第6章信号与系统控制的频域分析法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,6,章 信号与系统控制的频域分析法,6.1,频域分析法及其特点,6.2,连续信号与系统控制的频域分析,6.3,离散信号与系统控制的频域分析,6.1,频域分析法及其特点,6.1.1,什么是频域分析法,6.1.2,频域分析法的特点,6.1.1,什么是频域分析法,频域分析法（傅立叶,J.Fourier,1768,1830,）是一种变换域分析方法，是三大工程分析方法中最重要、最常用的方法。所谓频域分析，即在频率域（简称频域）内分析、研究信号与系统控制的问题，包括“信号的频域（频谱）分析”和“系统控制的频域分析”两方面。,“信号的频域（频谱）分析”利用信号的频率特性，将周期信号分解为一系列不同频率的正弦信号（序列）或虚指数信号（序列）的叠加；将非周期信号分解为相应信号（序列）的频谱函数的积分。这种分解具有明显的物理意义，在通信、控制等工程实际中得到了广泛应用。,“系统控制的频域分析”是一种图解法，可以渐近画出系统的频率特性曲线，具有简单、形象、快速的特点；不仅可以利用系统的开环频率特性（,Bode,图）去判断系统的闭环性能，而且能够方便地分析系统参量对系统暂态响应的影响，确定改善系统性能的方法与途径。系统的频域特性具有明确的物理意义，可以用实验方法测定；可以通过实验帮助解决数学建模问题。,6.1.2,频域分析法的特点,1,）明确的物理意义,信号的频谱分析，揭示了信号的基本组成和能量的主要分布；系统控制的频域分析，则明确了系统的基本滤波性能。,2,）图解与渐近逼近,信号的“离散”或“连续”频谱，非常直观、明析；系统控制的,Bode,图则可以快速、渐近画出，且容易修正、逼近，因而具有简单、形象、基本准确的特点。,3,）近似与间接研究,根据信号频谱的主要能量分布，可以实现信号的离散取样与复现；根据系统控制的开环,Bode,图，可研究系统的闭环性能并绘制,Nichols,图,、,得到系统的闭环特性曲线,。,4,）可通过实验观测,信号的频谱可以通过频谱分析仪观察、测试,；,系统或环节的频率特性则可以通过扫频仪进行观察和测试,。,5,）局限于,LTI,系统,频域分析法仅限于,LTI,系统的分析与研究；对于满足,LTI,条件的许多系统，都可以应用频域分析法进行限于零状态响应的研究,，,但不能进行零输入响应与完全响应的研究,。,6.2,连续信号与系统控制的频域分析,6.2.1,信号的正交分解,6.2.2,周期信号的傅立叶级数,6.2.3,周期信号的频谱,6.2.4,非周期信号的傅立叶变换,6.2.5,傅立叶变换的性质,6.2.6,周期信号的傅里叶变换,6.2.7,抽样定理,6.2.8,连续系统的频域分析,6.2.9,连续系统的频率特性与试验测定,6.2.10,Nyquist,稳定判据与对数频率稳定判据,6.2.11,系统的三频段分析与闭环特性,6.2.12,系统频域指标与时域指标的关系,6.2.1,信号的正交分解,信号的分解与矢量的分解非常相似，本节将从矢量的分解入手，通过类比的方法将连续信号分解为正交函数；,即：用“完备正交函数集”中各正交函数的线性组合，来表示相应的连续信号。,6.2.2,周期信号的傅立叶级数,1,）三角形式的傅立叶级数,对于任何一个周期为 的周期信号 ，都可以用式（,6.2-12,）所示的三角函数集中各函数的线性组合来表示，即 （,6.2-13,）,式（,6.2-13,）中，称为基波角频率，和 则为加权系数。,由式,（,6.2-7,）,可得加权系数：,6.2-14,）,（,6.2-15,）,时，,，即,的直流分量为：,当,式,（,6.2-13,）,可写为：,式,（,6.2-16,）,表明：任一周期信号,谐波分量之和来表示。其中，,为直流分量，,为,量的振幅，,为,振幅,、相位,与系数,和,所示，分别,为：,图,6.2-3,、,和,的关系,（,6.2-16,）,可用一直流分量和一系列,次谐波分,次谐波分量的相位。