第三章Z变换(数字信号处理).ppt

第三章 序列的,Z,变换,3,序列的,Z,变换,3.1 Z,变换的定义,序列,x(n),的,Z,变换定义为,(3.1),式中,z,是一个复变量，它所在的复平面称为,z,平面。注意在定义中，对,n,求和是在,之间求和，可以称为双边,Z,变换。还有一种称为单边,Z,变换的定义，如下式,(3.2),使,(3.3),式成立，,Z,变量取值的域称为收敛域。一,般收敛域用环状域表示,这种单边,Z,变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种,Z,变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边,Z,变换对信号进行分析和变换。,(3.1),式,Z,变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即,(3.3),图,3.1 Z,变换的收敛域,常用的,Z,变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示,分子多项式,P(z),的根是,X(z),的零点，分母多项式,Q(z),的根是,X(z),的极点。在极点处,Z,变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。,对比序列的傅里叶变换定义，很容易得到,FT,和,ZT,之间的关系，用下式表示,：,(3.4),式中,z=e,j,表示在,z,平面上,r=1,的圆，该圆称为单位圆。,(3.4),式表明单位圆上的,Z,变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的,Z,变换，可用,(3.4),式，很方,便的求出序列的,FT,，,条件是收敛域中包含单位圆。,例,3.1 x(n)=u(n),，,求其,Z,变换。,解：,X(z),存在的条件是,|z-1|1,，,|z|1,由,x(z),表达式表明，极点是,z=1,，,单位圆上的,Z,变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用,(3.4),式求,FT,。,该序列的,FT,不存在，但如果引进奇异函数,(),，,其傅里叶变换可以表示出来,(,见表,2.3.2),。该例同时说明一个序,列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内,Z,变换是存在的。,3.2,序列特性对收敛域的影响,序列的特性决定其,Z,变换收敛域。,1.,有限长序列,如序列,x(n),满足下式：,x(n)n,1,nn,2,x(n)=,0,其它,即序列,x(n),从,n,1,到,n,2,序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其,Z,变换为,设,x(n),为有界序列，由于是有限项求和，除,0,与两点是否收敛与,n,1,、,n,2,取值情况有关外，整个,z,平面均收敛。如果,n,1,0,，,则收敛域不包括,z=0,点；如果是因果序列，收敛域包括,z=,点。具体有限长序列的收敛域表示如下：,n,1,0,，,n,2,0,时，,0z,n,1,0,时，,00,时，,0z,例,3.2,求,x(n)=R,N,(n),的,Z,变换及其收敛域,解：,这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为,0z,。但由结果的分母可以看出似乎,z=1,是,X(z,),的极点，但同时分子多项式在,z=1,时也有一个零点，极零点对消，,X(z,),在单位圆上仍存在，求,R,N,(n,),的,FT,，可将,z=,e,j,代入,X(z,),得到，其结果和例题,2.2.1,中的结果,(2.3.5),公式是相同的。,2.,右序列,右序列是在,nn,1,时，序列值不全为零，而其它,nn,1,，序列值全为零。,ROC,：,分析：,当,n,1,0,时,第一项为有限长序列，设,n,1,-1,，,其收敛域为,0|z|,。,第二项为因果序列，其收敛域为,R,x-,|z|,，,Rx-,是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为,R,x-,|z|,。,如果,x(n,),是因果序列，收敛域定为,R,x-,|z|,。,推论：如序列,x(n,),的,Z,变换的收敛域包含点，则,x(n,),是因果序列,例,3.3,求,x(n)=,a,n,u(n,),的,Z,变换及其收敛域,解：,在收敛域中必须满足,|a,z,-1,|a|,。,3.,左序列,左序列是在,nn,2,时，序列值不全为零，而在,nn,2,，,序列值全为零的序列。左序列的,Z,变换表示为,当,n,2,0,当,n,2,0,第二项为有限长序列，在整个,Z,平面收敛（,z=,点不收敛,）。,第一项根据前式的论述，当,时收敛,因此左序列的收敛域是半径为,R,+的圆内区域,例,3.4,求,x(n)=-a,n,u(-n-1),的,Z,变换及其收敛域。,X(z),存在要求,|a,-1,z|1,，,即收敛域为,|z|R,x-,，,其收敛域为,R,x-,|z|R,x+,，,这是一个环状域，如果,R,x+,R,x-,，,两个收敛域没有公共区域，,X(z),没有收敛域，因此,X(z),不存在。,例,3.5 x(n)=a,|n|,，,a,为实数，求,x(n),的,Z,变换及其收敛域。,解：,第一部分收敛域为,|,az,|1,，,得,|z|a|,-1,，,第二部分收敛域为,|az,-1,|a|,。,如果,|a|1,，,两部分的公共收敛域为,|a|z|a|,-1,，其,Z,变换如下式：,|a|z|a|,-1,如果,|a|1,，,则无公共收敛域，因此,X(z),不存在。,当,0aa,，求其,Z,反变换,x(n,),。,为了用留数定理求解，先找出,F(z),的极点，极点有：,z=a;,当,n0,时,z=0,共二个极点，其中,z=0,极点和,n,的取值有关。