《理论力学》第十三章 达朗贝尔原理.ppt

HOHAI UNIVERSITY,ENGINEERING MECHANICS,动力学问题,静力学问题,形式上,(,动静法,),达朗贝尔原理,第十三章,达朗贝尔原理可将,动力学问题从形式上转化为静力学问题,，根据平衡的理论来求解。也称动静法。适用于非自由质点、质点系、刚体、变形体,9-1,达朗贝尔原理,在惯性系中,：,此时物体的运动是绝对运动，质点系的绝对运动方程为,惯性系中：,达朗贝尔原理将动力学加速度问题,形式上,转换成静力学中的平衡问题，也叫动静法,惯性系中：,一、质点的达朗贝尔原理,记,称为质点的惯性力，与加速度方向相反,则有,M,在质点运动的每一瞬时，如果在,质点上加上惯性力,，则作用于质点的主动力、约束力与惯性力成平衡。,此为达朗贝尔原理,质点实际上做加速运动,，平衡是指数学形式上的平衡。这样可根据静力学的平衡理论来求解动力学问题。,采用直角坐标系,，,采用自然轴系,a,如在质点上加上惯性力，则作用于质点上的“外力,(,包括主动力与约束力,)+,惯性力”,形式上,构成平衡力系,达朗贝尔原理,意义,加上惯性力后，将动力学问题转化为静力学问题,注意,惯性力只是一个工具。人为地加给质点，目的用静力学方法解决动力学问题,1,达朗贝尔原理 惯性力,质点系的达朗贝尔原理,对任意一个质点,i,在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。,则,显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。,对于一个质点系，,其上每一个质点加上惯性力,后，这些力应与系统所受外力构成平衡力系。,解法同静力学一样。,平衡条件,O,A,z,y,例,1,：,质量,m,、,长度,l,的均质杆，以匀角速度,绕,z,轴转动，试求,角。,d,F,I,mg,解：,1.,受力分析（画上杆所受外力）；,2.,运动分析（画上惯性力）；,为简便起见，取杆在,yz,平面内,3.,建立平衡方程：,2,刚体动力学中的达朗贝尔原理,刚体为一个质点系，其上每一个质点加上惯性力后，成为一个分布力系，此力系应与刚体所受外力构成平衡力系。,对于刚体，不必每点列平衡方程，而是事先将惯性力系简化（主矢、主矩），,用简化后的惯性力系与外力构成平衡力系。,x,y,z,r,i,F,I,i,m,i,o,a,一、刚体平动,对任意质点,i,合力,合力作用位置,r,F,I,结论,：,平动刚体的惯性力系合成为一个作用在质心,的惯性力,一、平动刚体惯性力系的简化,对任意质点,i,为同向平行力系,因此惯性力的合力为,过质心、大小,为,方向,与加速度方向相反,质点系的惯性力,设合力通过坐标为,x,y,，,z,的点则,二、刚体定轴转动,(,一）刚体有与转轴垂直的对称面,结论：,可将空间惯性力系简化为在对称平面内的力系（相当于将刚体压扁到对称平面内）,x,y,z,O,F,I,in,F,I,it,F,I,jn,F,I,jt,i,j,l,l,x,y,z,O,二定轴转动刚体惯性力系的简化,(,转轴与刚体,质量,对称面垂直,),可将空间惯性力系简化为在对称平面内的力系（相当于将刚体压扁到对称平面内）,刚体质量,m,质心加速度,a,C,角速度,角加速度,在垂直于对称面任一直线,AB,上的各点的加速度相等，它们的惯性力可以合成为在对称面内的一个力,F,Ii,，,M,i,是直线,AB,上所有各点的质量之和。这样，原来由刚体各质点的惯性力组成的,空间力系,，就可,简化为,在对称面内的,平面力系,F,I,F,I,O,i,i,在对称面内向,O,点简化,主矢,主矩,故定轴转动刚体惯性力系简化为：,在对称平面内，转向,与角加速度方向相反,的惯性力偶,M,IO,=,JO,作用在转轴上，且与,质心加速度方向相反,的惯性力,F,I,=,ma,C,M,IO,C,O,M,IO,C,主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的,O,点处,在对称面内向,质心,C,简化,主矢,主矩,O,C,M,IO,0,主矢和主矩作用在形心位置,M,IC,C,三、平面运动刚体惯性力系的简化,（运动平面与刚体对称平面平行）,对质点,i,主矢,:,主矩,:,以,C,为基点,i,C,惯性力系的简化：,1.,平动刚体,2.,定轴转动刚体,(,转轴与刚体对称面垂直,),O,C,M,IO,主矢,:,主矩,:,主矢,:,主矩,:,3.,平面运动刚体,（运动平面与刚体对称平面平行）,主矢,:,主矩,:,或惯性力通过刚体的质心,注意质心加速度有法向与切向,(,二）平面刚体,O,i,r,i,F,Iin,F,I,it,向,O,点简化,主矢,主矩,O,F,I,M,I,O,若转轴过质心，则惯性力系简化的结果仅为一力偶，其矩,与角加速度方向相反,，,M,I,C,=,J,C,a,C,+,三、刚体平面运动,只考虑有对称平面，且对称平面与运动平面平行的情况,a,C,主矢,主矩,M,I,C,F,I,M,I,C,F,I,另外，定轴转动是平面运动的一个特例，因此也可以把惯性力系向质心简化，结论同上。,C,练习：,质量为,m,，长,l,的均质杆,OA,该瞬时角速度为零，角加速度为,，试求将杆的惯性力系向,A,点简化的结果。