离散时间系统.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,五、离散时间系统；,六、,LSI,系统输入、输出关系；,七、,LSI,系统的频率响应；,八、确定性信号的相关函数,Section B,离,散时间系统基础,1.5,离散时间系统,1.,系统定义,数字信号处理的任何处理都是依靠系统来完成的,所以系统是数字信号处理的核心，系统一般包括系统硬件和系统所完成的处理算法。,系统在数学上定义为将输入序列,x,(,n,),映射成输出序列,y,(,n,),的唯一性变换或运算。这种映射是广义的，实际上表示的是一种具体的处理，或是变换，或是滤波。,系统可以表示为,其中，符号,T,表示系统的映射或处理，可以把,T,简称为系统。,系统的图形表示如下图所示，输入,x,(,n,),称为系统的激励，输出,y,(,n,),称为系统的响应。由于它们均为离散时间信号，将系统,T,称为离散时间系统或时域离散系统。,2,.,线形离散时间系统,满足叠加原理的系统，或满足,齐次性,和,可加,性,的系统称为线性系统。,设,y,1,(,n,)=,T,x,1,(,n,)，,y,2,(,n,)=,T,x,2,(,n,),对任意常数a,b，若,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=,aT,x,1,(,n,)+,bT,x,2,(,n,),=,a y,1,(,n,)+,b y,2,(,n,),则称,T,为线性离散时间系统。,推广到一般情况，设,y,k,(,n,)=,T,x,k,(,n,),，,k,=1,，,2,，,.,N,线性系统满足,1,k,N,线性系统的特点是多个输入的线性组合的系统输出等于各输入单独作用的输出的线性组合。,例,1,证明由线性方程表示的系统,是非线性系统,。,证明,设,所以,，,该系统是非线性系统,。,3,.,非时变离散时间系统,若满足下列条件，系统称为非时变（非移变）系统，或时不变（移不变）,系统,。,设,y,(,n,)=,T,x,(,n,),对任意整数,k,有,y,(,n-k,)=,T,x,(,n-k,),即系统的映射,T,不随时间变化，只要输,入,x,(,n,)是相同的，无论何时进行激励，输出,y,（,n,）总是相同的，这正是系统非时变性的特征。,下图形象说明了系统非时变性的概念。,例,2,设系统的映射,y,=,T,x,(,n,)=,nx,(,n,),，判断系统的线性和时不变性。,解,设,y,1,(,n,),=nx,1,(,n,),y,2,(,n,),=nx,2,(,n,),a,1,x,1,(,n,)+,a,2,x,2,(,n,)=,x,(,n,),则,T,x,(,n,)=,nx,(,n,),=,na,1,x,1,(,n,)+,na,2,x,2,=,a,1,y,1,(,n,)+,a,2,y,2,(,n,),所以，系统为线性系统。,设,y,(,n)=,nx,(,n,),x,1,(,n,)=,x,(,n-k,),y,1,(,n,)=,nx,1,(,n,)=,nx,(,n-k,),而,y,(,n-k,)=(,n-k,),x,(,n-k,),y,1,(,n,),所以，系统为时变系统。,4,.,线性时不变离散系统,定义,同时具备,线性,和,时不变性,的系统称作线 性非时变系统或线性时不变系统。,它的重要意义在于，系统的处理过程可以统一采用这种系统的特征描述之一单位采样响应，以一种相同的运算方式卷积运算，进行统一的表示。,任何一个信号可以表示成单位采样序列的线性组合，即,系统对 的响应为,设系统对单位采样序列 的响应为 ，,即,称为系统的,“单位采样响应”,，它是描述系统的一个非常重要的信号。,根据时不变性，有,则系统输出,y,(,n,),可表示为,上式表明：当线,性时不变,系统的单位采样响应,h,(,n,),确定时，系统对任何一个输入,x,(,n,),的响应,y,(,n,),就确定了，,y,(,n,),可以表示成,x,(,n,),和,h,(,n,),之间的一种简单的运算形式。将上式的运算方式称作“离散卷积”，简称,“卷积”,，采用符号“,*,”表示，即,5,.,离散卷积的计算,卷积的计算一般采用两种方法：,解析法,和,图解法,，或是两种方法的结合。