2024-2025学年广东省广州市天河区八年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市天河区八年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（　　）

A．两点之间线段最短
B．三角形具有稳定性
C．垂线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
3．（3分）计算3﹣2的结果是（　　）
A．﹣6 B．16 C．19 D．-19
4．（3分）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．（﹣a2b）3＝﹣a6b3
C．3a•4a＝12a D．（2a+b）2＝4a2+b2
6．（3分）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　）

A．5 B．7 C．7.5 D．10
7．（3分）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DC的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
8．（3分）如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（　　）

A．AC＝DB B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠ABD＝∠DCA
9．（3分）如果规定表示单项式﹣2xyz，表示多项式ab﹣cd，则计算的结果是（　　）
A．﹣4mn2﹣6m2n B．﹣4mn2+6m2n
C．﹣8mn2﹣12m2n D．﹣8mn2+12m2n
10．（3分）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（　　）

A．小正方形的边长为a-b4
B．大正方形的边长为a+b4
C．图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为ab
D．若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为ab2-b34
二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分.）
11．（3分）点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是 　 　 ．
12．（3分）我国已经成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，将0.00000023用科学记数法表示应为 　 　 ．
13．（3分）如果一个n边形的内角和等于外角和的2倍，那么n的值为 　 　 ．
14．（3分）已知：am＝3，an＝2，则，am+2n＝　 　 ．
15．（3分）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上，点Q在线段BD上．若△ACP与△BPQ全等，则AP的长为 　 　 ．

三、解答题（本大题有5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
16．（6分）（1）计算：（x﹣8y）（x+y）；
（2）因式分解：ab2﹣4a．
17．（6分）已知：如图，点E，C在线段BF上，且BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF．求证：AC＝DF．

18．（7分）已知A=(1+1x-2)÷x2-2x+1x2-4．
（1）化简A；
（2）从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值，求A的值．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝36°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接AD，求∠CAD的度数．

20．（8分）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻．
四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
21．（16分）阅读两则材料，然后根据材料解决问题：
【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
解决以下3个问题：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，CD⊥AB，写出图中的一对“等角三角形”；

（2）如图2，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，CD是△ABC的角平分线．求证：CD为△ABC的“等角分割线”；
（3）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的等角分割线，则∠ABC的度数可以是 　 　 ．
A.44°
B.38°
C.36°
D.28°
22．（12分）本学期研究完三角形全等的条件后，小天同学和小河同学对全等产生了浓厚的兴趣，两人开始思考：如何判定两个四边形全等呢？
小天认为：既然可以利用“边边边（SSS）”证明两个三角形全等，那么只要满足四组边对应相等，即可证明两个四边形全等．
小河同学立刻提出了反对意见，并举出了一个反例．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）结合给定的四边形ABCD（图1），用直尺和圆规把小河举出的反例画出来，即画一个满足条件的四边形A1B1C1D1，与四边形ABCD不全等；（保留作图痕迹，可在图1中画，也可以另画一个）
（2）沿着小河的思路，你认为至少添加几个角可以判定两个四边形全等？请在横线上添加条件并给予证明；（注：能够完全重合的两个图形称为全等图形，即各边相等，各角相等的两个四边形全等．）
已知：如图2，AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，AD＝A1D1，　 　 ．
求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．

（3）根据以上探究，我们知道当图形的某些边和角确定后，图形也就唯一确定下来．在图3，分别延长四边形ABCD的边DA和CB，交点为E，若a，b，c分别是△EDC的边ED，EC，DC的长，且满足aba+b=13，bcb+c=14，aca+c=15，求分式abcab+bc+ac的值．
23．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A，B在y轴上，且点A（0，2）与点B关于x轴对称，AB＝AC．
（1）求∠OCA的度数；
（2）如图2，在CA的延长线上取一点D，使得OD＝OC，求证：AD＝AO；
（3）如图3，点D为线段AC上一动点，连接BD，在BD左侧以BD为边作等边△BDM，当点D在线段AC上运动时，点M随之运动，当OM取得最小值时，求此时AM的长．

2024-2025学年广东省广州市天河区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
B
B
A
C
A
D
B

一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断各项即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项错误；
B．不是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项正确；
D．不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
2．（3分）如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（　　）

A．两点之间线段最短
B．三角形具有稳定性
C．垂线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如大桥上的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形具有稳定性，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容．
3．（3分）计算3﹣2的结果是（　　）
A．﹣6 B．16 C．19 D．-19
【分析】根据负整数指数幂的计算方法计算即可．
【解答】解：3﹣2=19，
故选：C．
【点评】此题主要考查的是负整数指数幂，幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
4．（3分）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．
【解答】解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线l于点Q，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短．

