2024-2025学年广东省广州市花都区八年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市花都区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）若分式2x-1有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x＞1
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．a3+a4＝a7
4．（3分）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（　　）

A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
5．（3分）分式方程1x=2x+1的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x=12 D．x＝2
6．（3分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2+x＝x（x+1） B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1
7．（3分）如图，已知AB∥DE，AC∥DF，下面四个条件中，不能判定△ABC和△DEF全等的是（　　）

A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DF D．∠A＝∠D
8．（3分）用9根同样长的木棒摆成一个三角形，最长的边最多可以由（　　）根木棒组成．
A．3根 B．4根 C．5根 D．6根
9．（3分）如图，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点H为BC边上的垂足．小花放入一张等边三角形纸片BDE，E在BC上，F为AH与DE的交点，小都又放一张等边三角形纸片EFG，G在BC上．小花和小都量得EF＝5，CE＝3，那么等腰三角形纸片的底边BC长应为（　　）

A．8 B．10 C．11 D．13
10．（3分）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从A（4，0出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为30°，则将军所走的最短总路程为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，满分18分．）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为　 　 ．
12．（3分）若m+2＝3，则2m•22＝　 　 ．
13．（3分）已知多边形的各个内角都等于150°，则这个多边形的边数为　 　 ．
14．（3分）从2，a2﹣4，a+2中任选两个代数式，组成一个最简分式　 　 ．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，延长CB至D，使DB＝BA，延长BC至E，使CE＝CA，连接AD，AE，则∠DAE＝ 　 　 °．

16．（3分）如图，直线m是线段AB的垂直平分线，点C是直线m上位于AB上方的一动点，连接CA和CB，以CA为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形CAD，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E，交直线AC于点F，连接DB，与直线m交于点G，连接CE．则在点C运动的过程中，以下结论：①DC＝BC，②AC＝DF，③直线CE垂直平分线段DB，④△DAF≌△BGC，⑤∠ACE＝∠CDG中，正确的是　 　 （请填入正确的序号）．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．（4分）计算：（x﹣2）（x+3）．
18．（4分）如图，∠EAD＝∠CAB，AE＝AC，AD＝AB，求证：∠E＝∠C．

19．（6分）先化简(x2x-2+42-x)÷x+23x，然后选择一个你喜欢的数代入求值．
20．（6分）周老师在课堂上给出了一道练习题：选择一组x，y的值，求式子（x﹣y）2+x（2y﹣x）﹣（y3÷y）+2024的值．数数和学学展开了如下讨论：
数数说：“如果x，y取值不同，则原式的值就不同．”
学学说：“无论x，y取何值原式的值都不变．”
你同意哪位同学的观点．请说明理由．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，连接AD、CE交于点F，且△ABD≌△CFD．
（1）求证：△ADC是等腰直角三角形；
（2）若S△BCE＝15，S△AEF＝3，求四边形BEFD的面积．

22．（10分）为了建设“绿惠九龙•理想森活”示范区，花都区以“山与湖的率真”为设计愿景，对九龙湖环湖步道进行提升改造．步道总长8000米，现由甲、乙两个工程队承包这项改造工程．已知乙队每天改造的长度比甲队多40米．
（1）若乙队每天改造的长度是甲队每天改造长度的2倍，则甲队每天要改造多少米？
（2）若甲队负责改造3000米，剩下的由乙队完成，则两队改造时间相同，求甲、乙两队每天各改造多少米？
23．（10分）基本知识：通过用两种不同方法计算图1的面积，发现：（a+b）2＝a2+2ab+b2恒成立．基于此，请解答下列问题：
（1）直接应用：若ab＝4，a+b＝5，直接写出a2+b2的值为　 　 ；
（2）类比应用：若a（3﹣a）＝2，则a2+（3﹣a）2＝　 　 ；
（3）拓展迁移：为落实国家劳动实践教育的政策，使同学们体验劳动的快乐，掌握劳动技能．某学校计划组织八年级的学生在学校实践园开展劳动实践活动．首先在实践园用栅栏围成一个△ABC区域，用来种植草坪（如图2），其中AC⊥AB于点A，AC与AB两边的长度和为30m，然后再以AC，AB为边分别向外扩建成正方形ACDE和正方形ABFG的用地，分别种植三角梅和月季花，向外扩建的两个正方形面积和为500m2．请根据题意求种植草坪的△ABC的面积．