,的三角,关系可以用图,6.2-3,）函数的对称性与傅立叶系数的关系,偶对称,奇对称,奇谐对称,偶谐对称,信号波形关于纵轴对称，有,信号波形关于原点对称，有,信号沿,t,轴平移半个周期后与原波形,镜像，即,信号沿,t,轴平移半个周期后与原波形,满足,，在偶函数,的傅立叶级数展开式中，没有正弦项，只需求,a,0,与,a,n,即可。,级数展开式只有正弦项，没有直流与余弦项，只需求,b,n,即可。,，,其傅立叶,关于时间轴,其傅立叶级数展开式中，只有奇次,项，而没有直流与偶次谐波项。,完全重叠，,，,其傅立叶级数展开式中,，,没有奇次谐波，,只有直流及偶次正弦项与偶次余弦项。,4,）指数形式的傅立叶级数,指数形式的傅立叶级数,（,6.2-19,）,指数形式与三角形式傅立叶级数的关系,3),几点说明,6.2.3,周期信号的频谱,2,2,9,9,10,10,2,2,）周期信号频谱的特点,13,13,13,14,14,4,）周期信号的功率与有效值周期信号是一种功率信号，周期信号的平均功率是有限的，而其能量则是无限的。有帕塞瓦尔等式 帕塞瓦尔等式（,6.2,26,）表明，周期信号的功率等于直流和各次谐波分量功率之和。考虑,1,电阻上的功率,P,与电压或电流有效值,U,、,I,的关系为,容易得到：与 。,即周期信号的有效值为各谐波分量有效值的平方和的平方根。,6.2.4,非周期信号的傅立叶变换,6.2.5,傅立叶变换的性质,6.2.6,周期信号的傅里叶变换,1,）周期信号与非周期信号频域分析的统一,由周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换的讨论，得出了周期信号的频谱为离散的振幅谱，而非周期信号的频谱是连续的密度谱的结论。,2,）周期信号的傅里叶变换,10,28,28,28,6.2.7,抽样定理,29,29,30,31,31,32,32,33,33,G,(,j,),G,(,j,),2.,信号的实际抽样,(,周期脉冲抽样,),由式,（,6.2,83,）,可知，样值信号,的频谱函数,是信号,频谱,的周期性重复，且重复周期为,，幅度为,的,倍；,在实际工作中，抽样序列只能采用周期性的矩形脉冲串来近似。可导出,（,6.2,83,）,4,图,64.2-34,频域抽样原理,6.2.8,连续系统的频域分析,1),频域分析法,系统的频域分析法则以虚指数信号 作为基本信号，对,LTI,系统进行分析。,系统的频域分析法如图,62-35,所示。,利用时域分析中，,LTI,系统的零状态响应 可通过外作用,f,(,t,),与系统单位冲激响应,g,(,t,),的卷积来求取,（,6.2,90,）,图,6.2-35,系统的频域分析法,G,g,根据傅里叶变换的时域卷积性质求式,(6.2,90),的傅里叶变换,（,6.2,91,）,式,(6.2,91),中，,G,(,j,),为该系统单位冲激响应,g,(,t,),的傅里叶变换，通常称,G,(,j,),为系统传输函数，而且 。,对式,(6.2,91),求傅里叶反变换，容易得到系统的零状态响应,2,）基本信号激励下的零状态响应,1,）基本信号 激励下的零状态响应,-1,-1,乘上,LTI,系统的系统函数,(,与时间无关,),，就得到,LTI,系统在基本信号,激励下的零状态,正是,LTI,系统单位冲激响应,的傅里叶变换。,（,6.2,94,）,式,(6.2,94),表明：基本信号,响应。,式,(6.2,94),则是频域法的基础。,2,）一般信号,f,(,t,),激励下的零状态响应,3.,系统的无失真传输及其条件,1,）失真的概念 如果信号通过系统传输后，输出波形发生了畸变，失去了系统传输的原信号波形的形状，就称之为失真；如果信号通过系统传输后，原信号波形的形状保持不变，只产生时间的延迟或幅度的增减，则称为不失真，如图,6.2-39,所示。