+13+（﹣18）．
【分析】根据有理数的加法运算法则进行计算．
【解答】解：（﹣12）+13+（﹣18）
＝﹣12+13﹣18
＝﹣17．
【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键．
18．（4分）解方程：2（3﹣4x）＝1﹣3（2x﹣1）．
解：去括号，得6﹣4x＝1﹣6x﹣1，（第一步）
移项及合并同类项，得2x＝﹣6，（第二步）
系数化为1，得x＝﹣3．（第三步）
以上解方程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程．
【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可．
【解答】解：不正确，错在第一步．改正如下：
去括号，得6﹣8x＝1﹣6x+3，
移项及合并同类项，得﹣2x＝﹣2，
系数化为1，得x＝1．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，在去括号得时候记得每一项多要乘括号前面的系数以及符号的改变．
19．（6分）先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2．其中a＝1，b＝﹣3．
【分析】根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：原式＝2a2b+2ab2﹣2a2b+2﹣ab2﹣2
＝ab2，
当a＝1，b＝﹣3时，原式＝1×（﹣3）2＝9．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
20．（6分）如图，已知点A、B、O、M，请按下列要求作图并解答．
（1）连接AB；
（2）画射线OM；
（3）在射线OM上取点C，使得OC＝2AB（尺规作图，保留作图痕迹）；

【分析】（1）根据线段的画法画图即可；
（2）根据射线的画法画图即可；
（3）根据线段的尺规作图方法作图即可．
【解答】解：（1）如图所示，线段AB即为所求；
（2）如图所示，射线OM即为所求；
（3）如图所示，点C即为所求．

【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，两点之间的距离，解决本题的关键是掌握画线段，画射线，尺规作图的方法．
21．（8分）如图所示，某长方形广场的四角都有一块半径相同的14圆形的草地，已知圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米．
（1）请列式表示广场空地的面积；
（2）若长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，计算广场空地的面积（计算结果保留π）．

【分析】（1）根据图形可知：广场空地的面积＝长方形的面积﹣4个14圆的面积，然后代入数据计算即可；
（2）将长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，代入（1）中的结果计算即可．
【解答】解：（1）由图可得，
广场空地的面积为：ab-πr24×4＝（ab﹣πr2）平方米，
即广场空地的面积为（ab﹣πr2）平方米；
（2）当长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米时，
ab﹣πr2
＝300×200﹣π×102
＝（60000﹣100π）平方米，
即广场空地的面积为（60000﹣100π）平方米．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（10分）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：
（1）求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？

【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，根据对话内容列出方程即可得出结果；
（2）设小明可购买钢笔y支，根据两种物品的购买总费用272元，列出方程即可得出结果．
【解答】解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，
由题意得：10（x+1）×0.85＝10x﹣17．
解得：x＝17；
答：小明原计划购买文具袋17个；
（2）设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔（50﹣y）支，
由题意得：[8y+6（50﹣y）]×80%＝272，
解得：y＝20，
则：50﹣y＝30．
答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用问题；解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
23．（10分）用同样规格的黑白两种颜色的正方形地砖，按如图所示的方式组成图案：

（1）根据排列规律，第4个图案中有　13　 个黑色正方形地砖，有 　14　 个白色正方形地砖；
（2）请写出第n（n为正整数）个图案中黑色正方形地砖数和白色正方形地砖数（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中黑色正方形和白色正方形地砖的块数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
第1个图案中，黑色正方形的个数为：4＝1×3+1，白色正方形的个数为：5＝1×3+2；
第2个图案中，黑色正方形的个数为：7＝2×3+1，白色正方形的个数为：8＝2×3+2；
第3个图案中，黑色正方形的个数为：10＝3×3+1，白色正方形的个数为：11＝3×3+2；
…，
所以第n个图案中，黑色正方形的个数为（3n+1）个，白色正方形的个数为（3n+2）个．
当n＝4时，
3n+1＝13（个），3n+2＝14（个），
即第4个图案中，黑色正方形的个数为13个，白色正方形的个数为14个；
故答案为：13，14．
（2）由（1）知，
第n个图案中，黑色正方形的个数为（3n+1）个，白色正方形的个数为（3n+2）个．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现黑色及白色地砖块数的变化规律是解题的关键．
24．（12分）已知有理数a、b在数轴上的对应点如图所示．
（1）已知a＝﹣2.3，b＝0.4，计算|a+b|﹣|a|﹣|1﹣b|的值；
（2）已知有理数a、b，计算|a+b|﹣|a|﹣|1﹣b|的值．

【分析】（1）根据a、b的值可以求出所求式子的值；
（2）根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）当a＝﹣2.3，b＝0.4时，
|a+b|﹣|a|﹣|1﹣b|
＝|﹣2.3+0.4|﹣|﹣2.3|﹣|1﹣0.4|
＝1.9﹣2.3﹣0.6
＝﹣1；
（2）由数轴可得，a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴a+b＜0，a＜0，1﹣b＞0，
∴|a+b|﹣|a|﹣|1﹣b|
＝﹣（a+b）﹣（﹣a）﹣（1﹣b）
＝﹣a﹣b+a﹣1+b
＝﹣1．
【点评】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值，利用数轴的知识和数形结合的思想解答．
25．（12分）如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，∠COD＝90°；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题意可得，射线OC与OD重合时，20t＝5t+120，可得t的值；
（2）根据题意可得，射线OC⊥OD时，20t+90＝120+5t或20t﹣90＝120+5t，可得t的值；
（3）分三种情况，一种是以OB为角平分线，一种是以OC为角平分线，一种是以OD为角平分线，然后分别进行讨论即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
20t＝5t+120
解得t＝8，
即t＝8min时，射线OC与OD重合；
（2）由题意得，
20t+90＝120+5t或20t﹣90＝120+5t，
解得，t＝2或t＝14
即当t＝2min或t＝14min时，射线OC⊥OD；
（3）存在，
由题意得，120﹣20t＝5t或20t﹣120＝5t+120﹣20t或20t﹣120﹣5t＝5t，
解得t＝4.8或t=487或t＝12，
即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；当以OC为角平分线时，t的值为487min，当以OD为角平分线时，t的值为12min．
【点评】本题考查角的计算、角平分线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
第22页（共22页）