三维旋转矩阵(大学).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,7,章 三维变换,7.1,简介,7.2,三维几何变换,7.3,三维坐标变换,7.1,简介,三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理起来更为复杂。,与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描述空间三维变换的变换矩阵是,4,4,的形式。,由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。,7.2,三维几何变换,7.2.1,基本三维几何变换,1.,平移变换,若空间平移量为,(t,x,t,y,t,z,),，则平移变换为,P,(,x,y,z,),P,(,x,y,z,),x,y,z,补充说明：点的平移、物体的平移、多面体的平移、逆变换,2.,比例变换,（,1,）相对坐标原点的比例变换,一个点,P=(,x,y,z,),相对于坐标原点的比例变换的矩阵可表示为,x,y,z,其中,为正值。,（,2,）相对于所选定的固定点的比例变换,z,x,y,（,x,f,y,f,z,f,),z,x,y,（,x,f,y,f,z,f,),z,x,y,（,x,f,y,f,z,f,),z,x,y,（,x,f,y,f,z,f,),(1),(2),(3),3.,绕坐标轴的旋转变换,三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转轴。,若以坐标系的三个坐标轴,x,y,z,分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。,规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。,（,1,）绕,z,轴旋转,x,x,x,y,y,y,z,z,z,（,2,）绕,x,轴旋转,（,3,）绕,y,轴旋转,绕,z,轴旋转,绕,x,轴旋转,绕,y,轴旋转,旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图形变换的情况，将其旋转矩阵,中的元素添入相应的位置中，即,对于单位矩阵,旋转变换矩阵规律,:,，,绕哪个坐标轴,(1),绕,z,轴正向旋转,角，旋转后点的,z,坐标值不变,x,、,y,坐标的变化相当于在,xoy,平面内作正,角旋转。,(2),绕,x,轴正向旋转,角，,旋转后点的,x,坐标值不变，,Y,、,z,坐标的变化相当于在,yoz,平面内作正,角旋转。,即,这就是说，绕,y,轴的旋转变换的矩阵与绕,x,轴和,z,轴变换的矩阵从表面上看在符号上有所不同。,(3),绕,y,轴正向旋转,角，,y,坐标值不变，,z,、,x,的坐标相当,于在,zox,平面内作正,角旋转，于是,7.2.2,组合变换,物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤,:,(1),平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合,;,(2),沿着该坐标轴进行指定角度的旋转,;,(3),平移物体使旋转轴移回到原位置。,x,y,z,x,y,z,(a),(b),y,x,z,(c),x,z,(d),绕任意轴旋转的变换,(1),平移物体使旋转轴通过坐标原点,;,x,y,z,P,1,P,2,x,y,z,P,1,P,2,(1),(2),旋转物体使旋转轴与某个坐标轴,(,如,z,轴,),重合,;,(3),关于该坐标轴进行指定角度的旋转,;,x,y,z,P,1,P,2,(2),y,x,z,P,1,P,2,(3),(4),应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向,;,(5),应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。,x,y,z,P,1,P,2,(4),x,y,z,P,1,P,2,(5),例,.,求变换,A,V,，使过原点的向量,V=(a,b,c),与,z,轴的正向一致。,x,y,z,V,x,y,z,实现步骤,:,(1),将,V,绕,x,轴旋转到,xz,平面上,;,(2),再绕,y,轴旋转使之与,z,轴正向重合。,旋转角度的确定：绕,x,轴旋转的角度 等于向量,V,在,yz,平面上的投影向量与,z,轴正向的夹角。,x,y,z,V=(a,b,c),V,1,=(0,b,c),V,V,根据矢量的点乘与叉乘，可以算出,:,因此，,类似地，可以求出,:,利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：,x,y,z,P,1,P,2,x,y,z,P,1,P,2,1),T,x,y,z,P,1,P,2,2),x,z,P,1,P,2,3),给定具有单位长的旋转轴,A=a,x,a,y,a,z,和旋转角 ，,则物体绕,OA,轴旋转变换的矩阵表示可确定如下：,A,轴角旋转,7.2.3,绕任意轴旋转变换的简单算法,x,y,z,o,其中,表示,M,的转置矩阵。,利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：,传统的方法通过绕坐标轴旋转变换的乘积表示绕任意轴旋转的变换。与之相比，这种方法更直观。,x,y,z,P,1,P,2,x,y,z,P,1,P,2,其中旋转轴,A=a,x,a,y,a,z,为,A,7.2.4,三维变换矩阵的功能分块,（,1,）三维线性变换部分,（,2,）三维平移变换部分,（3,）透视变换部分,（,4,）整体比例因子,7.3,三维坐标变换,几何变换：在一个参考坐标系下将物体从一个位置移动到另一个位置的变换。,坐标变换：一个物体在不同坐标系之间的坐标变换。如从世界坐标系到观察坐标系的变换；观察坐标到设备坐标之间的变换。再如，对物体造型时，我们通常在局部坐标系中构造物体，然后重新定位到用户坐标系。,坐标变换的构造方法,:,与二维的情况相同，为将物体的坐标描述从一个系统转换为另一个系统，我们需要构造一个变换矩阵，它能使两个坐标系统重叠。具体过程分为两步：,（,1,）平移坐标系统,oxyz,，使它的坐标原点与新坐标系统的原点重合；,（,2,）进行一些旋转变换，使两坐标系的坐标轴重叠。,有多种计算坐标变换的方法，下面我们介绍一种简单的方法。,x,y,z,(0,0,0),x,z,y,设新坐标系,oxyz,原点的坐标为（,x,0,y,0,z,0,），相对原坐标系其单位坐标矢量为：,将原坐标系,xyz,下的坐标,转换成新坐标系,xyz,的坐标可由以下两步完成：,首先，平移坐标系,xyz,，使其原点与新坐标系,xyz,的原点（,x,0,y,0,z,0,）重合；,x,y,z,(0,0,0),x,z,y,x,y,z,(0,0,0),平移矩阵为：,(,x,y,z,),第二步，利用单位坐标向量构造坐标旋转矩阵,该矩阵,R,将单位向量,分别变换到,x,y,和,z,轴。,综合以上两步，从,oxyz,到,oxyz,的坐标变换的矩阵为,说明：变换矩阵,TR,将一个直角坐标系变换为另一个坐标系。即使一个坐标系是右手坐标系，另一个为左手坐标系，结论依然成立。,，也即坐标变换公式为：,习题,7,7-1,对于点,P(x,y,z),，,(1),写出它绕,x,轴旋转 角，然后再绕,y,轴旋转 角的变换矩阵。,(2),写出它绕,y,轴旋转 角，然后再绕,x,轴旋转 角的变换矩阵。所得到的变换矩阵的结果一样吗,?,7-2,写出绕空间任意轴旋转的变换矩阵。,