24．（12分）综合与实践
背景
【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】
南南和北北两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级上册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现．
素材
如图1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°．
操作：南南和北北画出∠CAB的角平分线AE与AB的垂直平分线DE，AE与DE交于点E．
发现：当AC长度不变，BC长度变化时，点E的位置也会随之变化．当点E位于某个特殊位置时，∠B的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性．

问题解决
任务1
在如图2所示的直角三角形中，南南发现：点E正好落在边BC上．
（1）请利用尺规作图帮助南南找出点E的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法）

任务2
（2）点E在图2的位置时，南南和北北发现：
①∠B＝ 　 　 ；
②BE＝2CE，请证明这一发现．
任务3
（3）继续探索发现，如图3所示，C、E、D三点共线，此时，南南和北北又有了新的发现：
①∠B＝ 　 　 ；
②若已知AD＝a，BC＝b，则能用含字母a、b的式子表示线段DE的长度．请写出DE的长度，并说明理由．

25．（12分）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，作∠ACB的平分线CF，交BD于点O，OD＝20cm，点H从点C出发以每秒3cm的速度沿射线CF运动，连接BH，以BH为边，在BH的右侧作等边△BHE，连接OE．
（1）求线段OC的长．
（2）点H在运动的过程中，BE与CE是否始终保持相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
（3）点H在运动的过程中，连接DE当DE取得最小值时，求点H的运动时间．

2024-2025学年广东省广州市花都区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
A
A
A
D
B
C
A

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）若分式2x-1有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x＞1
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：根据题意，得x﹣1≠0，
解得x≠1，
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．a3+a4＝a7
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；合并同类项法则；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故此选项符合题意；
C、a6÷a3＝a3，故此选项不符合题意；
D、a3与a4不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（3分）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（　　）

A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答．
【解答】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性；
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形具有稳定性．
5．（3分）分式方程1x=2x+1的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x=12 D．x＝2
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可．
【解答】解：1x=2x+1，
x+1＝2x，
x＝1，
检验，当x＝1时，x（x+1）≠0，
∴x＝1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
6．（3分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2+x＝x（x+1） B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【解答】解：x2+x＝x（x+1）符合因式分解的定义，则A符合题意；
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是乘法运算，则B不符合题意；
（x+1）2＝x2+2x+1是完全平方公式，则C不符合题意；
x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1中等号右边不是积的形式，则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
7．（3分）如图，已知AB∥DE，AC∥DF，下面四个条件中，不能判定△ABC和△DEF全等的是（　　）

A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DF D．∠A＝∠D
【分析】根据平行线的性质，再结合图形和全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，
A、添加BC＝EF，利用ASA判定△ABC和△DEF全等；

B、添加BE＝CF，得出BC＝EF，利用ASA判定△ABC和△DEF全等；
C、添加AC＝DF，利用AAS判定△ABC和△DEF全等；
D、添加∠A＝∠D，不能判定△ABC和△DEF全等；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
8．（3分）用9根同样长的木棒摆成一个三角形，最长的边最多可以由（　　）根木棒组成．
A．3根 B．4根 C．5根 D．6根
【分析】设三角形的最长边由x根木棒组成，由三角形三边关系定理得：9﹣x＞x，求出x＜4.5，即可得到答案．
【解答】解：设三角形的最长边由x根木棒组成，则三角形的另两边的和由（9﹣x）根木棒组成，
由三角形三边关系定理得：9﹣x＞x，
∴x＜4.5，
∴三角形的最长边最多由4根木棒组成．
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
9．（3分）如图，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点H为BC边上的垂足．小花放入一张等边三角形纸片BDE，E在BC上，F为AH与DE的交点，小都又放一张等边三角形纸片EFG，G在BC上．小花和小都量得EF＝5，CE＝3，那么等腰三角形纸片的底边BC长应为（　　）