故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．（﹣a2b）3＝﹣a6b3
C．3a•4a＝12a D．（2a+b）2＝4a2+b2
【分析】根据整式的相关运算法则逐一计算即可．
【解答】解：A．a6÷a2＝a4，原计算错误，不符合题意；
B．（﹣a2b）3＝﹣a6b3，原计算正确，符合题意；
C．3a•4a＝12a2，原计算错误，不符合题意；
D．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
6．（3分）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　）

A．5 B．7 C．7.5 D．10
【分析】过D点作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DH⊥AB，
∴DH＝DE＝2，
∴S△ABD=12×5×2＝5．
故选：A．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．（3分）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DC的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据△ABC是等边三角形得出∠C＝60°，由DE⊥AC得出∠DEC＝90°，从而可以求出∠CDE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出DC即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴EC=12DC，
∴CD＝2EC，
∵EC＝3，
∴CD＝2×3＝6．
故选：C．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，能求出∠CDE＝30°是解此题的关键．
8．（3分）如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（　　）

A．AC＝DB B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠ABD＝∠DCA
【分析】因为∠ABC＝∠DCB，BC共边，对选项一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、补充AC＝DB，SSA不能判定△ABC≌△DCB，故A错误；
B、补充AB＝DC，可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故B正确；
C、补充∠A＝∠D，可根据AAS判定△ABC≌△DCB，故C正确；
D、补充∠ABD＝∠DCA，可根据ASA判定△ABC≌△DCB，故D正确．
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．（3分）如果规定表示单项式﹣2xyz，表示多项式ab﹣cd，则计算的结果是（　　）
A．﹣4mn2﹣6m2n B．﹣4mn2+6m2n
C．﹣8mn2﹣12m2n D．﹣8mn2+12m2n
【分析】先根据已知条件中的规定，列出算式，然后根据单项式乘单项式法则和单项式乘多项式法则进行计算即可．
【解答】解：由题意得：﹣2mn•2•（2n﹣3m）
＝﹣4mn（2n﹣3m）
＝﹣8mn2+12m2n，
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的乘法运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则和单项式乘多项式法则．
10．（3分）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（　　）

A．小正方形的边长为a-b4
B．大正方形的边长为a+b4
C．图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为ab
D．若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为ab2-b34
【分析】结合图形列出相应算式，再计算即可．
【解答】解：A．小正方形的边长为a-b4，正确，不符合题意；
B．大正方形的边长为b+2×a-b4=a+b2，原计算错误，符合题意；
C．图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为(a+b2)2-4（a-b4）2＝ab，正确，不符合题意；
D．若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为b2×a-b4=ab2-b34，正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．
二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分.）
11．（3分）点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是 　（1，2）　 ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（3分）我国已经成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，将0.00000023用科学记数法表示应为 　2.3×10﹣7　 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00000023＝2.3×10﹣7．
故答案为：2.3×10﹣7．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）如果一个n边形的内角和等于外角和的2倍，那么n的值为 　6　 ．
【分析】根据多边形的内角和是（n﹣2）×180°，外角和是360°列出方程（n﹣2）×180°＝360°×2，求出n的值即可．
【解答】解：根据题意得，（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得n＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理、外角和定理是解题的关键．
14．（3分）已知：am＝3，an＝2，则，am+2n＝　12　 ．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法的逆运算计算即可．
【解答】解：am+2n＝am•a2n＝3×4＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查同底数幂的乘法底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
15．（3分）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上，点Q在线段BD上．若△ACP与△BPQ全等，则AP的长为 　2cm或4cm　 ．

【分析】当△ACP≌△BPQ时，推出PB＝AC＝6cm，求出AP＝2cm；当△ACP≌△BQP时，推出AP=12AB＝4（cm），即可得到AP的长．
【解答】解：当△ACP≌△BPQ时，
∴PB＝AC＝6cm，
∴AP＝AB﹣PB＝8﹣6＝2（cm）；
当△ACP≌△BQP时，
∴AP＝BP，
∴AP=12AB=12×8＝4（cm），
∴AP的长为2cm或4cm．
故答案为：2cm或4cm．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．
三、解答题（本大题有5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
16．（6分）（1）计算：（x﹣8y）（x+y）；
（2）因式分解：ab2﹣4a．
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则和合并同类项法则进行计算即可；
（2）先提取公因式a，再根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝x2+xy﹣8xy﹣8y2
＝x2﹣7xy﹣8y2；
（2）原式＝a（b2﹣4）
＝a（b2）（b﹣2）．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式和分解因式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和几种常见的分解因式的方法．
17．（6分）已知：如图，点E，C在线段BF上，且BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF．求证：AC＝DF．

