大学物理六振动.pptx

6.1 6.1 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述 一、简谐振动的运动学表达式一、简谐振动的运动学表达式质点的位移质点的位移:以以平衡位置平衡位置为坐标原点，运动直线为为坐标原点，运动直线为x x轴轴简谐振动简谐振动物体离开物体离开平衡位置平衡位置的的位移位移按余弦函数按余弦函数(或或正弦函数正弦函数)的规律随时间变化。的规律随时间变化。二、二、简谐振动的三个特征量简谐振动的三个特征量1.1.振幅振幅A A(m):(m):最大位移的最大位移的绝对值绝对值,A A0,-0,-A Ax xA A第1页/共62页振动一次所需时间叫做振动一次所需时间叫做周期周期（S S）单位时间内振动的次数，称为单位时间内振动的次数，称为振动频率振动频率(Hz)(Hz)称为称为角频率角频率（或（或圆频率圆频率）(rad/s)(rad/s)2.2.周期周期T(s)T(s)和角频率和角频率(反映振动的快慢反映振动的快慢):):第2页/共62页3.3.相位相位t t时刻相位时刻相位反映反映t t时刻的振动状态时刻的振动状态t=0t=0时相位时相位初相位初相位已知已知A A、表达式表达式取决于时间零点的选择取决于时间零点的选择（1 1）（2 2）总之总之已知表达式已知表达式 A A、第3页/共62页三、三、简谐振动的速度、加速度简谐振动的速度、加速度均是描述简谐振动的物理量均是描述简谐振动的物理量速度振幅速度振幅加速度振幅加速度振幅频率相同频率相同同同t相位不同相位不同第4页/共62页四、四、简谐振动的三种表示方法简谐振动的三种表示方法1.解析表达式解析表达式2.曲线描述曲线描述可知可知t t 时刻质点时刻质点位置及速度方向位置及速度方向t第5页/共62页3.旋转矢量描述旋转矢量描述用匀速圆周运动用匀速圆周运动 几何地描述几何地描述 简谐振动简谐振动矢量端点矢量端点在在x轴上的投影式轴上的投影式o-AAxt逆时针转逆时针转第6页/共62页 Aoxt=0 x=A cos(t+)相量图法相量图法 图中长度等于振幅的旋转矢量叫图中长度等于振幅的旋转矢量叫振幅矢量振幅矢量A t+t t t时刻相位时刻相位t t时刻振幅矢量与时刻振幅矢量与x x轴夹角轴夹角简谐振动的相位确定振动的状态简谐振动的相位确定振动的状态相量图法相量图法直观地表达振动状态直观地表达振动状态第7页/共62页如如 文字叙述说文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点时刻弹簧振子质点 正的最大位移处正的最大位移处旋矢与轴夹角为零旋矢与轴夹角为零 质点经二分之一振幅处质点经二分之一振幅处向负方向运动向负方向运动意味意味意味意味第8页/共62页质点过平衡位置向负方向运动质点过平衡位置向负方向运动同样同样 0 0相量图法相量图法直观地表达振动状态直观地表达振动状态第9页/共62页振动的相位振动的相位：1).1).确定振动的状态（位置、速度）：确定振动的状态（位置、速度）：2).2).比较同频率谐振动的步调：比较同频率谐振动的步调：相位差：相位差：对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差五、相位差五、相位差 第10页/共62页 同相同相 反相反相txoA1-A1x1A2-A2x2T同相同相TA1-A1x1xot反相反相x2A2-A2第11页/共62页x2超前超前x1或或x1落后落后x2或或x1超前超前x2x2落后落后x1比较谐振动比较谐振动x x、v v、a a三者的位相三者的位相第12页/共62页ova第13页/共62页课堂练习课堂练习1.1.一简谐振动的振动曲线如图所示。求振动方一简谐振动的振动曲线如图所示。求振动方程。程。画出相量图画出相量图第14页/共62页2.2.一物体做简谐振动，其速度最大值一物体做简谐振动，其速度最大值v vm m=3=31010-2 2m/sm/s，其振幅，其振幅A=210A=210-2-2m m。若。若t=0t=0时，物体位于时，物体位于平衡位置且向平衡位置且向x x轴的负方向运动。求：轴的负方向运动。求：（1 1）振动周期）振动周期T T；（2 2）加速度的最大值）加速度的最大值a am m；（3 3）振动方程的表达式。）