A．8 B．10 C．11 D．13
【分析】由等腰三角形的性质推出BH＝CH，GH＝EH，得到BG＝CE＝3，即可求出BC的长．
【解答】解：∵AB＝AC，△EFG是等边三角形，AH⊥BC，
∴BH＝CH，GH＝EH，
∴BH﹣GH＝CH﹣EH，
∴BG＝CE＝3，
∵GE＝FE＝5，
∴BC＝BG+GE+CE＝3+5+3＝11．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出BG＝CE．
10．（3分）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从A（4，0）出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为30°，则将军所走的最短总路程为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】先根据轴对称的性质找到最短路径，再根基等边三角形的性质求解．
【解答】解：过A作m、n的对称点D、E，连接DE，OD，OE，交m、n于B、C，此时△BAC的周长最小，
则：OD＝OA＝OE，
∴∠DOM＝∠MOA，∠AON＝∠EAN，
∴∠DAE＝2∠MON＝60°，
∴△DOE是等边三角形，
∴DE＝OD＝OA＝4，
故选：A．

【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，满分18分．）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为　（1，2）　 ．
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出答案．
【解答】解：点A关于x轴的对称的点的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
12．（3分）若m+2＝3，则2m•22＝　8　 ．
【分析】先根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算，再代入求值即可．
【解答】解：∵m+2＝3，
∴2m•22＝2m+2＝23＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．（3分）已知多边形的各个内角都等于150°，则这个多边形的边数为　12　 ．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360度求出n的值即可．
【解答】解：∵多边形的各个内角都等于150°，
∴每个外角为30°，
设这个多边形的边数为n，则30°n＝360°，解得n＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是360°这一关键．
14．（3分）从2，a2﹣4，a+2中任选两个代数式，组成一个最简分式　2a+2（答案不唯一）　 ．
【分析】根据最简分式的定义解答即可．
【解答】解：最简分式可以是2a+2（答案不唯一），
故答案为：2a+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了最简分式，分式的分子、分母没有公因式，即为最简分式．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，延长CB至D，使DB＝BA，延长BC至E，使CE＝CA，连接AD，AE，则∠DAE＝ 　115　 °．

【分析】由题意知△ABD和△ACE均为等腰三角形，可由三角形内角和定理求得∠BAC的度数，由三角形的外角与内角的关系求得∠D与∠E的度数，然后即可求得∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∵DB＝BA，
∴∠D＝∠DAB，
∵∠ABC＝∠D+∠DAB，
∴∠D＝∠DAB＝25°，
同理可得，∠E＝∠CAE＝40°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE＝25°+50°+40°＝115°，
故答案为：115．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等边对等角、三角形的外角与内角的关系、三角形的内角和定理是解答本题的关键．
16．（3分）如图，直线m是线段AB的垂直平分线，点C是直线m上位于AB上方的一动点，连接CA和CB，以CA为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形CAD，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E，交直线AC于点F，连接DB，与直线m交于点G，连接CE．则在点C运动的过程中，以下结论：①DC＝BC，②AC＝DF，③直线CE垂直平分线段DB，④△DAF≌△BGC，⑤∠ACE＝∠CDG中，正确的是　①③⑤　 （请填入正确的序号）．

【分析】根据题干逐一判断每一选项．
【解答】解：∵直线m是AB的垂直平分线，
∴CA＝CB，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴CA＝CD，
∴DC＝BC，
故①正确，符合题意；
∵CA＝CD，DF＞CD，
∴DF＞AC，
故②不正确，符合题意；
过C作CM⊥CE，则CM＝CE，∠MCE＝90°，

∴△MCE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠ACM，
在△DCE和△ACM中，
CD=CA∠DCE=∠ACMCE=CM，
∴△DCE≌△ACM（SAS），
∴DE＝AM，
设直线m交AB于点O，
则OE＝OM．OA＝OB，
∴AE＝BM，
∴AM＝BE＝DE，
∵AC＝BC，
∴CE垂直平分线段BD，
故③正确，符合题意；
∵DF＞AC＝BC，
∴△DAF不全等于△BGC，
故④错误，不符合题意；
∵DE＝BE，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴∠CDG＝45°﹣∠CDF，
∵△MCE是等腰直角三角形，