,由于信号,可分解为无穷多个基本信号的线性组合，则,LTI,可视为无穷多个基本信号,产生的零状态响应,的线性叠加，可导出,系统的,-1,由频域分析法求解系统零状态响应的步骤如图,6.2-35,所示。,（,6.2,95,）,具体求解过程，可参考例,6.2,10,例,6.2,13,可以把系统的传输失真分为线性失真与非线性失真两大类。,线性失真：信号通过线性系统所产生的失真称为线性失真。,非线性失真：信号通过非线性系统所产生的失真称为非线性,失真。,失真的作用：在实际应用中，有时人们需要有意识地利用系,统的这种非线性失真实现波形的变换、混频、检波等。,图,6.2-38,系统的无失真传输,（,2,）无失真传输的条件,系统不失真传输的频域条件为 （,6.2-97,）,系统不失真传输的幅频与相频条件为,（,6.2-98,）,4,）理想低通滤波器及其特性,在系统不失真传输信号的情况下，有时只让所需要的频率成分通过，而对不需要的频率成分予以抑制。具有这种频率选择功能的系统称为滤波器。滤波器有低通、高通、带通以及低阻、高阻、带阻之分。所谓理想滤波器，是指不允许通过的频率成分将的被抑制掉，一点也不能通过；而允许通过的频率成分，则让其 的通过。,（,1,）理想低通滤波器,具有图,6.2-43,所示幅频特性和相频特性的滤波器被称为理想低通滤波器,。,图,6.2-43,理想低通滤波器的幅频和线性相位特性,（,2,）理想低通滤波器的特性,理想低通滤波器非全通滤波器；,理想低通滤波器无法实现,(),；,理想低通滤波器的近似实现，,理想低通滤波器的系统函数为,（,6.2-99,）,理想低通的单位冲激响应为：,理想低通的通带为 ，或称该滤波器的带宽为 。,单位冲激与理想低通的单位冲激响应曲线如图,6.2-44,所示。,图,6.2-44,理想低通滤波器的单位冲激响应曲线,竟在,之前就有了,是完全可能的。,6.2.9,连续系统的频率特性与实验测定,1,）连续系统的频率特性,（,1,）频率特性的概念,可以定义：线性系统在正弦输入作用下稳态响应的特性即系统的频率特性，包括幅频和相频特性两方面。,系统的频率特性表征了系统（或环节）在正弦输入作用下的稳态响应与输入信号角频率的关系，可记为,（,6.2-100,）,式（,6.2-100,）既包含了系统输出、输入的幅值比，又包含了系统输出、输入的相位,差，称为系统的幅相频率特,性表达式，简称幅相特性表,达式。,图,6.2-49,系统的频率特性曲线,例,6.2-13,求图,6.2-50,所示,RC,电路的频率特性。,解：由题，有 及 ，消去中间变量,i,、令,T=RC,，并求拉氏变换，可得该电路的传递函数,设输入为正弦电压 ，其拉氏变换为,，可求得,由拉氏反变换，可得该电路 的稳态响应,图,6.2-50,一阶,RC,电路,当,t,时,有,用幅相特性表达式表示，则有,一般，还可以用其实部与虚部之和来表示,即：,（,6.2-102,）,式,（,6.2-102,）中，,X,(,),称为系统的实频特性,Y,(,),则称为系统的虚频特性。,（,2,）系统频率特性与传递函数的关系,只要令传递函数,G,(,s,),中的复变量,s,为纯虚变量,j,即可,得到系统的频率特性：,（,6.2-101,）,当输入,时，有,，则相应输出为：,（,6.2-105,）,可得系统输出：,系统稳态响应为,（,6.2-107,）,对于系统的频率特性，有以下,3,点需要说明：,以上结论是在线性系统（环节）稳定的条件下得出的，但从理论上讲，动态过程中的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性，因此可以将频率特性的概念推广到不稳定系统（环节）。,由于频率特性的表达式包含了系统或元部件的全部动态结构和参数，因此，尽管频率特性是一种稳态响应特性，但动态过程的规律性仍将寓于其中；同微分方程及传递函数一样，频率特性也是系统的一种动态数学模型，能够反映系统（环节）的动态及静态特性。