,例2.3,设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如下图所示，画出输出的波形。,解,（,1,）采用图解法。,图解法的过程如图,2.2,所示。,图,2.2,例,2.2,图解法,（,2,）,采用解析法。,因为,所以,将,x,(,n,),的表达式代入上式，得到,两种方法结果一致。,6,.,离散卷积的运算规律,(1)交换率,h,(,n,)*,x,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,),它的意义可以解释为，如果互换系统的单位采样响应,h,(,n,)和输入,x,(,n,)，系统的输出保持不变。,(2)结合率,x,(,n,)*,h,1,(,n,)*,h,2,(,n,)=,x,(,n,)*,h,2,(,n,)*,h,1,(,n,),=,x,(,n,)*,h,2,(,n,)*,h,1,(,n,),它的意义可以解释为一种级联系统结构，级联顺序可以交换，或系统级联可以等效为一个系统，输出保持不变。,(3),分配率,x,(,n,)*,h,1,(,n,)+,x,(,n,)*,h,2,(,n,)=,x,(,n,)*,h,1,(,n,)+,h,2,(,n,),它的意义可以解释为一个并联系统结构，或并联系统可以等效为一个系统，输出保持不变。,(4),与,(,n,),卷积不变性,x,(,n,)*,(,n,)=,x,(,n,),它的意义可以解释为输入通过一个零相位的全通系统。,(5),与,(,n-k,),卷积的移位性,x,(,n,)*,(,n,-,k,)=,x,(,n,-,k,),它的意义可以解释为输入通过一个线性相位的全通系统。,2.,系统的稳定性和因果性,2.,1,稳定性,稳定系统是有界输入产生有界输出的系统,。,若,则,线性时不变离散系统是稳定系统的,充要条件：,2.2,因果性,若系统,n,时刻的输出，只取决于,n,时刻以及,n,时刻以前的输入序列，而与,n,时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。,线性时不变离散系统是因果系统的,充要条件：,例,3,某线性时不变离散系统，其单位采样响,应为,试讨论其是否是因果的、稳定的。,解,讨论因果性:,该系统是非因果系统,讨论稳定性:,当 时系统稳定,当 时系统不稳定。,结论,:,因果稳定的线性时不变系统的单位取样响应是因果的,且是绝对可和的,即,1.6,离散时间系统的频率响应特性,离散系统频响特性的定义,频响特性的几何确定法,1,离散系统频响特性的定义,正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）,系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的,频率响应,特性。,由系统函数得到频响特性,输出对输入序列的相移,离散时间系统在单位圆上的,z,变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性,:,输出与输入序列的幅度之比,：幅频特性,：相频特性,通过本征函数透视系统的频响特性,为输入序列的加权，,体现了系统对信号的处理功能。,是 在单位圆上的动态，,取决于系统的特性。,单位圆上,离散系统（数字滤波器）的分类,2,频响特性的几何确定法,几点说明,小结,1.,系统的频响特性,：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比,：相,频,特性，输出对输入序列的相移,3.,因为 是周期为 的周期函数，所以系统的频响,特性 为周期为 的周期函数。,4.,是关于 的偶函数，是关于 的奇函数。,2.,系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，,因 而变化，影响输出的幅度与相位。,相关是研究两个信号之间，或一个信,号和其移位后的相关性，是信号分,析、检测与处理的重要工具；在随机,信号的理论中起到了中心的作用,。