∴∠CEM＝45°，
∴∠ACE＝∠CEM﹣∠CAE＝45°﹣∠CAE，
∵∠AEF＝∠DCF＝90°，∠AFE＝∠DFC，
∴∠CAE＝∠CDF，
∴∠ACE＝∠CDG，
故⑤正确，符合题意；
综上，①③⑤正确，
故答案为：①③⑤；
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等内容，综合性强，难度大，利用等腰直角构造手拉手全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．（4分）计算：（x﹣2）（x+3）．
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）
＝x2+3x﹣2x﹣6
＝x2+x﹣6．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．
18．（4分）如图，∠EAD＝∠CAB，AE＝AC，AD＝AB，求证：∠E＝∠C．

【分析】利用SAS证明△EAD≌△CAB，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：在△EAD和△CAB中，
AE=AC∠EAD=∠CABAD=AB，
∴△EAD≌△CAB（SAS），
∴∠E＝∠C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
19．（6分）先化简(x2x-242-x)÷x+23x，然后选择一个你喜欢的数代入求值．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝3x，然后根据分式有意义的条件，x取任意一数（其中0、2、﹣2除外）代入计算即可．
【解答】解：原式=x2-4x-2•3xx+2
=(x+2)(x-2)x-2•3xx+2
＝3x，
∵x﹣2≠0且x+2≠0且x≠0，
∴x可以取1，
当x＝1时，原式＝3×1＝3．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
20．（6分）周老师在课堂上给出了一道练习题：选择一组x，y的值，求式子（x﹣y）2+x（2y﹣x）﹣（y3÷y）+2024的值．数数和学学展开了如下讨论：
数数说：“如果x，y取值不同，则原式的值就不同．”
学学说：“无论x，y取何值，原式的值都不变．”
你同意哪位同学的观点．请说明理由．
【分析】利用同底数幂的除法，单项式乘多项式，完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：我同意学学同学的观点，
理由：（x﹣y）2+x（2y﹣x）﹣（y3÷y）+2024
＝x2﹣2xy+y2+2xy﹣x2﹣y2+2024
＝2024，
∴无论x，y取何值，原式的值都不变．
点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，同底数幂的除法，单项式乘多项式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，连接AD、CE交于点F，且△ABD≌△CFD．
（1）求证：△ADC是等腰直角三角形；
（2）若S△BCE＝15，S△AEF＝3，求四边形BEFD的面积．

【分析】（1）由全等三角形的性质推出∠ADB＝∠FDC，AD＝CD，由邻补角的性质得到∠ADB+∠FDC＝180°，求出∠ADB＝90°，推出△ADC是等腰直角三角形；
（2）求出△ABD的面积+△CDF的面积＝15+3＝18，得到△ABD的面积＝△CDF的面积=12×18＝9，即可求出四边形BEFD的面积．
【解答】（1）证明：∵△ABD≌△CFD，
∴∠ADB＝∠FDC，AD＝CD，
∵∠ADB+∠FDC＝180°，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADC是等腰直角三角形；
（2）解：∵S△BCE＝15，S△AEF＝3，
∴△ABD的面积+△CDF的面积＝15+3＝18，
∵△ABD≌△CFD，
∴△ABD的面积＝△CDF的面积=12×18＝9，
∴四边形BEFD的面积＝△ABD的面积﹣△AEF的面积＝9﹣3＝6．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰直角三角形，关键是由全等三角形的性质推出∠ADB＝∠FDCAD＝CD．
22．（10分）为了建设“绿惠九龙•理想森活”示范区，花都区以“山与湖的率真”为设计愿景，对九龙湖环湖步道进行提升改造．步道总长8000米，现由甲、乙两个工程队承包这项改造工程．已知乙队每天改造的长度比甲队多40米．
（1）若乙队每天改造的长度是甲队每天改造长度的2倍，则甲队每天要改造多少米？
（2）若甲队负责改造3000米，剩下的由乙队完成，则两队改造时间相同，求甲、乙两队每天各改造多少米？
【分析】（1）设甲队每天要改造x米，则乙队每天要改造（x+40）米，根据乙队每天改造的长度是甲队每天改造长度的2倍，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设甲队每天要改造m米，则乙队每天要改造（m+40）米，根据甲队负责改造3000米，剩下的由乙队完成，则两队改造时间相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲队每天要改造x米，则乙队每天要改造（x+40）米，
由题意得：x+40＝2x，
解得：x＝40，
答：甲队每天要改造40米；
（2）设甲队每天要改造m米，则乙队每天要改造（m+40）米，
由题意得：3000m=8000-3000m+40，
解得：m＝60，
经检验，m＝60是原方程的解，且符合题意，
∴m+40＝100，
答：甲队每天要改造60米，乙队每天要改造100米．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程方程．
23．（10分）基本知识：通过用两种不同方法计算图1的面积，发现：（a+b）2＝a2+2ab+b2恒成立．基于此，请解答下列问题：
（1）直接应用：若ab＝4，a+b＝5，直接写出a2+b2的值为　17　 ；
（2）类比应用：若a（3﹣a）＝2，则a2+（3﹣a）2＝　5　 ；
（3）拓展迁移：为落实国家劳动实践教育的政策，使同学们体验劳动的快乐，掌握劳动技能．某学校计划组织八年级的学生在学校实践园开展劳动实践活动．首先在实践园用栅栏围成一个△ABC区域，用来种植草坪（如图2），其中AC⊥AB于点A，AC与AB两边的长度和为30m，然后再以AC，AB为边分别向外扩建成正方形ACDE和正方形ABFG的用地，分别种植三角梅和月季花，向外扩建的两个正方形面积和为500m2．请根据题意求种植草坪的△ABC的面积．