,上述传递函数的求取，是在已知系统或元部件的微分方程或传递函数的基础上进行的。反之，对于难以用解析方法建立微分方程的系统或元部件，则可按频率特性的物理意义通过实验测取，从而确定其对应的传递函数与微分方程。,幅频特性 （,6.2-108,）,相频特性 （,6.2-109,）有 （,6.2-110,）,（,3,）频率特性的求法及图示方法,频率特性的求取方法,根据系统的频率响应求取；,根据系统的传递函数，直接,s,=,j,求取；,通过实验方法测得。,频率特性的图示方法,幅相频率特性曲线,也称为极坐标图或,Nyquist,图,对数频率特性曲线,又称为伯德图，,对数幅相频率特性曲线,又称为尼柯尔斯图,在极坐标上表示的,G,(,j,),的幅值,与幅角,即当,：,0,变化时，向量,G(j),的矢端轨迹；,特性,曲线两幅图，两幅图的横坐标均以,的,包括对数幅频特性,对数,(lg,),刻度，,当,：,0,变化时，,随,变化的曲线，,曲线与对数相频,分别表示幅值与相角；幅频特性曲线以,dB,为单位，按照,20lg|,G,(,j,)绘制，,相频特性曲线则以度或弧度为单位，按照,(,),绘制。,纵坐标均匀刻度，,幅图合成为一幅图，是在以,为纵轴的对数幅相,G,(,j,),平面中，以,为参变量绘制的,G(j),曲线。,实际上是将,Bode,图的两,(,),为线性刻度的横轴、以,20lg|,G,(,j,)|,线性,刻度,2),典型环节的频率特性及其极坐标图（,Nyquis,t,曲线）,(1),比例环节,比例环节的传递函数为,G,(,s,)=,K,其频率特性为,幅频特性为,|,G,(,j,)|=,K,相频特性为,由此可见：比例环节的幅频特性和相频特性，都是与角频率,无关的常量。,图,6.2-55,比例环节的极坐标图,（,2,惯性环节,传递函数为,幅频特性为 （,6.2-113,）,相频特性为 （,6.2-114,）,图,6.2-56,惯性环节的极坐标图,（,3,）积分环节,传递函数,频率特性,幅频特性 （,6.2-115,）,相频特性 （,6.2-116,）,图,6.2-57,积分环节的极坐标图,（,4,）振荡环节,传递函数,幅相频率特性,幅频特性 （,6.2-117,）,相频特性 （,6.2-118,）,图,6.2-58,振荡环节的极坐标图,（,5,）微分环节,传递函数,:,纯微分,G,(,s,)=s,一阶微分,G,(,s,)=1+,s,二阶微分,G,(,s,)=2,s,2+2,s,+1,图,6.2-59,各种微分环节的极坐标图,（,6),延滞环节,传递函数,频率特性 （,6.2-121,）,G,(,j,)=1(,常数,),，而 。,图,6.2-60,延滞环节的极坐标图,（,7),一阶不稳定环节,传递函数,频率特性 （,6.2-122,）,幅频特性,相频特性,图,6.2-61,一阶不稳定,环节的极坐标图,3),高阶系统极坐标图的一般规律,高阶系统通常由若干典型环节串联组成，其开环传递函数为,其中 （,6.2-122,）,（,6.2-123,）,若开环传递函数,概略绘制极坐标图的一般规律可以归纳为以下三点：,（,1,）首先确定极坐标图的起点,(=0),与终点,(=),：,起点由 与 确定；,终点,(一般为原点,),，由 与 共同确定曲线趋近于原点的区域。,其中,v,为积分环节的个数，,p,为开环右极点的个数；,时，应从 补充半径大的虚线圆弧到起始点。,（,2,）利用时间常数大的典型环节在,比较小的时候，其,先产生影响的变化趋势（零点对应逆时针的变化趋势，极点对应顺时针的变化趋势），同时利用,n,m,时 整体幅度随,增大而减小的特点，可绘出,Nyquist,曲线的大致形状，使起点与终点平滑连接。,3,）若能根据,G(j,),表达式，求出,Nyquist,曲线与实轴和虚轴的交点,(,具有,Im,G,(,j,)=0,与,ReG(j,)=0,的特点,),，则概略,Nyquis,t,曲线会更准确例,6.2-15,概略绘制的,Nyquist,曲线。