,O,A,C,a,C,F,I,M,I,C,F,I,M,I,A,向质心,C,简化的结果,：,向杆端,A,简化的结果,：,例,2:,约束均质杆（,m,l,）,A,端的绳索突然被剪断，试求此时杆的角加速度,及,O,处约束力。,C,O,A,C,O,A,a,c,1.,运动分析,2.,受力分析,注意加惯性力及惯性力偶,F,I,mg,M,I,C,F,O,y,F,O,x,解：,惯性力向质心简化,3.,平衡方程,C,O,A,M,I,C,F,O,y,F,O,x,F,I,mg,4.,补充方程,O,A,C,例,3:,约束均质杆,A,端的绳索突然被剪断，试求杆转到任一位置时的角加速度,、,角速度,及,O,处约束力1.,运动分析,2.,受力分析,3.,平衡方程,O,A,C,a,C,a,Cn,F,I,mg,M,C,I,F,Oy,F,Ox,F,In,4.,由动能定理计算,2,，,T,1,-,T,2,=,W,i,解：,外力只有重力,例,4:,OB,质量不计，,AB,长,l,、,质量,m,。,试求绳,OA,剪断瞬时,OB,杆的内力,。,C,O,A,45,0,B,1.,运动分析,F,I,y,mg,M,I,F,OB,F,I,x,2.,受力分析,主要是加惯性力及惯性力偶,3.,平衡方程,a,cy,C,O,A,45,0,B,a,Cx,a,B,a,CB,a,B,4.,补充方程,解：,联立可解。,A,B,O,C,练习,1均质杆,AB,(,m,l,),A,端被一个小环约束在半径为,r,的固定半圆形轨道上,OA,与水平线夹角,45,试求突然去掉,B,处支座瞬时,AB,杆的角加速度及,A,端受到的约束反力（不计摩擦）。,A,O,C,a,Cx,a,Cy,a,A,a,A,mg,F,N,F,I,y,F,I,x,M,I,C,解：,联立可解。,45,45,例,5:,已知均质圆柱形滚轮,重,P,，半径为,R,，物块重,W,。试求作纯滚动的轮子中心的加速度。,解：,滚轮,重物,联立解得：,I,为基点则,A,滚轮与绳子切点处,A,的加速度为,补充方程,.,F,1,=,F,练习,2,：,质量,m,1,、半径,r,的均质圆轮在质量,m,2,的楔块上纯滚动，楔块则被搁置在光滑的水平面上。试求楔块的加速度和圆轮的角加速度。,解一：动力学方法,C,F,F,N1,m,1,g,F,F,N1,F,N2,m,2,g,C,A,a,A,a,C,x,a,C,y,1.,受力分析,2.,运动分析,3.,动力学方程,a,e,a,r,4.,补充方程：,以,C,为动点，动系固定在,A,上,则,而,故投影,练习,2,：,质量,m,1,、半径,r,的均质圆轮在质量,m,2,的楔块上纯滚动，楔块则被搁置在光滑的水平面上。试求楔块的加速度和圆轮的角加速度。,解一：动力学方法,C,A,a,A,a,C,x,a,C,y,C,F,F,N1,m,1,g,F,F,N1,F,N2,m,2,g,以,I,为基点,m,1,g,F,I1r,F,I1e,M,I,F,N1,F,E,C,C,C,A,a,A,a,A,a,r,练习,2,：,质量,m,1,、半径,r,的均质圆轮在质量,m,2,的楔块上纯滚动，楔块则被搁置在光滑的水平面上。试求楔块的加速度和圆轮的角加速度。,解二：动静法,讨论：,其中,整体受力图,C,A,m,1,g,F,I1r,F,I1e,M,I,m,2,g,F,N2,F,I2,其中,例,6:,涡轮机的转轮具有对称面，并有偏心距,e,=0.5,mm,，,已知轮重,2,kN,，,并以,6000,r/min,的匀角速转动。设,h,=1,m,，,转动轴垂直于对称面，如图所示。试求止推轴承及环轴承处的反力。,解：,为了简化计算，取质心,C,在,yz,平面内，,解：,例,6:,涡轮机的转轮具有对称面，并有偏心距,e,=0.5,mm,，,已知轮重,2,kN,，,并以,6000,r/min,的匀角速转动。设,h,=1,m,，,转动轴垂直于对称面，如图所示。试求止推轴承及环轴承处的反力。,惯性积,刚体对通过,O,点的两个互相垂直的轴的惯性积定义为：,惯性主轴：,如,I,xy,=,I,xz,=0,，称,x,轴为刚体在,O,点的一根主轴,结论：,1.,刚体内任意一点，必存在三根相互垂直的主轴；,对称轴是轴上任意一点的一根主轴。,与对称面垂直的轴是,“,轴和面相交点,”的主轴；,2.,称过质心的三根主轴为,中心惯性主轴,x,y,z,y,i,x,i,z,i,M,i,O,3,非对称转动刚体的轴承动反力,刚体在外力作用下定轴转动，如何计算约束反力？,1.,任意一个质点的惯性力,向,A,点简化，,附加力偶为,1.,任意一个质点的惯性力,2.,惯性力系的简化结果,主矢,主矩,I,xz,I,yz,I,yz,I,xz,J,z,主矢,主矩,过,A,点,3.,应用达朗贝尔原理建立平衡方程,x,y,z,A,F,i,F,Ax,F,By,F,Bx,x,y,z,A,F,i,F,Ax,F,By,F,Bx,可见，要使,动反力为零,，转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。,约束力,静约束力,动约束力,+,-,可见，要使,动反力为零,，转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。,