【分析】先证明△ABC≌△DEF，由全等三角形的性质得出结论．
【解答】证明：∵BE＝CF
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
∠A=∠D∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF （AAS），
∴AC＝DF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
18．（7分）已知A=(1+1x-2)÷x2-2x+1x2-4．
（1）化简A；
（2）从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值，求A的值．
【分析】（1）根据分式的减法法则、除法法则把A化简；
（2）根据不等式求出正整数x，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）A＝（x-2x-2+1x-2）•(x+2)(x-2)(x-1)2
=x-1x-2•(x+2)(x-2)(x-1)2
=x+2x-1；
（2）在﹣2≤x≤2的范围内，正整数有﹣2、﹣1、0、1、2，
由题意可知：x≠1和±2，
当x＝﹣1时，A=-1+2-1-1=-12，
当x＝0时，A=0+20-1=-2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝36°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接AD，求∠CAD的度数．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明DA＝DB，推出∠B＝∠DAB＝36°，再求出∠ADC＝72°可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：

（2）∵DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝36°，

∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝72°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣72°＝18°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
20．（8分）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻．
【分析】设原计划每天收割x公顷的水稻，则实际每天收割（1+20%）x公顷的水稻，根据某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前2天完成任务，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设原计划每天收割x公顷的水稻，则实际每天收割（1+20%）x公顷的水稻，
由题意得：60x-60(1+20%)x=2，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天收割5公顷的水稻．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
21．（16分）阅读两则材料，然后根据材料解决问题：
【材料一规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
解决以下3个问题：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，CD⊥AB，写出图中的一对“等角三角形”；

（2）如图2，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，CD是△ABC的角平分线．求证：CD为△ABC的“等角分割线”；
（3）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的等角分割线，则∠ABC的度数可以是 　ACD　 ．
A.44°
B.38°
C.36°
D.28°
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和判定，互为“等角三角形”的定义解答即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝40°，再根据“等角分割线”的定义证明即可；
（3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC，DA＝AC，AC和DC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC，DC＝BD，BC＝DC六种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【解答】（1）解：如图1∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°，
在△ACD和△ABC中，
∠A＝∠A，∠ACD＝∠B＝45°，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ACD和△ABC是互为“等角三角形”；
在△ACD和△BCD中，
∠A＝∠BCD＝45°，∠ACD＝∠B＝45°，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴△ACD和△BCD是互为“等角三角形”，
同理得：△BCD和△ABC是互为“等角三角形”；
（2）证明：如图2，在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝60°，

∴∠ACB＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD=12∠ACB=12×80°＝40°，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝DC，
∴△BCD为等腰三角形，
在△ADC中，∠ACD＝40°，∠A＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC，∠ACD＝∠B，
∴△ACD和△ABC是互为“等角三角形”，
∴CD为△ABC的等角分割线；
（3）解：①当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝48°，

∴∠ACB＝∠BDC＝48+48°＝96°，
∴∠ABC＝180°﹣48°﹣96°＝36°；
②当△ACD是等腰三角形，如图4，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝66°，∠BCD＝∠A＝48°，

∴∠ABC＝66°﹣48°＝18°；
③当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在；
④当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B=13（180°﹣48°）＝44°；

⑤当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，

设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣2x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+48°＝x，
解得x＝76°，
∴∠ABC＝180°﹣2x＝28°；
⑥当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在；
∴∠ABC的度数为18°或28°或36°或44°；
故选：ACD．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了“等角三角形”的定义，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论的思想是解题的关键．
22．（12分）本学期研究完三角形全等的条件后，小天同学和小河同学对全等产生了浓厚的兴趣，两人开始思考：如何判定两个四边形全等呢？
小天认为：既然可以利用“边边边（SSS）”证明两个三角形全等，那么只要满足四组边对应相等，即可证明两个四边形全等．
小河同学立刻提出了反对意见并举出了一个反例．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）结合给定的四边形ABCD（图1），用直尺和圆规把小河举出的反例画出来，即画一个满足条件的四边形A1B1C1D1，与四边形ABCD不全等；（保留作图痕迹，可在图1中画，也可以另画一个）
（2）沿着小河的思路，你认为至少添加几个角可以判定两个四边形全等？请在横线上添加条件并给予证明；（注：能够完全重合的两个图形称为全等图形，即各边相等，各角相等的两个四边形全等．）
已知：如图2，AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，AD＝A1D1，　∠B＝∠B1　 ．
求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．

