土木工程识图课件1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3,正投影原理,投影基本知识,点的投影,直线的投影,平面的投影,投影变换,本章主要内容,本 章 内 容,3.1,投影基本知识,3.2,点的投影,3.3,直线的投影,3.4,平面的投影,3.5,投影变换,3.1,投影基本知识,在制图中，把光源称为,投影中心,，光线称为,投射线,，光线的射向称为,投射方向,，落影的平面（如地面、墙面等）称为,投影面,，影子的轮廓称为,投影,，用投影表示物体的形状和大小的方法称为,投影法,，用投影法画出的物体图形称为,投影图,，,如图,3.1,所示,。,3.1.1,投影的概念与分类,投影,分中心投影,和,平行投影,两大类。,由一点放射的投射线所产生的投影称为,中心投影,，,如图,3.2,（,a,）,，由相互平行的投射线所产生的投影称为,平行投影,。,平行投射线倾斜于投影面的称为,斜投影,，,如图,3.2,（,b,）,；平行投射线垂直于投影面的称为,正投影,，,如图,3.2,（,c,）,。,用正投影法绘制出的图形称为,正投影图,，,如图,3.3,所示,。,图,3.2,投影法,图,3.3,正投影图,3.1.2,工程中常用的四种图示法,图,3.4,是按中心投影法画出的透视投影图，只需一个投影面。,优点：,图形逼真，直观性强。,缺点：,作图复杂，形体的尺寸不能直接在图中度量，故不能作为施工依据，仅用于建筑设计方案的比较及工艺美术和宣传广告画等。,3.1.2.1,透视投影图,图,3.4,形体的透视投影图,图,3.5,所示是轴测投影图（也称立体图），它是平行投影的一种，画图时只需一个投影面。,优点：,立体感强，非常直观,缺点：,作图较繁，表面形状在图中往往失真，度量性差，只能作为工程上的辅助图样。,3.1.2.2,轴测投影图,图,3.5,形体的轴测投影图,采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，按正投影方法在每个投影面上分别获得同一物体的正投影，然后按规则展开在一个平面上，便得到物体的,多面正投影图,，,如图,3.6,所示,。,优点,是作图较其他图示法简便，便于度量，工程上应用最广，但缺乏立体感。,3.1.2.3,正投影图,图,3.6,形体的正投影图,标高投影,是一种带有数字标记的单面正投影。,在建筑工程上，常用它来表示地面的形状，作图时，用一组等距离的水平面切割地面，其交线为,等高线,。,将不同高程的等高线投影在水平的投影面上，并注出各等高线的高程，即为,等高线图,，也称,标高投影图,，,如图,3.7,所示,。,3.1.2.4,标高投影图,图,3.7,标高投影图,3.1.3,三面正投影图,图,3.8,中空间四个不同形状的物体，它们在同一个投影面上的正投影却是相同的。,通常，采用三个相互垂直的平面作为投影面，构成,三投影面体系,，,如图,3.9,所示,。,水平位置的平面称作,水平投影面,；与水平投影面垂直相交呈正立位置的平面称为,正立投影面,；位于右侧与,H,、,V,面均垂直相交的平面称为,侧立投影面,。,3.1.3.1,三投影面体系的建立,图,3.8,物体的一个正投影不能确定其空间的形状,图,3.9,三投影面的建立,将物体置于,H,面之上，,V,面之前，,W,面之左的空间，,如图,3.10,，按箭头所指的投影方向分别向三个投影面作正投影。,由上往下在,H,面上得到的投影称为,水平投影图,（简称,平面图,）,由前往后在,V,面上得到的投影称作,正立投影图,（简称,正面图,）,由左往右在,W,面上得到的投影称作,侧立投影图,（简称,侧面图,）,3.1.3.2,三面正投影的形成,图,3.10,投影图的形成,为了把空间三个投影面上所得到的投影画在一个平面上，需将三个相互垂直的投影面展开摊平成为一个平面。