【分析】（1）根据（a+b）2＝a2+2ab+b2代入计算即可；
（2）设x＝a，y＝3﹣a，由题意得xy＝2，x+y＝3，根据a2+（3﹣a）2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy代入计算即可；
（3）设AC＝a，AB＝b，由题意得，a+b＝30，a2+b2＝500，根据12ab=14[（a+b）2﹣（a2+b2）]代入计算即可．
【解答】解：（1）∵（a+b2＝a2+2ab+b2，ab＝4，a+b＝5，
∴52＝a2+2×4+b2，
∴a2+b2＝17，
故答案为：17；
（2）设x＝a，y＝3﹣a，则xy＝a（3﹣a）＝2，x+y＝3，
所以a2+（3﹣a）2
＝x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝9﹣4
＝5，
故答案为：5；
（3）设AC＝a，AB＝b，由题意得，a+b＝AC+AB＝30cm，a2+b2＝500cm2，
所以S△ABC =12AC•AB
=12ab
=12×12[（a+b）2﹣（a2+b2）]
=14×（900﹣500）
＝100．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
24．（12分）综合与实践
背景
【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】
南南和北北两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级上册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现．
素材
如图1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°．
操作：南南和北北画出∠CAB的角平分线AE与AB的垂直平分线DE，AE与DE交于点E．
发现：当AC长度不变，BC长度变化时，点E的位置也会随之变化．当点E位于某个特殊位置时，∠B的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性．

问题解决
任务1
在如图2所示的直角三角形中，南南发现：点E正好落在边BC上．
（1）请利用尺规作图帮助南南找出点E的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法）

任务2
（2）点E在图2的位置时，南南和北北发现：
①∠B＝ 　30°　 ；
②BE＝2CE，请证明这一发现．
任务3
（3）继续探索发现，如图3所示，C、E、D三点共线，此时，南南和北北又有了新的发现：
①∠B＝ 　45°　 ；
②若已知AD＝a，BC＝b，则能用含字母a、b的式子表示线段DE的长度．请写出DE的长度，并说明理由．

【分析】（1）利用尺规作图画出图形即可；
（2）①根据角平分线定义设∠BAE＝∠CAE＝α，则∠BAC＝2α根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，则∠B＝∠BAE＝α，然后根据∠B+∠BAC＝90°得α＝30°，由此可得∠B的度数；
②在Rt△ACE中，根据∠CAE＝α＝30°得AE＝2CE，再根据AE＝BE即可得出结论；
（3）①根据线段垂直平分线的性质得BC＝AC＝b，则△ABC是等腰直角三角形由此可得∠B的度数；
②线段DE的长度为b﹣a．过点E作EF⊥AC于点F，证明DE＝EF＝CF，AD＝AF即可．
【解答】（1）解：作∠CAB的角平分线AE，如图2所示：