振动方程的表达式。第15页/共62页3:3:一质点沿一质点沿x x轴做简谐振动轴做简谐振动,A A=4cm,=4cm,T T=4s,=4s,t t=0=0时位移时位移为为2cm2cm，且向平衡位置移动。求，且向平衡位置移动。求1 1）振动表达式；）振动表达式；2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到x x=-4cm=-4cm处所需最少时间处所需最少时间.o-442t=0 =p/3=p/3 t t=2p/3p/3第16页/共62页6.2 6.2 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程二、二、简谐振动的运动微分方程简谐振动的运动微分方程一、谐振动系统受力特征一、谐振动系统受力特征质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比且反质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比且反向，就是向，就是简谐振动简谐振动。第17页/共62页三、几个简谐振动实例三、几个简谐振动实例1.1.水平弹簧振子水平弹簧振子平衡位置：平衡位置：弹簧原长处弹簧原长处 由系统本身的的性质决定由系统本身的的性质决定固有角频率固有角频率第18页/共62页2.2.竖直弹簧振子：轻弹簧竖直弹簧振子：轻弹簧k k平衡位置：振动物体受力为零处（弹簧伸长平衡位置：振动物体受力为零处（弹簧伸长x x0 0处）处）x0 xox振动物体位于任振动物体位于任x x处时：处时：思考：思考：光滑斜面上的弹簧振子（光滑斜面上的弹簧振子（k+mk+m）平衡位置在何处？）平衡位置在何处？是否简谐振动？若是，其是否简谐振动？若是，其w w=?=?物体做简谐振动物体做简谐振动第19页/共62页当当q q 很小时很小时 3.3.单摆单摆:无阻尼小角度摆动无阻尼小角度摆动,摆长为摆长为l l单摆平衡位置：摆球受合外力矩为零处（平衡位置：摆球受合外力矩为零处（=0=0处）处）任任q q角处：角处：T第20页/共62页在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。结论固有圆频率、固有周期分别为：固有圆频率、固有周期分别为：其角位移为：其角位移为：第21页/共62页由牛顿定律列方程，如能得出由牛顿定律列方程，如能得出 形式的方程，则形式的方程，则 由分析受力出发由分析受力出发分析物体在任一时刻的受力分析物体在任一时刻的受力(1)说明振动是简谐振动说明振动是简谐振动(2)可得出角频率可得出角频率 简谐振动的动力学解法简谐振动的动力学解法决定于系统本身的性质决定于系统本身的性质第22页/共62页四四.振幅振幅A A、初相、初相 的确定的确定1 1.初始条件：初始条件：t=0时时x0、v0（注意（注意 角象角象限的确定）限的确定）2 2.旋转矢量法确定初相旋转矢量法确定初相 已知已知t=0t=0时时x x0 0值及值及v v0 0符号符号x0值定垂直线值定垂直线v0符号定象限符号定象限例：例：t t=0=0时质点在平衡位置时质点在平衡位置且向正方向运动，求初相且向正方向运动，求初相o-AA或或 p/2 p/2 =3p/23p/2第23页/共62页6.36.3简谐振动的能量简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)谐振动：谐振动：1.1.动能动能第24页/共62页2.2.势能势能3.3.机械能机械能1).Ek=Ek(t)Ep=Ep(t)无阻尼自由振动无阻尼自由振动 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒第25页/共62页xx-AAO EpEk 2）势能曲线）势能曲线Ep4.4.周期平均值周期平均值第26页/共62页 振幅振幅A A 决定于系统的初始能量；决定于系统的初始能量；角频率角频率 决定于系统内在的性质；决定于系统内在的性质；初相初相 决定于时间零点的选择决定于时间零点的选择 由初始能量求振幅由初始能量求振幅综合以上：简谐振动的各特征量综合以上：简谐振动的各特征量*任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比 以上结论适用于任何简谐振动。