直线和面的投影.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,三,章,点、直线和平面的投影,1,将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直，进而确定主视图的投影方向,整体和局部都要符合三视图的投影规律,可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用线绘制，当,虚线与实线重合时画实线,特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系,4,、三视图的绘制,2,a,a,a,x,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,a,a,x,a,z,a,z,解法一,:,通过作,45,线使,a,a,z,=aa,x,解法二,:,用分规直接量取,a,a,z,=aa,x,a,3,特殊位置点：,4,d,d,e,e,f,f,e,f,d,z,x,YW,YH,0,例：已知点的两投影，求其第三投影,d,a,a,a,5,各种位置点的投影,空间点,点的,X,、,Y,、,Z,三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。,投影面上的点,点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。,投影轴上的点,点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。,与原点重合的点,点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。,6,四、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的,上下、前后、左右,位置关系。,判断方法：,x,坐标值大的在左,y,坐标值大的在前,z,坐标值大的在上,B,点在,A,点之前、之右、之下。,b,a,a,a,b,b,X,Y,H,Y,W,Z,7,已知,A,点在,B,(10,2,1),点之前,5,毫米，之上,9,毫米，之右,8,毫米，求,A,点的投影,。,a,a,a,X,Z,Y,W,Y,H,O,b,b,b,9,8,5,8,两点左右位置关系，大者在左方。,两点的上下位置关系，大者在上方。,两点前后位置关系，大在前方。,两点的相对位置的判定方法,9,重影点：,10,重影点及可见性判别,若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。,重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,11,2.3,直线的投影,投影面平行线,平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线,投影面垂直线,垂直于一个投影，平行于另二个投影面 的直线,一般位置直线,倾斜于三个投影面的直线,。,直线相对投影面的种类,12,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,A,B,a,b,直线垂直于投影面,投影重合为一点,积聚性,直线平行于投影面,投影反映线段实长,ab=AB,直线倾斜于投影面,投影比空间线段短,ab=ABcos,A,B,a,b,A,M,B,abm,a,a,a,b,b,b,13,1,、,投影面平行线,水平线,正平线,侧平线,14,b,a,a,b,a,b,b,a,a,b,b,a,在其平行的那个投影面上的投影反映实长，,并反映直线与另两投影面倾角的实大。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影,轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与,H,面的夹角,:,与,V,面的角,:,与,W,面的夹角,:,实长,实长,实长,b,a,a,a,b,b,15,2,、,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,16,反映线段实长。且垂直,于相应的投影轴。,铅垂线,正垂线侧垂线,另外两个投影,，,在其垂直的投影面上，,投影有积聚性,。,投影特性,:,c,(,d,),c,d,d,c,a,b,a(b),a,b,e,f,e,f,e,(,f,),17,3,、一般位置直线,18,投影特性：,三个投影都缩短。即,:,都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。,a,b,b,a,b,a,19,2.4,直线与点及两直线的相对位置,一、直线与点的相对位置,20,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。,点在直线上的判别方法,：,AC/CBac/cb=,a,c,/c,b,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,21,直线上的点具有两个特性：,1,从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。,2,定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即,A C,:,C B,=,a c,:,c b,=,a,c,:,c,b,=,a,c,:,c,b,A,B,b,b,a,a,X,O,c,c,C,c,22,点C不,在直线,AB上,例,1,：判断点,C,是否在线段,AB,上。,a,b,c,a,b,c,c,a,b,c,a,b,点,C,在直线,AB上,投影点在同名投影线上也符合定比定律,23,例,2,：判断点,K,是否在线段,AB,上。,a,b,k,因,k,不在,a,b,上，,故点,K,不在,AB,上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,另一判断法,?,ak/kbak/kb,24,例题,3,已知点,C,在线段,AB,上，求点,C,的正面投影。,b,X,a,a,b,c,c,ac,cb,X,O,A,B,b,b,a,a,c,C,c,H,V,用定比定律,25,b,b,X,a,a,BC,例题,4,已知线段,AB,的投影，试定出属于线段,AB,的点,C,的投影，使,BC,的实长等于已知长度,L,。,c,L,AB,z,A,-z,B,c,ab,26,二、两直线的相对位置,平行,相交,交叉,垂直相交,27,两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各,同名投影,必相互平行，反之亦然。