即,V,面保持不动，,H,面绕,OX,轴向下翻转,90,，,W,面绕,OZ,轴向右翻转,90,，使它们与,V,面处在同一平面上,，,如图,3.11,（,a,）,。,在初学投影作图时，最好将投影轴保留，并用细实线画出，,如图,3.11,（,b,）,。,3.1.3.3,三个投影面的展开,图,3.11,投影面展开,空间形体都有长、宽、高三个方向的尺度。,如一个四棱柱，当它的正面确定之后，其左右两个侧面之间的垂直距离称为,长度,；前后两个侧面之间的垂直距离称为,宽度,；上下两个平面之间的垂直距离称为,高度,，,如图,3.12,。,三面正投影图具有下述,投影规律,：,3.1.3.4,三面正投影图的投影规律,(1),投影对应规律,投影对应规律,是指各投影图之间在量度方向上的相互对应。,正面、平面长对正（等长）；,正面、侧面高平齐（等高）；,平面、侧面宽相等（等宽）。,(2),方位对应规律,方位对应规律,是指各投影图之间在方向位置上相互对应。,在三面投影图中，每个投影图各反映其中四个方位的情况，即：,平面图反映物体的左右和前后；正面图反映物体的左右和上下；侧面图反映物体的前后和上下,，,如图,3.13,所示,。,图,3.12,形体的长、宽、高,图,3.13,投影图与物体的方位关系,(1),作图方法与步聚,先画出水平和垂直十字相交线表示投影轴，,如图,3.14(a),根据,“三等”关系,：正面图和平面图的各个相应部分用铅垂线对正,(,等长,),；正面图和侧面图的各个相应部分用水平线拉齐,(,等高,),，,如图,3.14,（,b,）,；,利用,平面图和侧面图的等宽关系,，从,O,点作一条向右下斜的,45,线，然后在平面图上向右引水平线，与,45,线相交后再向上引铅垂线，把平面图中的宽度反映到侧面投影中去，,如图,3.14,（,c,）,。,3.1.3.5,三面正投影图的画法,图,3.14,三面正投影图画图步骤,(2),三面正投影图中的点、线、面符号,为了作图准确和便于校核，作图时可把所画物体上的点、线、面用符号来标注,（图,3.15,）,。,一般规定空间物体上的点用大写字母,A,、,B,、,C,、,D,，,、,、,、,表示，面用,P,、,Q,、,R,表示。,点或面的投影用相应的小写字母表示。,直线不另注符号，用直线两端点的符号表示，如,AB,直线的正面投影是,ab,。,图,3.15,正投影图中常用的符号,3.2,点的投影,将空间点,A,置于三投影面体系中，自,A,点分别向三个投影面作垂线（即,投射线,），三个垂足就是点,A,在三个投影面上的投影。,如图,3.16,。,用细实线将点的相邻投影连起来，如,aa,、,aa,称为,投影连线水平投影,a,与侧面投影,a,不能直接相连，作图时常以,图,3.16(c),所示的借助斜角线或圆弧来实现这个联系。,3.2.1,点的三面投影,图,3.16,点的三面投影,3.2.2,点的投影规律,点,的正面投影,a,和水平投影,a,的连线必垂直于,X,轴，即,aaOX,；,点的正面投影,a,与侧面投影,a,的连线必垂直于,Z,轴，即,aaOZ,；,点的水平投影,a,到,OX,轴的距离等于其侧面投影,a,到,OZ,轴的距离，即,aa,x,=,aa,z,；,点在任何投影面上的投影仍然是点,例,3.1,已知点,A,的两面投影,a,、,a,，求作点,A,的侧面投影,a,。,解,根据点的投影规律，a,的求作方法,如图,3.17,所示,。,图,3.17,已知点的两投影作第三投影,3.2.3,点的坐标,把,三投影面体系看作空间直角坐标系,，投影轴,OX,、,OY,、,OZ,相当于坐标轴,X,、,Y,、,Z,轴，投影面,H,、,V,、,W,相当于坐标平面，投影轴原点,O,相当于坐标系原点。,如图,3.19,（,a,）所示,，空间一点到三投影面的距离，就是该点的三个坐标（用小写字母,x,、,y,、,z,表示）。,利用点的坐标就能较容易地求作点的投影及确定空间点的位置，,如图,3.19(b),。