以上结论适用于任何简谐振动。第27页/共62页3.一质点做简谐振动，其振动方程为一质点做简谐振动，其振动方程为（1）振幅、周期、频率及初位相各为多少？）振幅、周期、频率及初位相各为多少？（2）当）当x值为多大时，系统的势能为总能量的值为多大时，系统的势能为总能量的一半？一半？（3）质点从平衡位置移动到此位置所需最短时）质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？间为多少？第28页/共62页（2）势能势能总能总能由题意，由题意，（3）从平衡位置运动到）从平衡位置运动到的最短时间为的最短时间为第29页/共62页水平弹簧振子，弹簧得倔强系数水平弹簧振子，弹簧得倔强系数K K24N/m24N/m，重物质量为重物质量为m=6kgm=6kg，重物静止在平衡位置。设，重物静止在平衡位置。设以水平力以水平力F=10NF=10N向左作用于物体（不计摩擦力）向左作用于物体（不计摩擦力），使之由平衡位置向左运动了，使之由平衡位置向左运动了0.05m0.05m，此时撤，此时撤去力去力F F，当重物运动到左方最远位置时开始计，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。时，求物体的运动方程。第30页/共62页 6.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 当一个物体同时参与几个谐振动时当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题就需考虑振动的合成问题一、同一直线上同频率的两个一、同一直线上同频率的两个简谐振动简谐振动的合成的合成线性叠加线性叠加A1A2AxOx2x1x第31页/共62页仍是谐振动仍是谐振动振动频率仍是振动频率仍是 x=A cos(t+)结果：结果：A1A2AxODBC第32页/共62页 若若反相反相 合振动合振动减弱减弱同相同相 合振动合振动加强加强特殊结果：特殊结果：若若 若若两振动同相两振动同相两振动反相两振动反相可能的最强振动可能的最强振动“振动加振动振动加振动”不振不振动动合振幅合振幅 若若 2 1其它值其它值，由上看出由上看出 2 1的值对合振动起重要作用的值对合振动起重要作用第33页/共62页例，一质点同时参与了三个简谐振动。它们的振例，一质点同时参与了三个简谐振动。它们的振动方程分别为动方程分别为其合成运动的运动方程为其合成运动的运动方程为x=0第34页/共62页设两振动的频率都较大且略有差别、设两振动的频率都较大且略有差别、振幅相等振幅相等线性相加：线性相加：二二.同一直线上不同频率谐振动的合成同一直线上不同频率谐振动的合成分振动：分振动：则则较较随时间变化缓慢随时间变化缓慢第35页/共62页将合成式写成谐振动形式将合成式写成谐振动形式合振动可看做是振幅缓变的谐振动合振动可看做是振幅缓变的谐振动第36页/共62页 拍拍 合振动的周期性的强弱变化叫做合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍 拍频拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频测未知频率的一种方法测未知频率的一种方法由式由式得得第37页/共62页如：同时敲打两个频率不同的音叉，会周而如：同时敲打两个频率不同的音叉，会周而复始地听到复始地听到“嗡嗡”的声音，显示出声音忽的声音，显示出声音忽强忽弱的变化。强忽弱的变化。第38页/共62页 6.5 6.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动与共振受迫振动与共振一、阻尼振动阻尼振动 动力学方程动力学方程系统在振动过程中系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后受到粘性阻力作用后 能能量将随时间逐渐衰减，振幅也不断减小。量将随时间逐渐衰减，振幅也不断减小。