,解,:,由题，,v=1,、,p=0,且,，起点应从正实轴补充半径无穷大的虚线圆弧到起点，又,n,=2,m,=0,，,终点趋于原点的区域为第三象限、且靠近负实轴。,考虑除放大与积分环节外，还有个惯性环节，使得 从 趋近于 ，,图,6.2-63,例,6.2-15,的极坐标图,4,）典型环节的对数坐标,(Bode),图,（,1,）,Bode,图及其特点,对数幅频特性可以较快地用渐近线近似表示：渐近线交接处的角频率称为转折角频率，此处的渐近误差最大，只要对转折角频率处的渐近误差进行修正，就可使渐近曲线比较精确。,对数相频特性具有奇对称特点：只要确定了 在起点（,=0,）、折频点（,=,1,）和终点（,）的大致位置，就可以利用对数相频特性的奇对称特点，用平滑曲线连接，或用曲线模板绘制，较快地完成对数相频特性曲线。逐点求出 值后用平滑曲线连接的方法虽然比较准确，但是计算量太大，很不方便，而且容易产生计算错误；实际上，利用 曲线分析稳定性时，需要考虑稳定裕度，这使得 的准确计算没有太多的实际意义。,（,2,）典型环节的,Bode,图,比例环节,频率特性,G,(,j,)=,K,幅频特性,L,(,)=20,lg,K,相频特性,即：对数幅频特性与对数相频特性均与角频率无关。,图,6.2,-66,比例环节的,Bode,图,积分与微分环节,频率特性G(j,)=,幅频特性,L,(,)=20,lg,相频特性,图,6.2-67,积分、微分环节的,Bode,图,惯性环节与一阶微分环节,频率特性,G,(,j,)=,对数幅频特性 为转折角频率）,(6.2-125),对数相频特性,(6.2-126),图,6.2-68,惯,性与一阶微分,的,Bode,图,振荡与二阶微分环节,频率特性,其中 为振荡环节与二阶微分环节的转折角频率。,对数幅频特性,(6.2-127),对数相频特性,(6.2-128),图,6.2-69,振荡环节的,Bode,图,延滞环节,频率特性,其中,幅频特性,相频特性,图,6.2-71,延滞环节的,Bode,图,一阶不稳定环节,频率特性,对数幅频特性,(,为转折角频率,),对数相频特性,5,）开环系统的,Bode,图,若系统的开环由,n,个环节串联组成，则系统的开环频率特,性为：,式中 ，取对数后有,(6.2-132),而且,(6.2-133),表示各典型环节的幅频特性，,L,i,(,),和 分别表示各典型环节的对数幅频特性和相频特性。,1,）简捷绘制对数幅频特性和相频特性的具体步骤,分解：将频率特性,G,(,j,),分解为若干个基本因子的乘积。,排序：求出开环各典型环节的转折频率，并由小到大按顺序在频率轴上准确标出。,绘制幅频渐近线：,a,.,首先确定开环对数幅频特性的第一段。因为系统开环对数幅频特性的第一段是由 确定的所以第一段或其延长线必定会经过,=1,与,20,lg,K,两条直线的交点，其斜率为,v(-20)dB/dec,（,v,为开环积分环节的个数）。,b,.,随后，沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率就在原有斜率的基础上，就引入相应环节产生的斜率变化，改变一次斜率（惯性环节的斜率变化量为,-20dB/dec,；一阶微分的斜率变化量为,+20dB/dec,；振荡环节的斜率变化量为,-40dB/dec,）。,c,.,系统开环对数幅频特性的最后一段，即最终斜率应该为,(,n,-,m,)(-20)dB/dec,；,其中,n,为开环传递函数,G,(,s,),的极点个数，,m,为,G,(,s,),的零点个数。修正：主要对转折频率处的相应渐近线，按渐近特性的误差曲线进行修正，即可得到比较精确的对数幅频特性曲线。,绘制对数相频特性曲线：可以按照“定两头、变中间、奇对称”的方法进行。