,图,3.19,点的坐标,例,3.2,已知点,A,的坐标,x=18,y=10,z=15,，即,A,（18,，,10,，,15,），求作点,A,的三面投影图。,解,作法见,图,3.20,。,图,3.20,根据点的坐标作投影图,当,点在某一投影面上,时，它的坐标必有一个为零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上；,当,点在某一投影轴上,时，它的坐标必有两个为零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上，另一个投影则与坐标原点重合；,当,点在坐标原点上,时，它的三个坐标均为零。,特殊位置的点：,例,3.3,已知点,B,的坐标,x=20,，,y=0,，,z=10,，即,B,（,20,，,0,，,10,），求作点,B,的三面投影图。,解,作法见,图,3.21,。,图,3.21,根据坐标求点的三面投影,3.24,两点的相对位置,空间两点的相对位置可以用三面正投影图来标定；反之，根据点的投影也可以判断出空间两点的相对位置。,在三面投影中，规定：,OX,轴向左、,OY,轴向前、,OZ,轴向上为三条轴的正方向。,在投影图中，,x,坐标可确定点在三投影面体系中的左右位置，,y,坐标可确定点的前后位置，,z,坐标可确定点的上下位置。,例,3.4,试判断,C,、,D,两点的相对位置。,解,如,图,3.22,。,图,3.22,判别两点的相对位置,3.2.5,重影点及可见性,如果两点位于同一投射线上，则此两点在相应投影面上的投影必重叠，重叠的投影称为,重影,，重影的空间两点称为,重影点,。,如图,3.23,中，A,、,B,是位于同一投射线上的两点，它们在,H,面上的投影,a,和,b,相重叠。,A,在,H,面上为,可见点,，点,B,为,不可见点,。,图,3.23,重影点,例,3.5,已知点,C,的三面投影,如图,3.24,（,a,）,，且点,D,在点,C,的正右方,5mm,，点,B,在点,C,的正下方,10mm,，求作,D,、,B,两点的投影，并判别重影点的可见性。,解,(1)d,与,c,重合，,如图,3.24,（,b,）,。,(2),两点的水平投影,b,、,c,重合，,如图,3.24,（,c,）,。,(3)c,可见，,d,不可见，,d,加上括号以示区别。从上向下投影时，,c,可见，,b,不可见，不可见的投影,b,加括号以示区别。,图,3.24,求作点的投影并判别可见性,3.2.6,点的辅助投影,为了解决某一问题，有目的地在某基本投影面上适当的地方设立一个与之垂直的投影面，借以辅助解题，这种投影面称为,辅助投影面,。辅助投影面上的投影，称为,辅助投影,。,点的辅助投影,如,图,3.25,和,图,3.26,。,图,3.25,点的辅助投影（一）,图,3.26,点的辅助投影（二）,3.3,直线的投影,真实性：,直线平行于投影面时，其投影仍为直线，并且反映实长，这种性质称为真实性，,如图,3.27,（,a,）,。,积聚性：,直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点，这种性质称为积聚性，,如图,3.27,（,b,）,。,收缩性：,直线倾斜于投影面时，其投影仍是直线，但长度缩短，不反映实长，这种性质称为收缩性，,如图,3.27(c),。,3.3.1,直线的投影规律,图,3.27,直线的投影,3.3.2,直线的三面投影,首先作出直线上两端点在三个投影面上的各个投影，然后分别连接这两个端点的同面投影即为该直线的投影，,如图,3.28,所示,。,图,3.28,作直线的三面正投影图（投影面的倾斜线）,3.3.3,各种位置直线及投影特性,空间直线按其相对于三个投影面的不同位置关系可分为三种：,投影面平行线,、,投影面垂直线,和,投影面倾斜线,。,前两种称为,特殊位置直线,，后一种称为,一般位置直线,。3.3.3.1,投影面平行线,定义：,指平行于一个投影面，而倾斜于另外两个投影面的直线。