,a,V,H,c,b,c,d,A,B,C,D,b,d,a,28,a,b,c,d,c,a,b,d,例,1,：判断图中两条直线是否平行。,对于,一般位置直线,，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,29,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于,特殊位置直线,，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB,与,CD,不平行。,例,2,：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,如何判断？,30,H,V,A,B,C,D,K,a,b,c,d,k,a,b,c,k,d,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k,两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，,则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律,。,交点是两直线的共有点,31,c,a,b,b,a,c,d,k,k,d,例：过,C,点,作水平线,CD,与,AB,相交。,先作正面投影,32,d,b,a,a,b,c,d,c,1,(,2,),3(4),两直线交叉,同名投影可能相交，但,“交点”,不符合空间一个点的投影规律,。,“交点”,是两直线上的一 对,重影点的投影,，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、,是面的重影点，,、,是,H,面的重影点。,1,2,3,4,两直线相交吗？,33,例题 判断两直线的相对位置,b,a,a,c,d,d,c,b,X,1,1,d,1,c,1,两直线交叉,34,判断两直线重影点的可见性,X,O,B,D,A,C,b,b,a,a,c,c,d,d,(3,)4,1(2),4,3,3,4,1,2,1,2,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,35,例题,判断两直线重影点的可见性,b,b,c,d,d,c,X,a,a,3,(4,),3,4,1,2,1(2),36,4,、两直线垂直相交（或垂直交叉）,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面,因 BCAB,同时,BCBb,所以,BCABba,平面,直线在,H,面上的投影互相垂直,即 abc,为直角,因此,bcab,故,bc ABba,平面,又因,BCbc,A,B,C,a,b,c,H,a,c,b,a,b,c,.,证明：,37,d,a,b,c,a,b,c,d,例：过,C,点作直线与,AB,垂直相交。,AB,为正平线,正面投影反映直角。,.,38,e,e,e,e,c,c,例 已知直线AB的两面投影和C点的水平投影,试过C点作一条直线CE垂直于AB,求直线,CE的两面投影。,c,b,a,b,a,O,X,39,f,例题 过点,E,作线段,AB,、,CD,的公垂线,EF,。,f,O,c,b,a,a,b,X,c,d,d,e,e,40,小 结,点与直线的投影特性，尤其是,特殊位置直线的投影特性,。,点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。,定比定理。,直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,41,一、各种位置直线的投影特性,一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。,投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。,投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,42,二、直线上的点,点的投影在直线的同名投影上。,点分线段成定比，点的投影必分线段的投影,成定比,定比定理。,三、两直线的相对位置,平行,相交,交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,43,四、相互垂直的两直线的投影特性,两直线同时平行于某一投影面时，在该,投影面上的投影反映直角。,两直线中有一条平行于某一投影面时，,在该投影面上的投影反映直角。,两直线均为一般位置直线时，,在三个投影面上的投影都不,反映直角。,直角定理,44,2.5,平面的投影,一、,平面的表示法,a,b,c,a,b,c,不在同一直线上的三个点,a,b,c,a,b,c,直线及线外一点,a,b,c,a,b,c,d,d,两平行直线,a,b,c,a,b,c,两相交直线,a,b,c,a,b,c,平面图形,1,、用几何元素表示平面,45,2,、平面的迹线表示法,46,V,H,P,P,V,P,H,P,V,P,H,V,H,Q,V,Q,H,Q,H,Q,V,Q,47,平行,垂直,倾斜,投 影 特 性,平面平行投影面,-,真实性,平面垂直投影面,-,积聚性,平面倾斜投影面,-,类似性,平面对一个投影面的投影特性,二、平面的投影特性,48,平面在三投影面体系中的投影特性,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，,垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,正垂面,侧垂面,铅垂面,正平面,侧平面,水平面,49,1,）投影面垂直面,铅垂面,正垂面,侧垂面,50,V,W,H,P,P,H,铅垂面,投影特性：1、,abc,积聚为一条线,2、,a,b,c,、,a,b,c,为,ABC,的类似形,3、,abc,与,OX,、,OY,的夹角,反映,、,角的真实大小,A,B,C,a,c,b,a,b,a,b,b,a,c,c,c,51,V,W,H,Q,Q,V,正垂面,投影特性：1、,a,b,c,积聚为一条线,2、,abc,、,a,b,c,ABC,的类似形,3、,a,b,c,与,OX,、,OZ,的夹角,反映,、,角的真实大小,a,b,a,b,b,a,c,c,c,A,c,C,a,b,B,52,V,W,H,S,W,S,侧垂面,投影特性：1、,a,b,c,积聚为一条线,2、abc、,a,b,c,为,ABC,的类似形,3、,a,b,c,与,OZ,、,OY,的夹角,反映,、,角的真实大小,C,a,b,A,B,c,a,b,b,b,a,a,c,c,c,53,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,是什么位置的平面？