,n0,时，,z=0,不是极点。,n0,时，,z=0,是一个,n,阶极点。因此,分成,n0,和,n0,两种情况求,x(n),。,n0,时，,n|a,-1,|,，,对应的,x(n),是右序列；,(2)|a|z|z,-1,|,，,对应的,x(n),是双边序列；,(3)|z|a,-1,|,种收敛域是因果的右序列，无须求,n0,时的,x(n),。,当,n0,时，围线积分,c,内有,二个极点,z=a,和,z=a,-1,，,因此,最后表示成：,x(n)=(a,n,-a,-n,)u(n),。,(2),收敛域,|z|a|,这种情况原序列是左序列，无须计算,n0,情况，当,n0,时，围线积分,c,内没有极点，因此,x(n)=0,。,n0,时，,c,内只有一个极点,z=0,，,且是,n,阶极点，改求,c,外极点留数之和,最后将,x(n),表示成,x(n)=(a,-n,-a,n,)u(-n-1),(3),收敛域,|a|z|a,-1,|,这种情况对应的,x(n),是双边序列。根据被积函数,F(z),，按,n0,和,n0两情况分别求,x(n),。,n0,时，,c,内极点,z=a,x(n)=Res,F(z),a,=a,n,n0,时，,c,内极点有二个，其中,z=0,是,n,阶极点，改求,c,外极点留数，,c,外极点只有,z=a,-1,，,因此,x(n)=-Res,F(z),a,-1,=a,-n,最后将,x(n),表示为,a,n,n,0,x(n)=x(n)=a,|n|,a,-n,n0,2.,幂级数法,(,长除法,),按照,Z,变换定义,(3.1),式，可以用长除法将,X(z),写成幂级数形式，级数的系数就是序列,x(n),。,要说明的是，如果,x(n),是右序列，级数应是负幂级数；如,x(n),是左序列，级数则是正幂级数。,例,3.8,已知,用长除法求其,Z,反变换,x(n,),。,解由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数,1-az,-1,例,3.9,已知,求 其,Z,反变换,x(n,),。,解：由收敛域判定，,x(n),是左序列，用长除法将,X(z),展成正幂级数,3.,部分分式展开法,对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求,Z,反变换。,设,x(n),的,Z,变换,X(z),是有理函数，分母多项式是,N,阶，分子多项式是,M,阶，将,X(z),展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表,(,参考表,3.1),求得各部分的反变换，再相加,即得到原序列,x(n),。设,Xz),只有,N,个一阶极点，可展开为,观察上式，,X(z)/z,在,z=0,的极点留数就是系数,A,0,，在,z=,z,m,的极点留数就是系数,A,m,。,(3.11),(3.12),(3.13),(3.14),求出,A,m,系数,(m=0,1,2,N),后，很容易示求得,x(n),序列。,例,3.10,已知 ，求,Z,反变换。,解,因为收敛域为,2|z|2,。,第二部分极点,z=-3,，,收敛域应取,|z|3,。,查表,3.1,得到,x(n)=2,n,u(n)+(-3),n,u(-n-1),一些常见的序列的,Z,变换可参考表,3.1,。,表,3.1,常见序列,Z,变换,3.4 Z,变换的性质和定理,Z,变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。,1.,线性,设,X(z)=ZT,x(n),R,x-,|z|R,x+,Y(z)=ZT,y(n),R,y,-,|z|,R,y,+,则,M(z)=ZT,m(n),=,aX(z)+bY(z,),R,m-,|z|R,x-,R,y+,R,y-,时，则,M(z),不存在。,2.,序列的移位,设,X(z)=ZT,x(n),R,x-,|z|R,x+,则,ZT,x(n-n,0,),=z,-n0,X(z),R,x-,|z|R,x+,(3.16),3.,乘以指数序列,设,X(z)=ZT,x(n),R,x-,|z|R,x+,y(n)=,a,n,x(n,),a,为常数,则,Y(z)=ZT,a,n,x(n,),=X(a,-1,z)|a|R,x-,|z|a|R,x+,(3.17),证明,因为,R,x-,|a,-1,z|R,x+,，,得到,|a|R,x-,|z|a|R,x+,。,4.,序列乘以,n,设,则,(3.18),证明,5.,复序列的共轭,设,则,证明,(3.19),6.,初值定理,设,x(n),是因果序列，,X(z)=ZT,x(n),(3.20),证明,因此,7.,终值定理,若,x(n),是因果序列，其,Z,变换的极点，除可以有一,个一阶极点在,z=1,上，其它极点均,在单位圆内，则,(3.21),证明,因为,x(n),是因果序列，,因为,(z-1)X(z),在单位圆上无极点，上式两端对,z=1,取极限,终值定理也可用,X(z),在,z=1,点的留数，因为,(3.22),因此,如果单位圆上，,X(z),无极点，则,x()=0,。,8.,序列卷积,设,则,证明,W(z),的收敛域就是,X(z),和,Y(z),的公共收敛域。,例,3.11,已知网络的单位取样响应,h(n)=,a,n,u(n),|,a,|1,，,网络输入序列,x(n)=u(n),，,求网络的输出序列,y(n),。,解：,y(n)=h(n)*x(n),求,y(n),可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用,Z,变换法。,由收敛域判定,y(n)=0,n0,。