,x,(,n,),y,(,n,),n,=,0,1,2,xy,=,x,(,n,),y,(,n,),n,x2,(,n,),y,2,(,n,),n,n,|,xy,|,1,相关系数,r,xy,(,m,),r,yx,(,m,),所以,r,yx,(,m,),=,r,xy,(,m,),x,(,n,+,i,),y,(,n,+,j,),相关函数的时间变量,：,n,=,r,xy,(,m,),=,3.,可正可负,。,=,r,xy,(,n,+,j,),(,n,+,i,),=,r,xy,(,j,i,),1.,保持,x,(,n,),不动，将,y,(,n,),往左,，,或右移动,m,个抽样间隔，然后,将,x,(,n,),和,y,(,n,+,m,),对应相乘与相,加，即得,r,xy,(,m,),；,2.,x,(,n,),和,y,(,n,),的长度应一样长,；,m,x,(,n,),x,(,n,+,m,),x,(,n,),x,(,n,+,m,),x,(,n,),y,(,n,+,m,),自相关函数,：,n,=,n,=,n,=,r,x,(,m,),=,r,x,(,m,),=,r,xy,(,m,),=,实序列,复序列,r,x,(,m,),=,r,x,(,m,),r,x,(,m,),=,r,x,(,m,)；,性质,：,r,x,(0),r,x,(,m,)；,Lim,r,x,(,m,),=,0,m,卷积和相关的关系,：,=,x,(,n,m,),y,(,n,),=,x,(,m,),y,(,m,),n,=,定义,:,两个序列的关系,描述,LSI,系统输入输出关系,计算任一序列都不需,要翻转,其中一个序列要翻转,r,xy,(,m,),=,lim,r,x,(,m,),=,lim,x,(,n,),x,(,n,+,m,),功率信号相关函数的定义,：,1,N,2,N,+,1,1,N,2,N,+,1,互相关,自相关,对于能量信号,：,n,=,r,x,(,m,),=,自相关,功率信号自相关函数的性质,：,1.,若,x,(,n,),是周期的,周期是,N,则,r,x,(,m,),=,r,x,(,m,+,N,),2.,若,x,(,n,),是实的,则,r,x,(,m,),=,r,x,(,m,),m,3.,r,x,(0),取最大值,r,x,(0),=,P,x,为信号功率,4r,x,(,m,),=,0,5.,若,x,(,n,),是复信号,则,sin(,n,)sin(,n,+,m,),sin,(,n,),=,n,0,sin(,n,)cos(,n,),n,=,0,1,N,1,2,N,例,:,x,(,n,),=,sin(,n,),=,2,1,2,1,N,1,N,cos(,m,),N,1,n,=,0,N,1,n,=,0,1,N,1,N,r,x,(,m,),=,=,cos(,m,),+,sin(,m,),=,同频率余弦,例：信号的检测,x,(,n,),=,s,(,n,),+,u,(,n,),（,白噪声,）,rx,(,m,),=,s,(,n,),+,u,(,n,),s,(n,+,m,),+,u,(,n,+,m,),n,=,rs,(,m,),+,ru,(,m,),1,N,r,x,(,m,),=,实际计算相关函数时,：,x,(,n,),n,=,0,1,L,N,1,m,=,M,M,M,N,1,所以,，,r,x,(,m,),的最大长度为,2,N,1,to be continued,第二章,z,变换和,DTFT,主要内容：,1,、,z,变换的定义及收敛域,2,、,z,变换的反变换,3,、,z,变换的基本性质和定理,2.1 z,变换的定义及收敛域,信号和系统的分析方法有两种：,时域分析方法,变换域分析方法,连续时间信号与系统,LT FT,离散时间信号与系统,ZT FT,一、,ZT,的定义,z,是复变量，所在的复平面称为,z,平面,二、,ZT,的收敛域,对于任意给定序列,x(n,),，使其,z,变换,X(z,),收敛的所有,z,值的集合称为,X(z,),的收敛域。,级数收敛的充要条件是满足绝对可和,1,）有限长序列,除,0,和两点是否收敛与,n1,和,n2,取值情况有关外，整个,z,平面均收敛。