,a,.,定两头：按照 的规律，确定相频特性曲线的大致起点,(,注意，,=0,在,lg,轴的“,-”,远处），,v0,时，应从,0,0,补充虚线到 ；按照 的规律，确定相频特性曲线的最终相移线。,b,.,变中间：按照各典型环节在折频处的相移值，兼顾起点相移以及相邻环节相移特性的影响，大致确定 在各个折频处的相移位置。,c,.,奇对称：用平滑曲线连接起点、各折频点与最终相移时，折频处要注意保留奇对称的痕迹，使平滑曲线与精确曲线比较接近。,（,2,）简捷绘制,Bode,图的实例,例,6.2-18,若某系统的开环 ，试简捷绘制系统的开环,Bode,图。,解：由题,K,=10,、,T,1,=1,、,T,2,=0.1,，故有折频,1,=1/,T,1,=,1,、,2,=1,/,T,2,=10,据此，可把,1,与,2,依次标在频率轴上，如图,6.2-72,所示。,由,K=10,有,20,lg,K,=20,d,B,，,又,v,=,0,，使第一段斜率为,0,，,且在,L,(,)=20,dB,的高度,。,由,于,1,与,2,均为惯性环节的折,频,，,故应在折频处原有斜率的,基础上,，,引入,20,的斜率变化,。,图,6.2-72,例,6.2-18,的,Bode,图,（,3,）最小相位系统与非最小相位系统,如果一个系统或环节的传递函数的极点和零点全部在,s,平面的左半部，则称为最小相位传递函数。如果传递函数中具有,s,右半平面的极点和零点，或者有延滞环节，则称为非最小相位传递函数。,（,4,）由,Bode,图确定系统的开环传递函数,在系统的频域分析中，不仅要能根据系统的开环传递函数画出,Bode,图，为系统分析提供开环频率特性曲线；同时也要能根据,Bode,图写出系统的开环传递函数，使实验曲线得以提升为系统的数学模型。前者由典型环节确定开环频率特性曲线的转折频率、斜率变化与相频的变化等；后者则由开环频率特性（实验）曲线的形状确定相应典型环节的类型与参数等。,图,a,中，或,图,b,，,c,中，,或,图,d,或,图,e,或,图,f,或,图,6.2-74,几种与确定,K,有关的常见,Bode,图,6,）对数幅相图,(Nichols,图,),对数幅相图即尼柯尔斯（,Nichols,）图，是描述系统频率特性的另一种方法：以角频率,为参变量、以相角为横坐标 （单位为度）、以对数幅频,L(,),为纵坐标（单位为,dB,），将,Bode,图的对数幅频特性与相频特性两条曲线合并为一条曲线。,绘制出这种图时，通常是先绘出,Bode,图，然后以,为参变量取若干点，在,Bode,图上查出相应的分贝数与度数并列表，再由表中数据绘制对数幅相图。,7),连续系统频率特性的试验测定,当连续系统难于用解析法建立其传递函数或频率特性时，可以采用试验方法建立（即系统辨识），系统辩识的方法有多种，下面主要介绍频域辨识法。频域辨识法通常有两种作法：一种是根据频率特性的定义，用正弦输入信号去求得频率特性；另一种是根据频率特性和时间响应的关系，对被测系统施加单位脉冲、三角形波或其他形式输入信号，然后应用傅氏变换求得频率特性。,（,1,）用正弦信号测试频率特性的原理,（,2,）传递函数的确定,由低频段渐近对数幅频特性曲线的斜率确定开环积分环节的个数,系统开环增益,K,的确定,根据曲线在交接频率处的斜率变化，确定相应的典型环节,根据最小相位系统对数幅频的斜率与相频特性之间的单值对应关系，可检验系统中是否有滞后环节存在。,图,6.2-76,相关分析法测试频率特性原理图,6.2.10,Nyquist,稳定判据与对数频率稳定判据,1,）,Nyquist,稳定判据的数学基础,设有复变函数,(6.2-140),其中,s,为复变量，用,S,平面上的 表示；复变函数,F,(,s,),，则用,F(,s,),平面上的 表示。,若,F,(,s,),在,S,平面上是除有限奇点外任一点,s,的解析函数（单值连续的正则函数），则对于,S,平面上的任一点，在,F(,s,),平面上必有一个映射点与之对应。