,分类及投影图：,投影面平行线可分为：,正平线,水平线,侧平线,这三种平行线的投影图,如表,3.1,所示,。,投影特性：,直线在所平行的投影面上的投影反映实长，并且该投影与投影轴的夹角,(,、,、,),等于直线对其他两个投影面的倾角。,直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，但其投影长度缩短。,平行线空间位置的判别：,一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行哪个面。,表,3.1,投影面平行线,名称,水平线,正平线,侧平线,直,观,图,投,影,图,3.3.3.2,投影面垂直线,定义：,指垂直于一个投影面，而平行于另外两个投影面的直线。,分类及投影图：,投影面,垂直线,可分为：,正垂线,铅垂线,侧垂线,这三种,垂直线,的投影图,如表,3.2,所示,。,投影特性：,直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。,直线在另外两个投影面上的投影同时平行于一条相应的投影轴且均反映实长。,垂直线,空间位置的判别,：,一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直哪个面。,表,3.2,投影面垂直线,名称,铅垂线,正垂线,侧垂线,直,观,图,投,影,图,3.3.3.3,一般位置线,定义：,与三个投影面均倾斜的直线，称为一般位置线。,投影图：,一般位置线在,H,、,V,、,W,三个投影面上的投影,如图,3.28,所示,。,投影特性：,直线的三个投影仍为直线，但不反映实长；,直线的各个投影都倾斜于投影轴,一般位置线的判别：,三个投影三个斜，定是一般位置线。,图,3.28,作直线的三面正投影图（投影面的倾斜线）,3.3.4,直线上点的投影特性,点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合点的投影规律，如,图,3.29,中的,K,点。,若直线上的点分线段成比例，则该点的各投影也相应分线段的同面投影成相同的比例。,在,图,3.29,中，,K,点把直线,AB,分为,AK,、,KB,两段，则有：,图,3.29,直线上的点,例,3.6,已知直线,AB,的投影,ab,及,ab,，,如图,3.30(a)求作直线上一点,C,的投影，使,ACCB=32,。,解,图,3.30,利用定比性作直线上点的投影,例,3.7,已知侧平线,AB,的,V,、,H,投影及线上一点,K,的,V,面投影,k,，试求点,K,的,H,投影，,如图,3.31(a),。,解,图,3.31,求作直线上点的投影,例,3.8,已知侧平线,CD,和点,E,的,H,、,V,面投影，试判断点,E,是否在直线,CD,上，,如图,3.32,。,解,图,3.32,判断点是否在直线上,3.3.5,两直线的相对位置,空间两直线有三种不同的相对位置，即,相交,、,平行,和,交叉,。,两相交直线或两平行直线都在同一平面上，所以它们都称为,共面线,两交叉直线不在同一平面上，所以称为,异面线,。,两直线相交时，,如图,3.33,的,AB,和,CD,，它们的交点,E,既是,AB,线上的一点，又是,CD,线上的一点。,3.3.5.1,两相交直线,图,3.33,两相交直线的投影,例,3.9,给出平面四边形,ABCD,的,V,投影及其两条边的,H,投影，试完成整个,H,投影。,解,作图步聚,如图,3.34,。,图,3.34,求四边形的,H,投影,根据平行投影的特性可知，两平行直线在同一投影面上的投影相互平行。,如图,3.35,所示,。,3.3.5.2,两平行直线,图,3.35,两平行直线的投影,例,3.10,给出平行四边形,ABCD,的两边,AB,和,AC,的投影，试完成,ABCD,的投影。,解,作图步骤,如图,3.36,所示,。