,n0 y(n)=Res,Y(z)z,n-1,1,+Res,Y(z)z,n-1,a,将,y(n),表示为,9.,复卷积定理,如果,ZT,x(n),=X(z),，,R,x-,|z|R,x+,ZT,y(n),=Y(z),R,y-,|z|R,y+,w(n)=x(n)y(n),则,W(z),的收敛域,(3.24),式中,v,平面上，被积函数的收敛域为,(3.24),(3.25),(3.26),证明,由,X(z),收敛域和,Y(z),的收敛域，得到,例,3.12,已知,x(n)=u(n),y(n)=a,|n|,，若,w(n)=x(n)y(n),，求,W(z)=ZT,w(n),解：,因此,W(z),收敛域为,|a|z|,；被积函数,v,平面上收敛域为,max(|a|,0)|v|min(|a,-1,|,|z|),，,v,平面上极点：,a,、,a,-1,和,z,c,内极点,z=a,。,10.,帕斯维尔,(,Parseval,),定理,利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。,那么,v,平面上，,c,所在的收敛域为,证明 令,w(n)=x(n)y*(n),按照,(3.24),式，得到,按照,(3.25),式，,R,x-,R,y-,|z|R,x+,R,y+,，,按照假,设，,z=1,在收,敛域中，令,z=1,代入,W(z),中。,如果,x(n),和,y(n),都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令,v=e,j,得到,(3.29),令,x(n)=y(n),得到,上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维,尔定理,(2.2.34),式是相同的。,(3.28),式还可以表示成下式：,3.5,利用,Z,变换分析信号和系统的频域特性,3.5.1,频率响应函数与系统函数,设系统初始状态为零，系统对单位脉冲序列,(n),的响应，称为系统的单位脉冲响应,h(n),，对,h(n),进行傅里叶变换得到,H(e,j,),(3.5.1),一般称,H(,e,j,),为系统的频率响应函数，它表征系统的频率特性。,设,h(n),进行,Z,变换，得到,H(z),，,一般称,H(z),为系统函数，它表征了系统的复频域特性。对,N阶差分方程,(1.4.2),式，进行,Z,变换，得到系统函数的一般表示式,(3.5.2),如果,H(z),的收敛域包含单位圆,|z|=1,，,H(e,j,),与,H(z),之间关系如下式：,(3.5.3),3.5.2,用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,因果,(,可实现,),系统其单位脉响应,h(n),一定满足当,n0,时，,h(n)=0,，,那么其系统函数,H(z),的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。,一个稳定线性系统的充要条件是,H(z,),的收敛域包含单位圆。,一个线性系统是因果的充要条件是系统函数,H(z,),的收敛域,Z=,一个稳定因果系统的系统函数,H(z,),的收敛域,1|z|,一个稳定因果系统的系统函数,H(z,),的全部极点在单位圆内,例,3.5.1,已知,分析其因果性和稳定性,.,解：,H(z),的极点为,z=a,，,z=a-1,，,如图,3.5,所示。,(1),收敛域,a,-1,|z|,，,对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应,h(n)=(a,n,-a,-n,)u(n)(,参考例题,3.7),，这是一个因果序列，但不收敛。,(2),收敛域,0|z|,a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应,h(n)=(a,-n,-a,n,)u(-n-1)(,参考例题,3.7),，这是一个非因果且不收敛的序列。,(3),收敛域,a|z|a,-1,，,对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应,h(n)=a,|n|,，,这是一个收敛的双边序列，如图,3.5.1(a),所示。,图,3.5.1,3.5.3,利用系统的极零点分布分析系统的频率特性,将,(3.5.2),式因式分解，得到,(3.5.4),式中,A=b,0,/a,0,，,上式中,c,r,是,H(z),的零点，,d,r,是其极点。,A,参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点,c,r,和极点,d,r,的,分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。,在,z,平面上，,e,j,-c,r,用一根由零点,c,r,指向单位圆上,e,j,点,B,的向量 表示，同样,e,j,-d,r,用内极点指向,e,j,点,B,的向量 表示，如图,3.5.2,所示。,和,分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用,极坐标表,将 和 表示式代入,(3.5.7),式，得到,(3.5.8),(3.5.9),系统的传输特性或者信号的频率特性由,(3.5.8),式和,(3.5.9),式确定。当频率,从零变化到,2,时，这些向量的终点,B,沿单位圆逆时针旋转一周，按照,(3.5.8),式,(3.5.9),式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例如图,3.5.2,表示了具有一个零点和二个极点的频率特,性。,图,3.5.2,频响的几何表示法,3.5.2,已知,H(z)=z,-1,，,分析其频率特性,解：由,H(z)=z,-1,，,极点为,z=0,，,幅度特性,|H(e,j,)|=1,相位特性,(,)=-,，,频响如图,3.5.3,所示。,用几何方法也容易确定，当,=0,转到,=2,时，极点矢量的长度始终为,1,。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为,1,，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。,图,3.5.3 H(z)=z-1,的频响,