因此若在,S,平面上任意选定一条封闭曲线,L s,，使其不通过,F,(,s,),的任一奇点（即任何零点和奇点），则在,F(,s,),平面上必有一条封闭映射曲线,L F,与之对应，如图,6.2-78,所示。,F,(,s,),的相角可表为,(6.2-141),若封闭曲线,L,S,（内部）只包围了,F,(,s,),的一个零点,Z,1,，而其他零、极点均位于,L,S,的外面，则当,s,沿,L,S,顺时针运动一周时，向量（,s-Z,1,）的相角，将变化,-360,度，对应,F,(,s,),将沿,L,F,顺时针绕,F,(,s,),平面的原点转一周；而其它各向量的相角变化为零。,若,L,S,包围的不是零点，而是,P,个极点，则当,s,沿,L,S,顺时针运动一周时，对应,F,(,s,),将在,F,(,s,),平面上沿,L,F,按逆时针包围坐标原点,P,周。,图,6.2-78,S,平面与,F,(,s,),平面的映射关系,幅角定理：设,S,平面上的封闭曲线包围了,F,(,s,),的,z,个零点和,p,个极点，并且此曲线不经过,F(,s,),的任何零点和极点，则当复变量,s,沿封闭曲线按顺时针方向移动一周时，在,F(,s,),平面上的映射曲线将绕原点顺时针转过,N,周，而且,N,=,z,-,p,。若,N,0,，表示顺时针转,N,周，若,N,0,，单位圆内部则对应于,L,(,)0dB,的频段内，沿,增加的方向，对数相频特性曲线自下而上穿越过 线称为正穿越；反之曲线自上而下穿越过 线为负穿越；同样若沿,增加方向，对数相频曲线自 线开始向上或向下，则分别称为半次正穿越和半次负穿越；,在,Nyquist,图上，正穿越一次对应于,G,(,j,),H,(,j,),曲线逆时针包围（,-1,，,j,0,）点一周，而负穿越一次，则对应于,G,(,j,),H,(,j,),曲线顺时针包围（,-1,，,j,0,）点一周，也就是说,G,(,j,),H,(,j,),曲线对（,1,，,j0,）点包围的次数等于正、负穿越次数之差。,（,2,）对数频率稳定判据,Bode,图上的对数频率稳定判据可以表述为：闭环系统稳定的充要条件是，当,从,0,变化时，在所有,L,(,)0dB,的频段内，相频特性 穿越 线的次数为,p,/2,，,p,是,S,右半平面的开环极点个数。记为,正穿越次数,-,负穿越次数,=,p,/2,。,3,）系统的相对稳定性,利用,Nyquist,判据，不仅可以根据系统的开环频率特性来判别闭环系统稳定性，而且还可以定量地反映闭环系统的相对稳定性，即稳定的程度。,相对稳定性可通过开环频率特性曲线对（,-1,，,j,0,）点的靠近程度定量表示，包括相位裕度,和幅值裕度,K,g,。,（,1,）相位裕度,(,或相角裕度,),在频率特性曲线上，时所对应的角频率,C,称为截止频率,。,截止频率,C,使系统达到临界状态尚需附加的滞后相角量，称为相位裕度,，定义为,(6.2-145),（,2,）幅值裕度,(,或增益裕度,),K,g,若系统开环频率特性（相频）曲线与,-180,0,线的交界频率为,g,，则把开环频率特性在,g,处的幅值的倒数定义为幅值裕度，即,(6.2-146),从工程实践角度考虑，为了使系统具有满意的稳定裕量，即相对稳定性，通常要求：,=30,0,60,0,K,g,dB 6dB,或,K,g,2,图,6.2-90,相角裕度与幅值裕度的表示,（,3,）例题,例,6.2-28,已知单位反馈系统的开环传递函为,，,试求系统的相位裕度和幅值裕度,，,分析,K,增大对稳定性的影响。,解：先画系统,Bode,图如图,6.2-93,所示，,=,K,图,6.2-93例,6.2-28,系统的,Bode,图,其中,c,1,=3.16,可得,由 有,得 即,由图,6.2-93,可知：,K,值增大仅使原来的幅频特性垂直上移，而相频特性一点都没改变；但幅频特性的垂直上移将使,c1,c2,，导致,2,0,，造成闭环系统不稳定。