,图,3.36,作平行四边形的投影,两交叉直线既不平行，也不相交。,虽然两交叉直线的某一同面投影有时可能平行，但所有同面投影不可能同时都相互平行。,两交叉直线的同面投影也可能相交，但这个交点只不过是两直线的一对重影点的重合投影。,例如图,3.37,。,两交叉直线有一个可见性问题。,3.3.5.3,两交叉直线,图,3.37,两交叉直线,例,3.1,1,给出一个三棱锥各侧棱的,V,、,H,投影，试判断轮廓线内的两条交叉侧棱的可见性。,解,如图,3.3,8,所示,。,图,3.38,三棱锥的可见性问题,两直线的夹角，其投影有下列,三种情况,：,当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影反映实形。,当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形。,当两直线中有一直线平行于某投影面时，如果夹角是直角，则它在该投影面上的投影仍然是直角。,如图,3.39,所示,，直线,AB,垂直于,BC,，其中,AB,是水平线。,两交叉直线也有相互垂直的。,3.3.5.,4,两相互垂直直线,图,3.39,两相互垂直的直线,例,3.1,2,求点,A,到水平线,BC,的距离,（图,3.40,）,。,解,图,3.40,求一点到水平线的距离,3.4,平面的投影,平面是广阔无边的，它在空间的位置可用下列的几何元素来确定和表示。,不在同一直线的三个点，例如,图,3.41(a),的点,A,、,B,、,C,。,一直线和线外一点，例如,图,3.41(b),的点,A,和直线,BC,。,两相交直线，例如,图,3.41(c),的直线,AB,和,AC,。,两平行直线，例如,图,3.41(d),的直线,AB,和,CD,。,平面图形，例如,图,3.41(e),的,ABC,。,3.4.1,平面表示法,图,3.41,平面的表示法,3.4.2,平面的投影规律,真实性,平面平行于投影面时，其投影仍为一个平面，且反映该平面的实际形状，这种性质称为,真实性,，,如图,3.42(a),。,积聚性,平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线，这种性质称为,积聚性,，,如图,3.42(b),。,收缩性,平面倾斜于投影面时，其投影为不反映实形且缩小了的类似形线框，这种性质称为,收缩性,，,如图,3.42(c),。,图,3.42,平面的投影,3.4.3,平面的三面投影,平面通常是由点、线或线、线所围成。因此，求作平面的投影，实质上也是求作点和线的投影。,如图,3.43,，空间一平面,ABC,，若将其三个顶点,A,、,B,、,C,的投影作出，再将各同面投影连接起来，即为三角形,ABC,平面的投影。,图,3.43,一般位置平面,3.4.4,各种位置平面及投影特性,空间平面按其相对三个投影面的不同位置关系可分为三种，即,投影面平行面,、,投影面垂直面,和,投影面倾斜面,。,前两种称为,特殊位置平面,，后一种称为,一般位置平面,。,3.4.4.1,投影面平行面,定义：,指平行于一个投影面，同时垂直于另外两个投影面的平面。,分类及投影图：,投影面平行线可分为：,正平面,水平面,侧平面,这三种平行面的投影图,如表,3.3,所示,。,投影特性：,平面在所平行的投影面上的投影反映实形。,平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。,平行面空间位置的判别：,一框两直线，定是平行面；框在哪个面，平行哪个面。,表,3.3,投影面平行面,名称,水平面,正平面,侧平面,直,观,图,投,影,图,3.4.4.2,投影面垂直面,定义：,指垂直于一个投影面，同时倾斜于另外两个投影面的平面。,分类及投影图：,投影面平行线可分为：,正垂面,铅垂面,侧垂面,这三种垂直面的投影图,如表,3.4,所示,。