三角函数线.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.2,任意角的三角函数,1.2.1,任意角的三角函数,第二课时,知识迁移,1.,设,是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,P,（,x,，,y,），角,的三角函数是怎样定义的？,2.,三角函数在各象限的函数值符号分别如何？,一全正，二正弦，三正切，四余弦,.,3.,公式 ，,().,其数学意义如何？,终边相同的角的同名三角函数值相等,.,知识探究（一）：,思考,1,：,如图，设角,为第一象限角，其终边与单位圆的交点为,Px,，,y,），则,，都是正数，你能分别用一条线段表示角,的正弦值和余弦值吗？,P,（,x,，,y,）,O,x,y,M,思考,2,：,若角,为第三象限角，其终边与单位圆的交点为,P,（,x,，,y,），则,，都是负数，此时角,的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？,P,（,x,，,y,）,O,x,y,M,思考,3,：,为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号,.,定义：规定了方向,(,即规定了起点和终点,),的线段称为有向线段,.,类似的,规定了正方向的直线称为有向直线,.,有向线段的数量,：,若有向线段,AB,在有向直线或与有向直线平行，根据有向线段,AB,与有向直线方向相同和相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量。,A,B,C,A,AB=4,BA=4,CB=2,思考,4,：,由上分析可知，当角,为第一、三象限角时，,sin,、,cos,可分别用有向线段,MP,、,OM,表示，即,MP=,sin,，,OM=,cos,，那么当角,为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？,P,（,x,，,y,）,O,x,y,M,P,（,x,，,y,）,O,x,y,M,思考,5,：,当角,的终边在坐标轴上时，角,的正弦线和余弦线的含义如何？,O,x,y,P,P,定义,：,设角,的终边与单位圆的交点为P,，过点,P,作,x,轴的垂线，垂足为,M,，称有向线段,MP,，,OM,分别为角,的,正弦线,和,余弦线,.,M,P,（,x,，,y,）,O,x,y,思考,6,：,设,为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明,sin,cos,1,吗？,P,O,x,y,M,MP,OM,OP=1,知识探究（二）：,A,T,思考,1,：,如图，设角,为第一象限角，其终边与单位圆的交点为,P,（,x,，,y,），则 是正数，用哪条有向线段表示角,的正切值最合适？,P,O,x,y,M,A,T,思考,2,：,若角,为第四象限角，其终边与单位圆的交点为,P,（,x,，,y,），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角,的正切值最合适？,P,O,x,y,M,P,O,x,y,M,思考,3,：,若角,为第二象限角，其终边与单位圆的交点为,P,（,x,，,y,），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角,的正切值最合适？,A,T,思考,4,：,若角,为第三象限角，其终边与单位圆的交点为,P,（,x,，,y,），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角,的正切值最合适？,P,O,x,y,M,A,T,思考,5,：,根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？,过点,A,（,1,，,0,）作单位圆的切线，与角,的终边或其反向延长线相交于点,T,，则,AT=,tan,.,A,T,O,x,y,P,A,T,O,x,y,P,思考,6,：,当角,的终边在坐标轴上时，角,的正切线的几何含义如何？,O,x,y,P,P,当角,的终边在,x,轴上时，角,的正切线是一个点；当角,的终边在,y,轴上时，角,的正切线不存在,.,例,1.,分别作出 、的正弦线、余弦线、正切线。,例,2,利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条件的角,x,的集合：,在,0,2,之间满足条件的角,x,的终边,必须在图中阴影部分内（包括边界），,即,/3x2/3,，故满足条件的角,x,的集合为,x2k,k,z,在,0,2,之间满足条件的角,x,的终边应在图中阴影部,分（不包括边界），即,/2x5/6,或,3/2x11/6,故满足条件的角,x,的集合为,xk+/2xk+5/6,kz,例,3.,比较大小：,(1)sin1,和,sin1.5;(2)cos1,和,cos1.5;,(3)tan2,和,tan3.,解：由三角函数线得,sin1cos1.5,二、作法总结,(,一,),正弦线、余弦线、正切线作法总结：,的终边,M,P,O,T,T,/,第一步,：作出角,的终边,，,与单位圆交,于,点,P,;,第二步,：过点,P,作,x,轴的垂线,，,设垂足为,M,，,得正弦线,MP,、,余弦线,OM,;,第三步,：过点,A(1,0),作单位圆的切线，它与角,的终边或其反向延长线的交点设为,T,，,得角,的正切线,AT,.,A,(1,0),1,的终边,-1,小结说明,1.,三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具,.,2.,正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点,O,和点,A,（,1,，,0,）,.,3.,利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想,.,探索题：,对于不等式,（其中,为锐角），你能用数形结合思想证明吗？,P,O,x,y,M,A,T,(,五,),小结,1.,给定任意一个角,，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。,2.,三角函数线的位置：,正弦线,为从原点到,的终边与单位圆的交点在,y,轴上的射影的,有向线段,；,余弦线,为,从原点到,的终边与单位圆的交点在,x,轴上的射影的,有向线段,；,正切线,在过单位圆与,x,轴正方向的交点的切线上，为有向线段,3.,特殊情况：,当角的终边在,x,轴上时，点,P,与点,M,重合，点,T,与点,A,重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线,OM=1,或,1,。,当角的终边在,y,轴上时，正弦线,MP=1,或,1,余弦线变成了一点，它表示的数量为零，,正切线不存在,。,思考,.,已知,(0,，,),，试证明,sin,tan,.,证明：,sin,=|ON|=|MP|,=,tan,=|AT,|.,又,所以,即,sin,tan,.,再见,