,6.2.11,系统,Bode,图的三频段分析与闭环特性,1,）低频段,低频段通常是指渐近对数幅频特性曲线在第一个转折频率以前的区段，此区段的特性完全由积分环节和开环增益决定；而积分环节的数目和开环增益的大小则决定了闭环系统的稳态精度。,2,）中频段,中频段是指开环对数幅频曲线 在截止频率,c,（分贝值）附近的区段。中频段的特性反映了闭环系统动态响应的平稳性和快速性。,3),高频段,高频段是指对数幅值曲线在中频段以后的区段。由于高频段远离,c,，而且具有负的分贝值，因此，高频段主要反映系统的抗高频干扰能力。,4,）系统的闭环频率特性,（,1,）闭环频率特性及其特征量,（,2,）等,M,圆图和等,N,圆图,（,3,）尼柯尔斯图（对数幅相图）,图,6.2-95,高阶,I,型系统开环对数渐进幅频特性曲线的合理分布,图,6.2-96,系统的闭环频率特性,图,6.2-101 Nichols,图线,6.2.12,系统频域指标与时域指标之间的关系,衡量,控制系统性能好坏的性能指标通常可分为频域指标和时域指标两大类。,时域指标包括稳态和暂态指标两种，稳态指标主要有稳态误差,e,ss,、无差度,v,和开环增益,K,；暂态指标主要包括上升时间,t,r,、峰值时间,t,p,、超调量,M,p,、调节时间,t,s,和振荡次数,N,等。,频域指标则分为开环和闭环指标两种，开环指标有相位裕度,、,幅值裕度,K,g,和截止频率,c,，,闭环指标主要包括谐振峰值,M,r,、谐振频率,r,和带宽频率,b,。,1,）一、二阶系统频域指标与时域指标的关系,（,1,）一阶系统,阶跃响应时域指标为,（,2,）二阶系统,2),高阶系统性能指标间的关系,6.3,离散信号与系统控制的频域分析,6.3.1,周期信号的离散时间傅里叶级数,(DTFS),6.3.2,非周期信号的离散时间傅里叶变换（,DTFT,）,6.3.3,周期序列的离散时间傅里叶变换,6.3.4,离散时间傅里叶变换的性质,6.3.5,离散傅里叶变换（,DFT,）,6.3.6,快速傅里叶变换（,FFT,）简介,6.3.7,离散系统的频域分析,6.3.1,周期信号的离散时间傅里叶级数,(DTFS),这时可对式,(6.3-6),进行如下处理,：,由,、,、,，,且,、,可得,6.3.2,非周期信号的离散时间傅里叶变换（,DTFT,）,6.3.3,周期序列的离散时间 傅里叶变换,对于离散时间周期信号,，有,(6.3-39),6.3.4,离散时间傅里叶变换的性质,6.3.5,离散傅里叶变换（,DFT,）我们已经学习了四种信号的傅里叶变换,（,1,）连续时间周期信号的傅里叶级数，其傅里叶系数在频域上是离散的、非周期的；,（,2,）连续时间非周期信号的傅里叶变换，其频谱在频域上是连续的、非周期的；,（,3,）离散时间非周期信号的傅里叶变换，其频谱在频域是连续的、周期的；,（,4,）离散时间周期信号的离散傅里叶级数系数在频域上是离散的、周期的。,实际上，离散时间周期序列只有一个周期内的有限个序列值是有意义的，而且周期序列的离散傅里叶级数表示式也是有限长序列；因此，对于离散时间周期序列，无论是在时域或频域都能够适应数字计算机的计算要求。,6.3.6,快速傅里叶变换（,FFT,）简介,DFT,是离散信号分析与处理中的一种重要变换。计算一个,N,点的,DFT,，无论是求正变换，还是求反变换，一般都需要进行次复数乘法运算和,N*,（,N-1,）次复数加法运算；由于,DFT,的计算工作量太大，使得,DFT,的应用严重受阻；直到,1965,年出现了,FFT,快速算法以后，,DFT,的实际应用才遍及了各个科学技术领域。,1,1,1,当,N,=8,时，相应的蝶形运算如图,6.3-22,所示。,图,6.3-22,N,=2,3,时的一次蝶形运算流程,6.3.7,离散系统的频域分析,连续信号的傅里叶变换不仅可以用来分析信号的频谱，而且还可以利用它来求解系统的响应，对系统的各种特性进行频域分析；类似地，离散信号的傅里叶变换也能为离散信号与系统的分析带来了极大的方便。,