,投影特性：,平面在所垂直的投影面上的投影，积聚成一条倾斜于投影轴的直线，且此直线与投影轴之间的夹角等于空间平面对另外两个投影面的倾角。,平面在与它倾斜的两个投影面上的投影为缩小了的类似线框,。,平行面空间位置的判别：,两框一斜线，定是垂直面；斜线在哪面，垂直哪个面。,表,3.4,投影面垂直面,名称,铅垂面,正垂面,侧垂面,直,观,图,投,影,图,3.4.4.3,一般位置面,定义：,与三个投影面均倾斜的平面，称为一般位置面投影图：,一般位置面的三个投影都呈倾斜位置，如图,3.43,所示。,投影特性：,平面的三个投影既没有积聚性，也不反映实形，而是原平面图形的类似形。,一般位置线的判别：,三个投影三个框，定是一般位置面。,例,3.1,3,试判断,图,3.44,所示,的立体表面上平面、直线的空间位置。,解,图,3.44,立体表面平面、直线的空间位置,3.4.5,平面上的直线与点,平面上的直线,一直线若通过平面内的两点，则此直线必位于该平面上，由此可知，平面上直线的投影，必定是过平面上两已知点的同面投影的连线。,平面上的点,若点在直线上，直线在平面上，则点必定在平面上。,在平面上取点、取线,在平面上取点，首先要在平面上取线。而在平面上取线，又离不开在平面上取点。,例,3.1,4,已知一平行四边形,ABCD,和,K,点的两面投影，试判断,K,点是否在平面上，,如图,3.45(a),。,解,图,3.45,点和平面相对位置判断,例,3.1,5,已知四边形,ABCD,，求作过,A,点且在该平面上的一条水平线。,解,如图,3.46,所示,。,图,3.46,求作平面上水平线的投影,例,3.1,6,已知三角形,ABC,及其上一点,K,的正面投影,k,，,如图,3.47,（,a,）,，求作,K,点的水平投影,k,。,解,图,3.47,作平面上点的投影,例,3.1,7,已知五边形,ABCDE,的面投影及一边,AB,的,H,面投影，并知,AC,为正平线，试完成其面投影（,如图,3.48(a),）。,解,图,3.48,作平面的投影,3.4.6,平面上的特殊直线,常用的有平面上的,正平线,和,水平线,。,要在一般面,ABC,上作一条,正平线,，可根据正平线的,H,投影是水平的这个投影特点，先在,ABC,的水平投影上作一任意水平线，作为所求正平线的,H,投影，然后作出它的,V,投影，,如图,3.49,所示,。,在,ABC,上作,水平线,，也要抓住它的,V,投影一定水平的投影特点，作图步骤,如图,3.49,所示,。,3.4.6.1,平面上的投影面平行线,图,3.49,面上作正平线和水平线,3.4.6.2,平面上的最大斜度线,平面上对某投影面的最大斜度线，就是在该面上对该投影面倾角最大的一条直线。它必然垂直于平面上平行于该投影面的所有直线，包括该平面与该投影面的交线（迹线）。,如图,3.50(a),所示,，平面,P,上的直线,AB,，是平面,P,上对,H,面倾角最大的直线。,要作,ABC,对,H,面的最大斜度线，,如图,3.50(b),所示,。,图,3.50(c),中,AG,垂直于正平线,BF,，所以它就是面上对,V,面的最大斜度线。,图,3.50,作面上的最大斜度线,3.5,投影变换,求两平行线的距离问题如,图,3.51(a),所示。,当两平行管道,AB,和,CD,都垂直于同一投影面时，如,图,3.51(b),。,当两平行线都平行于同一投影面时，如,图,3.51(c),当两平行线都是一般位置线时，如,图,3.51(d),利用某些方法，使原来对投影面处于一般位置的空间几何元素，变换为对投影面处于特殊位置或其他有利于解决问题的位置，称为,投影变换,。,3.5.1,概述,图,3.51,两平行线的距离,3.5.2,换面法,采用,换面法,时，令空间元素保持不动，通过设立辅助投影面建立新的投影面体系，使空间元素在新投影面体系中处在有利于解题的位置。,通过更换一次投影面（简称,一次换面,）可以,解决如下问题：,把一般线变为新投影面的,平行线,(,图,3.52(a),),，解决了求线段的实长和对另一投影面的倾角问题。