系统受的粘性阻力与速率成正比系统受的粘性阻力与速率成正比 第39页/共62页称阻尼因子称阻尼因子系统固有频率系统固有频率令令整理得整理得式中式中阻尼振动方程为阻尼振动方程为其中其中解解第40页/共62页过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼xt0三种阻尼振动三种阻尼振动过阻尼：过阻尼：临界阻尼：临界阻尼：欠阻尼：欠阻尼：第41页/共62页 二二、受迫振动、受迫振动 1.受迫振动受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动 2.受迫振动的动力学方程受迫振动的动力学方程 设驱动力按余弦规律变化设驱动力按余弦规律变化动力学方程：动力学方程：经分析可知足够长时间后，达到稳态，其振动方程为：经分析可知足够长时间后，达到稳态，其振动方程为：第42页/共62页稳态时的受迫振动按稳态时的受迫振动按简谐振动简谐振动的规律变化的规律变化(1)(1)频率频率:(2)(2)振幅振幅:即即策策动动力力频频率率不不同同，振幅不同振幅不同且当且当时时称为称为共振共振等于策动力的频率等于策动力的频率 共振应用：电磁共振、核磁共振、碎步过桥等共振应用：电磁共振、核磁共振、碎步过桥等第43页/共62页1808年年法法国国皇皇帝帝拿拿破破仑仑率率部部10万万入入侵侵西西班班牙牙，当当部部队以整齐的步伐穿过一座铁索吊桥时，大桥崩塌了。队以整齐的步伐穿过一座铁索吊桥时，大桥崩塌了。1831年年，一一队队骑骑兵兵列列队队通通过过英英国国曼曼彻彻斯斯特特附附近近的的一一座座吊吊桥桥。他他们们雄雄赳赳赳赳，气气昂昂昂昂，“嗒嗒、嗒嗒”的的马马蹄蹄声声节节奏奏分分明明有有力力。突突然然不不幸幸的的事事情情发发生生了了，随随着着一一声声巨巨响响，大大桥桥莫莫名名其其妙妙的的倒倒塌塌了了，人人与与马马纷纷纷纷坠坠入入河中，死伤惨重。河中，死伤惨重。1906年年，俄俄国国首首都都彼彼得得格格勒勒附附近近的的爱爱纪纪华华特特大大桥桥有有一一队队骑骑兵兵通通过过，连连长长为为显显示示军军威威，命命令令骑骑兵兵指指挥挥训训练练有有素素的的战战马马以以雄雄赳赳赳赳气气昂昂昂昂的的姿姿态态步步调调一一致致前前进进，突突然然间间桥桥身身剧剧烈烈振振动动起起来来，然然后后伴伴随随着着一一声声巨巨响响，大大桥桥断断裂崩塌了，士兵、马匹、辎重纷纷落水，狼狈不堪。裂崩塌了，士兵、马匹、辎重纷纷落水，狼狈不堪。第44页/共62页1940年华盛顿的塔科曼大桥建成年华盛顿的塔科曼大桥建成同年同年7月的一场大风引起桥的共振桥被摧毁月的一场大风引起桥的共振桥被摧毁第45页/共62页小号发出的波足以把玻璃杯振碎小号发出的波足以把玻璃杯振碎第46页/共62页我国古代对我国古代对“共振共振”的认识：的认识：蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，公元五世纪公元五世纪天中记天中记：问张华。问张华。张华曰：此盘与宫中钟张华曰：此盘与宫中钟相谐相谐，故声故声相应，相应，可改变其薄厚。可改变其薄厚。鱼洗鱼洗第47页/共62页关于弹簧关于弹簧1.弹簧串连弹簧串连：k1k2mkm第48页/共62页2.弹簧并连：弹簧并连：kok=k1+k2xok1k2第49页/共62页3.弹簧分割：弹簧分割：kmLk1ml1第第6章结束章结束第50页/共62页1.1.一一 质质 点点 作作 简简 谐谐 振振 动动，振振 动动 方方 程程x=Acos(wt+)，当当时时间间 t=T/4(T 为为周周期期)时，质点的速度为：时，质点的速度为：C 第51页/共62页 2 2两个质点各自作简谐振动，它们的振幅两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为相同、周期相同。第一个质点的振动方程为 ，当第一个质点从相对平衡位当第一个质点从相对平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大位移处。则第二个质点的振动方程为大位移处。则第二个质点的振动方程为 （B）（C）（D）（A）（B）第52页/共62页3.3.一倔强系数为一倔强系数为k k的均匀轻弹簧分割成三部的均匀轻弹簧分割成三部分，取出其中的两根，将它们并连在一起，分，取出其中的两根，将它们并连在一起，下面挂一质量为下面挂一质量为m m 的物体，如图所示，则振的物体，如图所示，则振动系统的频率动系统的频率=?