线性习题答案解析(1)线性代数答案解析北京邮电大学出版社戴斌祥主编.doc

线性代数习题及答案
习题一
（A类）
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n(n-1)…321； (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2.
【解】
(1) τ(341782659)=11;
(2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n(n-1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n-1)=;
(4) τ(13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2)=0+1+…+(n-1)+(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1).
2. 求出j，k使9级排列24j157k98为偶排列。
解：由排列为9级排列，所以j,k只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j的逆序为1，5的逆序数为0，k的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j的逆序为0，5的逆序数为1，k的为4，不符合题意.
所以j=3、k=6.

3. 写出4阶行列式中含有因子的项。
解：D4=
由题意有：
故
D4中含的项为：
即为：
4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？
（1）；
解：
因为，
所以该项带正号。
（2）
解：
因为，
所以该项带正号。

5. 用定义计算下列各行列式.
(1)； (2). （3）
【解】(1) D=(-1)τ(2314)4!=24; (2) D=12.
（3）由题意知：
所以

6. 计算下列各行列式.
(1)； (2) ；
(3)； (4) .
【解】(1) ;
(2) ;

7. 证明下列各式.
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ；
(5) .
【证明】(1)

(2)
(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

(4) 对D2n按第一行展开，得

据此递推下去，可得

(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.
当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n-1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.
按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

但由归纳假设

从而有

8. 计算下列n阶行列式.
(1) (2) ；
(3). (4).
【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n-1),得

将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得

(2) 按第二行展开
(3) 行列式按第一列展开后，得

(4)
.
即有
由 得
.
9. 计算n阶行列式.

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得

将第一行乘（-1）后加到其余各行，得

10. 计算阶行列式（其中）.
.
【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.

11. 已知4阶行列式D中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，求行列式D的值。
解：D=，

12. 用克拉默法则解方程组.
（1） （2）
(3) (4)
【解】（1）因为
D=；D1=；D2=
所以
（2）因为
D=
D1=
D2=
D3=
所以

(3)方程组的系数行列式为

故原方程组有惟一解，为

13. 满足什么条件时，线性方程组有唯一解？
解：D=
=
要使方程组有唯一解，必须D，于是：
解得：
当不等于1，时，方程组有唯一解。
14. λ和μ为何值时，齐次方程组

有非零解?
【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

即

故或时，方程组有非零解.
15. 求三次多项式，使得

【解】根据题意，得

这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于

故得
于是所求的多项式为

（B类）
1. 已知n阶行列式D的每一列元素之和均为零，则D= 。
解： 令
D==

2.D
3. 写出行列式D4=的展开式中包含和的项。
解：令D4===
比较可得：只有当时，才能出现项，当时，为项，故中含项为：
含项为：。

4. 已知4阶行列式D4=，试求，其中为行列式D4的第4行第j列的元素的代数余子式。
解：因为D4=
所以

5. 解方程
解：因D=
=+
故由D=0可得：

因为=
所以
6. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.
【解】设平面上的直线方程为
ax+by+c=0 (a,b不同时为0)
按题设有

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.