,把投影面平行线变为新投影面的,垂直线,（图,3.52(b),），,可以解决一点到一投影面平行线的距离和两根平行的投影面平行线的距离等问题。,把一般面变为新投影面的,垂直面,(,图,3.52(c),，解决了平面对投影面的倾角、一点到一平面的距离、两平行面间的距离、直线与一般面的交点和两平面交线等问题。,把投影面垂直面变为新投影面的,平行面,（图,3.52(d),），,解决了求投影面垂直面的实形问题。,图,3.52,一次换面法,总结上述一次换面的经验可知，在设立新投影面时，,必须注意：,新投影面必须设立在使空间元素有利于解题的位置。,新投影面必须垂直于原有投影面体系中的一个投影面，使新投影面和与它垂直的那个原投影面组成一个新投影面体系，才能应用正投影规律作出空间元素的新投影。,新投影面设立的正确与否,，对于解题是否简捷，甚至解题是否可能，都是个关键问题。,为求图,3.51,（,d,）所示两平行线的距离，可考虑设置一平面,Q,垂直于平行线,AB,和,CD,（,图,3.53,）。,AB,是,VH,体系的一般线，垂直于,AB,的平面,Q,，在,VH,体系中也必然是一般面（,图,3.54,）。,一般线,AB,要变换为投影面垂直线，必须经过,二次换面,。,如图,3.55,所示,。,要把一般面变换为新投影面的平行面，也要经过,二次换面,才能完成。,如图,3.56,所示,。,所谓,二次换面实质上就是进行,两次“一次换面”,。,现以处于,VH,投影面体系中的点,A,为例，说明一次换面的作图方法，,如图,3.57,所示,。,图,3.53,两平行线的距离,图,3.54,设立,QAB,图,3.55,加设辅助投影面,V,1,图,3.56,变一般面为平行面,图,3.57,二次换面法,例,3.1,8,求点,A,到直线,BC,的距离,AK,。,解,.,空间分析,图,3.58,垂线,AK,的实长（,图,3.59,）,.,作图步骤,作出点,A,和直线,BC,的投影图。,设立辅助投影面,V,1,BC,，作出点,A,和直线,BC,在,V,1,上的新投影,a,1,和,b,1,c,1,（,图,3.60a),）。,设立第二辅助投影面,H,2,BC,，作出点,A,和直线,BC,在,H,2,上的新投影,a,2,和（,b,2,）,c,2,。,图,3.58,点,A,与直线,BC,图,3.59,作垂线,AK,的方法,作辅助投影面,H,2,BC,图,3.60,求点,A,到直线的距离,3.5.3,旋转法,与换面法不同，旋转法不需要设立新的投影面，而是使直线和平面等几何要素绕某一轴线旋转到对原投影面处于有利于解题的位置，因此又称为,换位法,。,当圆锥轴线垂直于,H,面时，圆锥素线的投影如,图,3.61,。,在旋转法中，点,C,绕铅垂线,O,旋转如,图,3.62,。,点,C,绕正垂线,O,旋转如,图,3.63,。,图,3.61,圆锥素线的投影,图,3.62,点,C,绕铅垂线,O,旋转,图,3.63,点,C,绕正垂线,O,旋转,例,3.1,9,求一般线段,AB,的实长和对,V,面的倾角,。,解,.,空间分析,图,3.64a,.,作图步骤,过点,A,作旋转轴,O,垂直于,V,面（,图,3.64(b),）,以,a(o,),为圆心，,ab,为半径，作圆弧。（,图,3.64(c),）。,连,ab,1,和,ab,1,（,图,3.64(c),）,。,图,3.64,直线的旋转,例,3.20,求铅垂面,ABC,的实形（,图,3.65(a),）。,解,.,空间分析,ABC是一个铅垂面，只要绕垂直于H面的轴线旋转到与V面平行的位置，它的投影即可反映实形。,.,作图步骤,设旋转轴垂直于,H,面，并通过点,A,。,将,ABC,旋转为平行于,V,面。（,图,3.66(b),）,再在,V,投影作图。（,图,3.66(c),）,连,ab,1,、,b,1,c,1,、,c,1,a,。（,图,3.66(d),）,图,3.65,铅垂面的旋转,