,54,2,）投影面平行面,水平面,正平面,侧平面,55,V,W,H,水平面,投影特性：,1,、,a,b,c,、,a,b,c,积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性,2,、水平投影,abc,反映,ABC,实形,C,A,B,a,b,c,b,a,c,a,b,c,c,a,b,b,b,a,a,c,c,56,正平面,V,W,H,投影特性：,1,、,abc,、,a,b,c,积聚为一条线，具有积聚性,2,、正平面投影,a,b,c,反映,ABC,实形,c,a,b,b,a,c,b,c,a,b,a,c,a,b,c,b,c,a,C,B,A,57,投影特性：,1,、,abc,、,a,b,c,积聚为一条线，具有积聚性,2,、侧平面投影,a,b,c,反映,ABC,实形,侧平面,V,W,H,a,b,b,b,a,c,c,c,a,b,c,b,a,c,a,b,c,C,A,B,a,58,a,b,c,a,b,c,a,b,c,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,59,3,）一般位置平面,60,一般位置平面,投影特性,1,、,abc,、,a,b,c,、,a,b,c,均为,ABC,的类似形,2,、不反映,、,、,的真实角度,a,b,c,b,a,c,a,b,a,b,b,a,c,c,b,a,c,C,A,B,61,判断直线在平面内的方法,定 理 一,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,定 理 二,若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,平面上取任意直线,三、平面上的直线和点,62,63,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,a,d,m,n,n,m,d,例,1,：已知平面由直线,AB,、,AC,所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有多少解？,有无数解。,64,例,2,：在平面,ABC,内作一条水平线，使其到,H,面的距 离为,10mm,。,n,m,n,m,10,c,a,b,c,a,b,唯一解！,有多少解？,65,平面上取点,66,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例,1,：已知,K,点在平面,ABC,上，求,K,点的水平投影。,b,a,c,c,a,k,b,k,面上取点的方法：,首先面上取线,a,b,c,a,b,k,c,d,k,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,67,例题,2,已知,ABC,给定一平面，试判断点,D,是否属于该平面。,d,d,a,b,c,a,b,c,e,e,68,b,c,k,a,d,a,d,b,c,a,d,a,d,b,c,k,b,c,例,3,：已知,AC,为正平线，补全平行四边形,ABCD,的水平投影。,解法一,解法二,69,3,、平面上的投影面平行线,一般位置平面上存在,一般位置直线,和,投影面平行线,，不存在投影面垂直线。,70,a,b,c,b,a,c,例题,已知,ABC,给定一平面，试过点,C,作属于该平面的正平线，过点,A,作属于该平面 的水平线,。,m,n,n,m,71,例：在平面,ABC,上取一点,K,，使点,K,在点,A,之下,15mm,、在点,A,之前,20mm,处。,72,2.6,圆的投影,圆的投影特性：,1,、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；,2,、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；,3,、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；,73,2.7,直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括,平行,、,相交,和,垂直,。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面平行,定理：,若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。,74,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例,1,：过,M,点作直线,MN,平行于平面,ABC,。,有无数解,有多少解？,75,正平线,例,2,：过,M,点作直线,MN,平行于,V,面和平面,ABC,。,c,b,a,m,a,b,c,m,n,唯一解,n,76,例题,3,试判断直线,AB,是否平行于定平面,f,g,f,g,b,a,a,b,c,e,d,e,d,c,结论：直线,AB,不平行于定平面,77,两平面平行,若一平面上的,两相交直线,对应平行于另一平面上的,两相交直线,，则这两平面相互平行。,若两,投影面垂直面,相互平行，则它们,具有积聚性,的那组投影必相互平行。,f,h,a,b,c,d,e,f,h,a,b,c,d,e,c,f,b,d,e,a,a,b,c,d,e,f,78,例题,1,试判断两平面是否平行,f,e,d,e,d,f,c,a,a,c,b,b,m,n,m,n,r,r,s,s,结论：两平面平行,79,例题,2,已知定平面由平行两直线,AB,和,CD,给定。试过点,K,作一平面平行于已知平面。,e,m,n,m,n,f,e,f,s,r,s,r,d,d,c,a,a,c,b,b,k,k,80二、相交问题,直线与平面相交,平面与平面相交,直线与平面相交,直线与平面相交，其,交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：,求,直线与平面的,交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即,判别可,见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,81,82,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,平面为特殊位置,例：求直线,MN,与平面,ABC,的交点,K,并判别可见性。