,如果,n2,0,，则收敛域不包括点,如果,n1,0,，则收敛域不包括,0,点,如果,n10n2,，收敛域不包括,0,、点,2,）右边序列,因果序列,的,z,变换必在,处收敛,在,处收敛的,z,变换，,其序列必为,因果序列,3,）左边序列,4,）双边序列,例,1,收敛域应是整个,z,的闭平面,例,2,：求,x(n,)=,a,n,u(n,),的变换及其收敛域,给定,z,变换,X(z,),不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。,X(z,),在收敛域内解析，不能有极点，故：,右边序列,的,z,变换收敛域一定在,模最,大,的有限极点所在圆,之外,左边序列,的,z,变换收敛域一定在,模最,小,的有限极点所在圆,之内,2.2 z,反变换,实质：求,X(z,),幂级数展开式,z,反变换的求解方法：,围线积分法（留数法）,部分分式法,长除法,z,反变换,:,从,X(z,),中还原出原序列,x(n,),1,、,围数积分法求解（留数法）,若函数,X(z)z,n1,在围数,C,上连续，在,C,以内有,K,个极点,z,k,，而在,C,以外有,M,个极点,z,m,，则有：,1,、,围数积分法求解（留数法）,根据复变函数理论，若函数,X(z,),在环状区域,内是解析的，则在此区域内,X(z,),可展开成罗朗级数，即,而,其中围线,c,是在,X(z,),的环状,收敛域内环绕原点的一条,反时针方向的闭合单围线。,若,F(z,),在,c,外,M,个极点,z,m,，且分母多项式,z,的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：,利用留数定理求围线积分，令,若,F(z,),在围线,c,上连续，在,c,内有,K,个极点,z,k,，则：,单阶极点的留数：,2,、部分分式展开法求解,IZT,：,常见序列的,ZT,参见书,p.54,页的表,2-1,若函数,X(z,),是,z,的有理分式，可表示为：,利用部分分式的,z,反变换和可以得到函数,X(z,),的,z,反变换。,例,2,设,利用部分分式法求,z,反变换。,解：,3,、幂级数展开法求解（长除法）,:,一般,X(z,),是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到,x(n,),。,根据收敛域判断,x(n,),的性质，展开成相应的,z,的幂级数,将,X(z,),X(z,),的,x(n,),展成,z,的 分子分母,按,z,的,因果序列 负幂级数 降幂排列,左边序列 正幂级数 升幂排列,例,1,ROC1:,),1,长除法示例,解：由,Roc,判定,x(n,),是因果序列，用长除法展成,z,的负幂级数,ROC2:,),1,解：由,Roc,判定,x(n,),是左边序列，用长除法展成,z,的正幂级数,1,、线性性,2.3,Z,变换的基本性质和定理,R,1,R,2,R,|,a,|R,R,2,、序列的移位,3,、,z,域尺度变换,（乘以指数序列）,4,、,z,域求导,（序列线性加权）,Z,变换的基本性质（续）,5,、翻褶序列,1/R,R,6,、共轭序列,7,、初值定理,8,、终值定理,Z,变换的基本性质（续,）,9,、有限项累加特性,ZT,的主要性质参见书,p.69,页的表,2-210,、序列的卷积和,11,、序列乘法,12,、帕塞瓦定理,2.4,序列,ZT,、连续信号,LT,和,FT,的关系,若：,连续信号采样后的拉氏变换,LT,抽样序列：,当,两变换之间的关系，就是由复变量,s,平面到复变量,z,平面的映射，其映射关系为,对比：,z,的模只与,s,的实部相对应,z,的相角只与,s,虚部,相对应,进一步讨论这一映射关系：,1,s,平面到,z,平面的,映射是,多值映射,。,辐射线,=,0,T,平行直线,=,0,正实轴,=0,实轴,=0,Z,平面,S,平面,:,:,:,:,抽样序列在单位圆上的,z,变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换,数字频率,w,表示,z,平面的辐角，它和模拟角频率,W,的关系为,在以后的讨论中，将用数字频率,w,来作为,z,平面上单位圆的参数，即,所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以,2,p,