=?k第53页/共62页4.4.上面放有物体的平台，以每秒上面放有物体的平台，以每秒5 5次的频率沿次的频率沿竖直方向做简谐振动，若平台振幅超过竖直方向做简谐振动，若平台振幅超过 m m，物体将会脱离平台。（设，物体将会脱离平台。（设g=9.8m/sg=9.8m/s2 2）1.010-2m第54页/共62页例例5.5.一单摆，把它从平衡位置拉开，使一单摆，把它从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度摆线与竖直方向成一微小角度 ，然后，然后由静止放手任其摆动，若自放手时开始由静止放手任其摆动，若自放手时开始计时，如用余弦函数表示其运动方程，计时，如用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为：则该单摆振动的初位相为：C （A）；（B）；（C）0；（D）2第55页/共62页例6.一质量为一质量为 m 的滑块，两边分别与劲度的滑块，两边分别与劲度系数为系数为 k1 和和 k2 的轻弹簧联接，两弹簧的另的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上。滑块外两端分别固定在墙上。滑块 m 可在光滑的可在光滑的水平面上滑动，水平面上滑动，o 点为平衡位置。将滑块点为平衡位置。将滑块m向向左移动了左移动了 x0 的距离，自静止释放，并从释的距离，自静止释放，并从释放时开始计时，取坐标如图示，则振动方程放时开始计时，取坐标如图示，则振动方程为：为：第56页/共62页 C 第57页/共62页例例7.7.一轻弹簧的劲度系数为一轻弹簧的劲度系数为 200N200Nm m-1-1，现，现将质量为将质量为 4kg 4kg 的物体悬挂在该弹簧的下端，的物体悬挂在该弹簧的下端，使其在平衡位置下方使其在平衡位置下方 0.1m 0.1m 处由静止开始运动，处由静止开始运动，若由此时刻开始计时，求：若由此时刻开始计时，求：（1 1）物体的振动方程；）物体的振动方程；（2 2）物体在平衡位置上方）物体在平衡位置上方 5cm 5cm 时弹簧对物体时弹簧对物体的拉力；的拉力；（3 3）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方运动到上方 5cm 5cm 处所需要的最短时间处所需要的最短时间。解解:第58页/共62页（1 1）选平衡位置为原点）选平衡位置为原点,x x 轴指向下方轴指向下方,振动方程振动方程（SI）（2 2）物体在平衡位置上方）物体在平衡位置上方 5cm5cm时，弹簧对物体时，弹簧对物体的拉力的拉力（3 3）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方运动到上方 5cm 5cm 处所需要的最短时间处所需要的最短时间。相量图法更简单第59页/共62页8：劲度系数为：劲度系数为k、质量为、质量为M的弹簧振子的弹簧振子静止的放置在光滑的水平面上，一质量静止的放置在光滑的水平面上，一质量为为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度v1射入射入M中，与中，与之一起运动。选之一起运动。选m、M开始共同运动的开始共同运动的时刻为时刻为t=0，求固有角频率、振幅和初相，求固有角频率、振幅和初相位。位。(以弹簧伸长方向为正方向以弹簧伸长方向为正方向)第60页/共62页一质点沿一质点沿x x轴做谐振动轴做谐振动,A A=4cm,=4cm,T T=4s,=4s,t t=0=0时位移为时位移为2cm2cm，且向平衡位置移动。求，且向平衡位置移动。求1 1）振动表达式；）振动表达式；2 2）由起）由起始位置运动到始位置运动到x x=-4cm=-4cm处所需最少时间处所需最少时间.o-442t=0 =p/3=p/3 t t=2p/3p/3第61页/共62页例例.一物体做谐振动，振幅为一物体做谐振动，振幅为 A A，在起始时，在起始时刻质点的位移为刻质点的位移为 -A A/2/2 且向且向 x x 轴的正方向运轴的正方向运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：动，代表此谐振动的旋转矢量图为：D 第62页/共62页