,空间及投影分析,平面,ABC,是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与,mn,的交点即为,K,点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，,KN,段在平面前，故正面投影上,k,n,为可见。,还可通过重影点判别可见性。,k,1,(,2,),作 图,k,2,1,83,84,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线,MN,为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点,K,的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点,位于平面上，在前；点,位于,MN,上，在后。故,k,2,为不可见。,1,(,2,),k,2,1,作图,用面上取点法,85,两平面相交,两平面相交其交线为直线，,交线是两平面的共有线，,同时,交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求,两平面的,交线,方法：,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：,判别可见性。,86,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m,(n,),空间及投影分析,平面,ABC,与,DEF,都为,正垂面,，它们的正面投影都积聚成直线。,交线必为一条正垂线,，,只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。,求交线,判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面,ABC,在上，其水平投影可见。,n,m,如何判别？,例：求两平面的交线,MN,并判别可见性。,87,88,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。a,b,与,e,f,的交点m,、bc,与f,h,的交点n,即为两个共有点的正面投影，故,m,n,即MN的正面投影,。,求交线,判别可见性,点,在,FH,上，点,在,BC,上，,点,在上，点,在下，故,fh,可见，,n2,不可见。,作 图,m,n,2,n,m,1,89,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N,点的水平投影,n,位于,def,的外面，说明点,N,位于,DEF,所确定的平面内，但不位于,DEF,这个图形内。,所以,ABC,和,DEF,的交线应为,MK,。,n,n,m,k,m,k,互交,90,小 结,重点掌握：,二、,如何在平面上确定直线和点。,三,、两平面平行的条件一定是分别位于两平面,内的,两组相交直线对应平行。,四,、,直线与平面的交点及平面与平面的交线是,两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是,如何利用重影点判别。,一,、平面的投影特性，,尤其是特殊位置平面的,投影特性。,91,要 点,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形,类似性,。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线,积聚性,。,另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形,实形性,。,另外两个投影积聚为直线。,92,二、平面上的点与直线,平面上的点,一定位于平面内的某条直线上,平面上的直线,过平面上的两个点。,过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。,三、平行问题,直线与平面平行,直线平行于平面内的一条直线。,两平面平行,必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,93,四、相交问题,求直线与平面的交点的方法,一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用,交点的共有性和平面的积聚性直接求解。,投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用,交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上,取点的方法求解。,求两平面的交线的方法,两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，,有时可找出两平面的一个共有点，根据交线,的投影特性画出交线的投影。,一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用,特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共,有点，求出交线。,94,特殊位置线面相交,特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的,积聚性投影,直接求出。（,l,）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。（,2,）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。,95,b,b,a,a,c,c,m,m,n,n,直线与,特殊位置,平面相交,由于,特殊位置,平面的某些投影有积聚性,，,交点可直接求出。,V,H,P,H,P,A,B,C,a,c,b,k,N,K,M,k,k,96,判断直线的可见性,V,H,P,H,P,A,B,C,a,c,b,k,N,K,M,b,b,a,a,c,c,m,m,n,k,k,n,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,97,一般位置平面与,特殊位置,平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求,两个共有点,的问题,由于,特殊位置,平面的某些投影有积聚性,，,交线可直接求出。,n,l,m,m,l,n,b,a,c,c,a,b,f,k,f,k,V,H,M,m,n,l,P,B,C,a,c,b,P,H,k,f,F,K,N,L,98,判断平面的可见性,b,b,a,c,n,l,m,c,m,a,l,n,f,k,f,k,V,H,M,m,n,l,B,C,a,c,k,f,F,K,N,L,99,