（2）①解：∵AE平分∠CAB，
∴设∠BAE＝∠CAE＝α，
∴∠BAC＝2α
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE＝α，
在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴α+2α＝90°，
解得：α＝30°，
∴∠B＝α＝30°，
故答案为：30°；
②证明：在Rt△ACE中，∠CAE＝α＝30°，
∴AE＝2CE，
∵AE＝BE，
∴BE＝2CE；
（3）①解：∵AB的垂直平分线为DE，C、E、D三点共线，
∴BC＝AC＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠B＝∠DAC＝45°，
故答案为：45°；
②解：线段DE的长度为（2-1）a，理由如下：
过点E作EF⊥AC于点F，如图3所示：

∵EF⊥AC，ED⊥AB，AE平分∠CAB，
∴∠AFE＝∠ADE＝90°，∠EAF＝∠EAD，
∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（AAS），
∴DE＝EF，AD＝AF＝a，
∵CD垂直平分线段AB，
∴CA＝CB＝b，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD＝a，
∴b=2a，
∵∠CFE＝90°，
∴∠FEC＝∠FCE＝45°，
∴CF＝EF，
∴DE＝CD＝CA﹣AF＝b﹣a＝（2-1）a．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，理解角平分线的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
25．（12分）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，作∠ACB的平分线CF，交BD于点O，OD＝20cm，点H从点C出发以每秒3cm的速度沿射线CF运动，连接BH，以BH为边，在BH的右侧作等边△BHE，连接OE．
（1）求线段OC的长．
（2）点H在运动的过程中，BE与CE是否始终保持相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
（3）点H在运动的过程中，连接DE，当DE取得最小值时，求点H的运动时间．

【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可解答；
（2）如图1，连接AH，证明△ABH≌△CBE（SAS）和△ACH≌△BCH（SAS），即可解答；
（3）如图2，过点A作AN⊥BC于N，由线段垂直平分线的判定可知：点E在BC的垂直平分线上，即在直线AN上，所以当DE⊥AN时，DE的长最小，如图2所示，连接AH，过点H作HK⊥AN于K，计算CH的长，根据速度即可解答．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠OCD＝∠BCO＝30°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴OD=12OC，
∵OD＝20cm，
∴OC＝40cm；
（2）BE＝CE，理由如下：
如图1，连接AH，

∵△ABC和△BEH是等边三角形，
∴∠ABC＝∠EBH＝60°，AB＝BC＝AC，BH＝BE，
∴∠ABH＝∠CBE，
∴△ABH≌△CBE（SAS），
∴AH＝CE，
∵AC＝BC，∠ACH＝∠BCH，CH＝CH，
∴△ACH≌△BCH（SAS），
∴AH＝BH，
∴BE＝CE；
（3）如图2，过点A作AN⊥BC于N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AN是BC的垂直平分线，
由（2）知：BE＝CE，
∴点E在直线AN上，
∴当DE⊥AN时，DE的长最小，如图2所示，连接AH，过点H作HK⊥AN于K，

∴∠AED＝∠DEO＝90°，
∵△BEH是等边三角形，
∴BH＝EH，
由（2）知：AH＝BH，
∴AH＝EH，
∵HK⊥AN，
∴AK＝EK，
∵∠OCD＝∠OCN＝30°，∠CDO＝∠CNO＝90°，
∴∠COD＝∠CON＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∴OE=12OD＝10cm，
Rt△AOD中，∵AB＝AC，AN⊥BC，
∴∠DAO=12∠BAC＝30°，
∴AO＝2OD＝40cm，
∴AE＝40﹣10＝30（cm），
∴AK＝EK＝15cm，
∴OK＝10+15＝25（cm），
Rt△HKO中，∠HOK＝∠CON＝60°，
∴∠OHK＝30°，
∴OH＝2OK＝50cm，
∴CH＝OH+OC＝50+40＝90（cm），
∴点H的运动时间=903=30（秒）．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质和判定，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，确定点E的运动轨迹是解题的关键和难点．
第31页（共31页）