（3）根据以上探究，我们知道当图形的某些边和角确定后，图形也就唯一确定下来．在图3，分别延长四边形ABCD的边DA和CB，交点为E，若a，b，c分别是△EDC的边ED，EC，DC的长，且满足aba+b=13，bcb+c=14，aca+c=15，求分式abcab+bc+ac的值．
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）添∠B＝∠B1（答案不唯一），连接AC、A1C1，证明△ABC≌△A1B1C1（SAS）得∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC＝A1C1，证明△ADC≌△A1D1C1（SSS）得∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∠D＝∠D1，则∠BAD＝∠B1A1D1∠BCD＝∠B1C1D1，由全等四边形的判定即可得出结论；
【解答】解：（1）如图所示，

四边形ABCD是正方形，四边形A1B1C1D1是菱形，二者的边长相等，但二者不全等；
（2）添加∠B＝∠B1（答案不唯一），
连接AC、A1C1，

在△ABC和△A1B1C1中，
AB=A1B1∠B=∠B1BC=B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1（SAS），
∴∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC＝A1C1，
在△ADC和△A1D1C1中，
AD=A1D1AC=A1C1CD=C1D1，
∴△ADC≌△A1D1C1（SSS），
∴∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∠D＝∠D1，
∴∠BAD＝∠B1A1D1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；
（3）∵aba+b=13，
∴a+bab=3，即1a+1b=3，
同理可得，1b+1c=4，1a+1c=5，
∴1a+1b+1b+1c+1a+1c=3+4+5＝12，
即1a+1b+1c=6，
∴1a+1b+1c=bcabc+acabc+ababc=ab+bc+acabc=6，
∴abcab+bc+ac=16．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、尺规作图、分式的化简求值等内容，正确理解题意是解题的关键．
23．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A，B在y轴上，且点A（0，2）与点B关于x轴对称，AB＝AC．
（1）求∠OCA的度数；
（2）如图2，在CA的延长线上取一点D，使得OD＝OC，求证：AD＝AO；
（3）如图3，点D为线段AC上一动点，连接BD，在BD左侧以BD为边作等边△BDM，当点D在线段AC上运动时，点M随之运动，当OM取得最小值时，求此时AM的长．

【分析】（1）由点A（0，2）与点B关于x轴对称，得OC垂直平分AB，则AC＝BC，而AC＝AB，所以AC＝BC＝AB，由等边三角形的性质得∠ACB＝60°，则∠OCA＝∠OCB=12∠ACB＝30°；
（2）由等边三角形的性质得∠BAC＝60°，由OD＝OC，得∠D＝∠OCA＝30°，所以∠AOD＝60°﹣∠D＝30°，则∠AOD＝∠D，即可证明AD＝AO；
（3）连接并延长AM交x轴于点E，作OF⊥AE于点F，由等边三角形的性质得MB＝DB，AB＝CB，∠MBD＝∠ABC＝60°，推导出∠ABM＝∠CBD，即可根据“SAS”证明△ABM≌△CBD，则∠BAM＝∠BCD＝60°，可知当点D在线段AC上运动时，点M在线段AE上运动，因为∠OFA＝90°，∠AOF＝30°，所以AF=12OA＝1，由OM≥OF，可知当点M与点F重合时，OM取得最小值，此时AM＝AF＝1．
【解答】（1）解∵点C在x轴上，点A，B在y轴上，且点A（0，2）与点B关于x轴对称，
∴OC垂直平分AB，
∴AC＝BC，
∵AC＝AB，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠OCA＝∠OCB=12∠ACB＝30°，
∴∠OCA的度数是30°．
（2）证明：由（1）得△ABC是等边三角形，∠OCA的度数是30°，
∴∠BAC＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠D＝∠OCA＝30°，
∵∠BAC＝∠AOD+∠D＝60°，
∴∠AOD＝60°﹣∠D＝30°，
∴∠AOD＝∠D，
∴AD＝AO．
（3）解：如图3，连接并延长AM交x轴于点E，作OF⊥AE于点F，则∠OFA＝90°，
∵△BDM和△ABC都是等边三角形，
∴MB＝DB，AB＝CB，∠MBD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABM＝∠CBD＝60°﹣∠ABD，
在△ABM和△CBD中，
MB=DB∠ABM=∠CBDAB=CB，
∴△ABM≌△CBD（SAS），
∴∠BAM＝∠BCD＝60°，
∴当点D在线段AC上运动时，点M在线段AE上运动，
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∵∠AOF＝90°﹣∠BAM＝30°，
∴AF=12OA＝1，
∵OM≥OF，
∴当点M与点F重合时，OM取得最小值，此时AM＝AF＝1，
∴此时AM的长是1．

【点评】此题重点考查坐标与图形性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
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